Рациональные вычисления в курсе математики начальных классов

Рациональные вычисления в курсе

математики начальных классов

 

 

В настоящее время происходит активное внедрение в практику школы различных педагогических инноваций, авторских программ и учебников, смещение акцента в обучении на разностороннее гармоничное развитие учащихся и прежде всего умственное развитие. Одной из важнейших задач обучения младших школьников математике является формирование у них вычислительных навыков, в основу которых кладется осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений. Это достигается в результате длительного выполнения тренировочных упражнений. Решение детьми большого количества однотипных упражнений, безусловно, способствует усвоению вычислительного приема, но вместе с тем часто определяет однообразие мыслительной деятельности учащихся, реализуя лишь обучающие цели – закрепление знаний, формирование умений и навыков. Это отрицательно сказывается на развитии учащихся. Снижается их познавательная активность: пропадает интерес, рассеивается внимание, нарастает число ошибок и т.п.

В условиях развивающего обучения система заданий, направленная на усвоение школьниками вычислительных умений и навыков, должна формировать

обобщенные способы действий, побуждать учащихся к самостоятельному поиску новых способов действий, рассмотрению различных способов решения задания и оцениванию их с точки зрения рациональности. Введение приемов рациональных вычислений в начальном курсе математики является подготовительной ступенью для изучения других приемов в курсе математики средней школы и применения полученных знаний на практике.

         Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию у учащихся положительных мотивов к этому виду учебной деятельности. Работа по культивированию рациональных приемов вычислений должна проводиться постоянно, систематически и органически увязываться с изучаемым программным материалом. К сожалению, далеко не всегда удается добиться этой цели. Существуют объективные и субъективные причины такого положения. Одной из наиболее важных объективных причин неумения школьников использовать рациональные приемы вычислений является, по нашему мнению, недостаточная математическая подготовка самих учителей. Учителю прежде всего самому необходимо усвоить теоретические основы рациональных вычислений, научиться применять их на практике, а затем овладеть умениями, позволяющими формировать соответствующие приемы рациональных вычислений у школьников.

           В данной статье мы выделим лишь наиболее употребительные приемы рациональных вычислений, которые стали незаслуженно забываться и в школе, и в вузе.

1. Приемы сложения.

 Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном и ассоциативном законах сложения, а также на свойствах изменения суммы. Напомним их. Коммутативный закон сложения. Сумма не изменяется от перемены мест слагаемых. Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.

Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится.

Свойство 1.3. Если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Прием 1.1. Округление одного или нескольких слагаемых.

Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом,

находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее.

Пример:

а) 164 + 48 = (164 + (48 + 2)) – 2 = (164 + 50) – 2= 214 – 2 = 212;

б) 784 + 297 = (784 +(297 + 3)) – 3 = (784 + 300) – 3 = 1084 – 3 = 1081;

в) 89 + 433 = 433 +89 = (430 + 90) + 3 – 1 = 520 + 2 = 522.

Прием 1.2. Поразрядное сложение.

При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом – всех единиц, а затем складывают полученные суммы.

Пример:

а) 32 +26 +73 +45 = (30 + 20 + 70 +40) + (2 +6 +3 +5) =160 + 16 = 176;

б) 132 + 765 + 423 + 249 =(100 + 700 + 400 + 200) + (30 + 60 + 20 + 40) + (2+ 5 + 3 + 9) = = 1400 + 150 + 19 = 1000 + (400 + 100) + (50 + 10) + 9 = 1000 + 500 + 60 + 9 = 1569.

Прием 1.3.

Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа.

Суть приема поясним на примере.

Пример.

Пусть требуется найти

сумму 65 + 62 + 61 + 63 + 67 + 64 + 66 + 60.

Легко заметить, что все эти числа близки к числу 64, поэтому его считают «корневым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

1) находят сумму «корневых»  чисел: 6 · 8 = 512, так как в сумме 8 слагаемых;

2) находят сумму отклонений  каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» – со знаком «минус»: 1 – 2 – 3 – 1 + 3 + 0 + 2 – 4 = –4;

3) получившуюся сумму  алгебраически прибавляют к результату первого пункта:

512 +(–4) = 512– 4 = 508.

Выбор «корневого» числа не влияет на окончательный результат. Так, если считать, что «корневое» число не 64, а 63, то вычисления будут следующими:

1) 63 · 8 = 504,

2) 2 – 1 – 2 + 0 + 4 + 1 + 3 – 3 = 4,

3) 504 + 4 = 508.

«Корневое» число обычно берут таким, чтобы наиболее просто находилась сумма отклонений.

Прием 1.4. Вынесение общего множителя.

 При сложении нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят сумму чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной суммы.

Пример: 24 +18 + 72 + 36 = 6 · (4 + 3 +12 + 6) = 6 · 25 = 150.

2. Приемы вычитания.

 Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 2.2.

Если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.

Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Рассмотрим некоторые приемы вычитания.

Прием 2.1. Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц. Суть приема поясним на примерах.

Пример: 561 – 35 = (561 – 1) – (35 – 1) = 560 – 34 = 526.

Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

Пример: 3125 – 198 = (3125 + 2) – (198 + 2) = 3127 – 200 = 3127 – (100 + 100) = (3127 – - 100) – 100 = 3027 – 100 = 2927.

Прием 2.2. Округление вычитаемого.

Вычитаемое заменяем ближайшим к нему «круглым» числом, находим разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляем к полученной разности или вычитаем из нее.

Пример: 1285 – 296 = 1285 – ((296 + 4) – 4) = 1285 – (300 – 4) = (1285 – 300) + 4 =

= 1285  – (200 + 100) + 4 = (1085 – 100) + 4 = 985 + 4 = 989.

Прием 2.3.

Вынесение общего множителя.

При вычитании нескольких чисел, имеющих общий множитель, сначала выносят за скобку общий множитель, находят разность чисел в скобках, а затем находят произведение общего множителя и полученной разности.

Пример: а) 724 – 148 = 4 · (181 – 37) = 4 · 144 = 2 · 2 · 144 = 2 · 288 = 576;

б) 91 – 35 – 28 = 7 · (13 – 5 – 4) = 7 · 4 = 28.

 

3. Приемы умножения.

Все приемы рациональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свойствах изменения произведения.

Коммутативный закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест сомножителей. Ассоциативный закон умножения. Произведение не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих сомножителей их произведением.

Дистрибутивный закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не изменится, если заменить его суммой произведений данного числа на каждое из этих слагаемых.

Свойство 3.1. Если один из сомножителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то произведение соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Свойство 3.2. Если один из сомножителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится.

Свойство 3.3. Если два или несколько сомножителей данного произведения умножить или разделить на какое-либо число, то данное произведение соответственно умножится или разделится на произведение этих чисел.

Из рассмотренных свойств изменения произведения вытекают следующие приемы, позволяющие рационализировать вычислительный процесс.

Прием 3.1. Разложение одного из сомножителей на множители. Один из сомножителей представляют в виде произведения нескольких ножителей, а затем последовательно умножают второй сомножитель на эти множители. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.1. Умножение на 4.

Умножение на 4 сводится к двукратному умножению на 2.

Пример: 596 · 4 = (596 · 2) · 2 = (500 · 2 + 90 · 2 + 6 · 2) · 2 = (1000 + 180 + 12) · 2 =

= 1192 · 2 = 1000 · 2 + 100 · 2 + 90 · 2 +2 · 2 = 2000 + 200 + 180 +4 = 2384.

Правило 3.2. Умножение на 8.

Умножение на 8 сводится к трехкратному умножению на 2.

Пример: 298 · 8 = (298 · 2) · 4 = (200 · 2 + 90 · 2 + 8 · 2) · 4 = (400 + 180 + 16) · 4 = 596 · · 4 = (596 · 2) · 2 = 1192 · 2 = 2384.

Правило 3.3. Умножение на 16.

Умножение на 16 сводится к четырехкратному умножению на 2.

Пример: 149 · 16 = (149 · 2) · 8 = (100 · 2 + 40 · 2 + 9 · 2) · 8 = 298 · 8 = (298 · 2) · 4 = =596 · 4 = (596 · 2) · 2 = 1192 · 2 = 2384.

Аналогично можно сформулировать правила умножения на 2n (n ‡ 5).

Прием 3.2. Увеличение одного из сомножителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго сомножителя во столько же раз. Один из сомножителей произведения увеличивают в несколько раз, второй – уменьшают

во столько же раз, а затем находят произведение полученных чисел. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.4. Умножение четного числа на 15 (25, 35, 45).

Чтобы умножить четное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90).

Пример: а) 32 · 15 = (32:2) · (15 · 2) = 16 · 30 = 480;

б) 28 · 25 = (28:2) · (25 · 2) =14 · 50 = 700;

в) 16 · 45 = (16:2) · (45 · 2)= 8 · 90 = 720.

Прием 3.3. Представление одного из сомножителей произведения в виде частного двух чисел.

Один из сомножителей произведения представляют в виде частного двух чисел, второй сомножитель умножают на делимое, а затем делят на делитель. Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 3.5. Умножение на 5.

Чтобы умножить число на 5, достаточно умножить его на 10 и результат разделить на 2.

Пример: 237 · 5 = (237 · 10) : 2 = 2370 : 2 = 2000 : 2 + 300 : 2 + 70 : 2 = 1000 + 300 +35 = = 1335.

Правило 3.6. Умножение на 50.

Чтобы умножить число на 50, достаточно умножить его на 100 и результат разделить на 2.

Пример: 139 · 50 = (139 · 100):2 = 13 900:2 = 10 000:2 +3000:2 + 900:2 = 5000 + 1500+ +450 = 6950.

Правило 3.7. Умножение на 500.

Чтобы умножить число на 500, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 2.

Пример: 237 · 500 = (237 · 1000) : 2 = 237 000 : 2 = 200 000 : 2 + 30 000 : 2 + 7000 : 2 = =100 000 + 15 000 + 3500 = 118 500.

Аналогично формулируются правила умножения на 5 · 10n (n ‡3).

Правило 3.8. Умножение на 25.

Чтобы умножить число на 25, достаточно его умножить на 100 и результат разделить на 4.

Пример: 239 25 = (239 100):4 = 23 900:4 = (23 900:2):2 = (20 000:2 + 3000:2 + 900:2):2 = = (10 000 + 1500 + 450):2 = 11 950:2 = 10 000:2 + 1000:2 + 900:2 + 50:2 = 5000 + 500 + +450 + 25 = 5975.

Правило 3.9. Умножение на 250.

Чтобы умножить число на 250, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 4.

Пример: 197 · 250 = (197 · 1000):4 = 197 000:4 = (197 000:2):2 = 98 500:2 = 49 250.

Правило 3.10. Умножение на 2500. Чтобы умножить число на 2500, достаточно умножить его на 10 000 и результат разделить на 4 .

Пример: 182 · 2500 = (182 · 10 000) : 4 = 1 820 000:4 = (1 820 000:2):2 = 910 000:2 =

= 455 000.

Аналогично формулируются правила умножения на 25 · 10n (n ‡3).

Правило  3.11. Умножение на 125.

Чтобы умножить число на 125, достаточно умножить его на 1000 и результат разделить на 8.

Пример: 386 · 125 = (386 · 1000):8 = 386 000:8 = (386 000:2):4 = 193 000:4 =

= (193 000:2):2 = 96 500:2 = 48750.

Правило 3.12. Умножение на 1250.

Чтобы умножить число на 1250, достаточно умножить его на 10 000 и результат разделить на 8.

Пример: 824 · 1250 = (824 · 10 000):8 = 8 240 000:8 = (8 240 000:2):4 =

= (4 120 000:2):2 = 2 060 000:2 = 1 030 000.

Аналогично формулируются правила умножения на 125 · 10n (n‡2).

Небольшие изменения приема 3.3 позволяют сформулировать следующее правило умножения на 75.

Правило 3.13. Умножение на 75.

Чтобы умножить число на 75, достаточно его разделить на 4, умножить частное на 3 и результат умножить на 100.

Пример: 408 · 75 = (408:4) · 3 · 100 = 102 · 3 · 100 = 306 · 100 = 30 600.

Существует интересное правило умножения четного числа на 55.

Правило 3.14. Умножение четного числа на 55.

Чтобы умножить четное число на 55, достаточно разделить его на два, к частному сначала приписать два нуля, а потом нуль и оба результата сложить.

Пример: Чтобы найти значение произведения 368 · 55, проделаем следующее:

1) делим данное число на 2 : 368 : 2 = 184;

2) приписываем к частному  два нуля: 18 400;

3) приписываем к частному  один нуль: 1840;

4) складываем результаты, получаем ответ: 368 · 55 = 18 400 + 1840 = 19240.

Прием 3.4. Представление одного из сомножителей произведения в виде разности двух чисел.

Один из сомножителей произведения представляют в виде разности двух чисел, второй сомножитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произведений.

 Данный прием позволяет  сформулировать ряд правил.

Правило 3.15. Умножение на 9.

Чтобы умножить число на 9, достаточно к нему приписать нуль и из полученного числа вычесть данное число.

Пример: 68 · 9 = 68 · 10 – 68 = 680 – 68 = 612.