Прямая на плоскости и в пространстве

Прямая на плоскости    
 

Общее уравнение прямой:  

Ах +  Ву +  С = 0 ,  

где  А и В  не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А и В являются координатами нормального вектора прямой ( т.е. вектора, перпендикулярного прямой ). При  А = 0  прямая параллельна оси ОХ , при  В = 0 прямая параллельна оси ОY .

При  В 0  получаем  уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ ,  у ₀ ) и не параллельной оси OY, имеет вид:  

у – у ₀ = m ( x – х₀ ) ,  

где  m  –  угловой коэффициент, равный тангенсу угла, образованного данной прямой и положительным направлением оси ОХ .

При  А 0,  В 0 и С 0  получаем  уравнение прямой в отрезках на осях:

где  a = – C / A ,   b = – C / B . Эта прямая проходит через точки ( a, 0 ) и ( 0, b ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной  a  и  b .

Уравнение прямой, проходящей через две различные  точки ( х₁,  у ₁ ) и ( х₂,  у 2 ):

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ ,  у ₀ ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b ) :

Условие параллельности прямых:   

1)  для прямых  Ах+ Ву+ С = 0  и  Dх+ Eу+ F = 0 :   AE – BD = 0 ,   

2)  для прямых  у = m x+ k  и  у = p x+ q :   m = p .  

Условие перпендикулярности прямых:   

1)  для прямых  Ах+ Ву+ С = 0  и  Dх+ Eу+ F = 0 :   AD + BE = 0 ,   

2)  для прямых  у = m x+ k  и  у = p x+ q :   m  p =  – 1 .

Расстояние  между двумя точками  ( x₁,  y ₁ ) и ( x₂ ,  y₂ ) :                                                                          

 

Расстояние  от точки ( х₀ ,  у ₀ ) до прямой  Ах+ Ву+ С = 0 :

Расстояние  между параллельными  прямыми  Ах+ Ву+ С = 0  и  Dх+ Eу+ F = 0 :

Угол   между прямыми:

Прямая в пространстве    
 

Уравнение прямой, проходящей через две различные  точки ( х₁,  у ₁,  z ₁ ) и ( х₂,  у ₂ ,  z ₂  ):   

 

 

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ( х₀ ,  у ₀ ,  z ₀ ) и параллельной направляющему вектору прямой ( a, b, с ) :

Пусть заданы две  плоскости  Ах+ Ву+ Сz+ D = 0  и  Eх+ Fу+ Gz+ H = 0, причём их нормальные векторы неколлинеарны, тогда система уравнений  

  

описывает прямую –  линию пересечения этих плоскостей.   

Пусть ( a, b, с ) и ( p, q, r ) – направляющие векторы двух прямых, тогда имеем условие параллельности прямых:  

aq – bp = br – cq = ar – cp = 0 ,  

условие перпендикулярности прямых:  

ap + bq + cr = 0 ,  

угол   между прямыми:

угол   между прямой и плоскостью:

  
 

Гипербола   
 

Гиперболой  ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F₁ и F₂ , называемых  фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :

Здесь начало координат  является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями  симметрии.

Отрезок  F₁F₂ = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок  AB = 2 a называется  действительной осью гиперболы, а отрезок  CD = 2 b –  мнимой осью гиперболы. Число  e = c / a ,  e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые   y = ± ( b / a ) x  называются асимптотами гиперболы.   

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка гиперболы, тогда  уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой  y = m x + k  и гиперболы  х ² / a ²  –  у  ² / b ²  = 1 : 

   

k ²  = m ² a ² – b ² . 

Эллипс 

Эллипсом  ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек  F₁ и  F₂ , называемых  фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса ( рис.1 ) :

Здесь начало координат  является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями  симметрии. При  a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ  ( рис.1 ) , при  a < b  фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при  a = b  эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом,  окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок  F₁F₂ = 2 с ,  где , называется фокусным расстоянием. Отрезок  AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок  CD = 2 b – малой осью эллипса. Число  e = c / a ,  e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.  

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка эллипса, тогда  уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой  y = m x + k  и эллипса  х ² / a ²  +  у  ² / b ²  = 1 : 

   

k ²  = m ² a ² + b ² .  
 

Плоскость   

Общее уравнение плоскости:  

Ах +  Ву +  Сz +  D = 0 ,  

где  А, B и C  не равны нулю одновременно.

Коэффициенты А, B и C являются координатами нормального вектора плоскости ( т.е. вектора, перпендикулярного плоскости ).   

При  А 0,  В 0,  С 0 и D 0  получаем  уравнение плоскости в отрезках на осях:

где  a = – D / A ,   b = – D / B,   c = – D / C. Эта плоскость проходит через точки ( a, 0, 0 ), ( 0, b, 0 )  и  ( 0, 0, с ), т.е. отсекает на осях координат отрезки длиной  a,  b  и  c .   

Уравнение плоскости, проходящей через точку ( х₀ ,  у ₀ ,  z ₀ ) и перпендикулярной вектору ( А, В, C ) :  

А ( х – х₀ ) + В ( у – у ₀ ) + С ( z – z ₀ ) = 0 .  

Условие параллельности плоскостей  Ах+ Ву+ Сz+ D = 0  и  Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:  

AF – BE = BG – CF = AG – CE = 0 .  

Условие перпендикулярности плоскостей  Ах+ Ву+ Сz+ D = 0  и  Eх+ Fу+ Gz+ H = 0:  

АE+ ВF+ СG = 0 .  

Расстояние  между двумя точками  ( х₁ ,  у ₁ ,  z ₁ )  и ( x₂ ,  y₂ ,  z₂) :  

  

Расстояние  от точки  ( х₀ ,  у ₀ ,  z ₀ )  до плоскости  Ах + Ву + Сz + D = 0 :

Угол   между плоскостями Ах+ Ву+ Сz+ D = 0 и Eх+ Fу+ Gz+ H = 0: