Проверка статистических гипотез

Однако, мы располагаем только выборочными дисперсиями 

=  и   = .

Задача проверки гипотезы Н0 сводится к сравнению выборочных дисперсий.           

 Для построения критической  области с выбранной надёжностью  необходимо исследовать совместный  закон распределения оценок  и   . Таким законом распределения  является распределение Фишера – Снедекора (или F- распределение)                   

  Рассмотрим случайную величину   , распределённую нормально с математическим ожиданием Х и с дисперсией  . Произведём две независимые выборки объёмами           п1 и п2 . Для оценки  используют выборочные дисперсии. Случайную величину, определяемую отношением  , называют величиной с распределением Фишера-Снедекора. Имеются таблицы для дифференциального закона распределения Фишера-Снедекора, которые зависят лишь от объёма выборки и уровня значимости  

 

 

 

                                       

,  

где k1=n1-1, k2=n2-1. 

 

Вернёмся снова к задаче проверки гипотезы о равенстве дисперсий.  Сначала нужно вычислить выборочные дисперсии. Найдём отношение F= , причём в числителе поставим большую из двух оценок дисперсии. Выберем уровень значимости   и из таблиц находим число F  которое сравнивается с вычисленным F. Если окажется, что   , то проверяема гипотеза Н0 отвергается, в противном случае делается вывод о том, что наблюдения не противоречат проверяемой гипотезе. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух генеральных нормальных совокупностей в случае, когда дисперсии неизвестны и одинаковы (t-критерий, z-критерий)

 Для проверки нулевой гипотезы используется случайная величина 

 

, 

 

где   и   – выборочные дисперсии;   – исправленные выборочные дисперсии.

Если нулевая гипотеза верна, то случайная величина   имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы   (разд. 3). Критическое значение и критическая область выбираются в соответствии с альтернативной гипотезой и задаваемым уровнем значимости.

t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещенной оценки дисперсии.

Z-критерий может применяться для расчета вероятности случайного результата в пси-опыте с ограниченным выбором любого типа, использующего число попаданий и промахов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверка гипотезы о законах распределения (критерий Пирсона)

Сначала нужно разбить всю область изменения случайной величины на l  интервалов (бин). Затем нужно подсчитать сколько этих величин попадает в каждый бин, то есть подсчитать эмпирические частоты  тк . Чтобы вычислить теоретические частоты нужно вероятность попадания в каждый бин рк умножить на объём выборки п.  Таким образом, статистика

является случайной величиной, подчиняющейся закону  с   степенями свободы. В последней формуле r – число параметров распределения, определяемы по выборке. Для нормального закона – это два параметра, для закона Пуассона – один и т.д.  

 Рассчитав значения  и выбрав уровень значимости  , по таблице  -распределения определяют  . Если  , то гипотезу Н0  отвергают, если   то гипотезу принимают.

Критерий Пирсона - наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки   объёмом  некоторому теоретическому закону распределения  .

Критерий может использоваться при проверке простых гипотез вида

,

где   - известный вектор параметров теоретического закона, и при проверке сложных гипотез вида

 ,

когда оценка   скалярного или векторного параметра распределения   вычисляется по той же самой выборке.

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическое решение задач

1. По выборке объемом n1=40 найдена средняя масса М1=0,5 г таблеток, взятых из первой партии; по выборке объемом n2=50 найдена средняя масса М2=0,505 г таблеток, взятых из первой партии. Оценки дисперсий s21= 2.5*10-5 и s22= 3.6*10-5. При уровне значимости а=0,05 выяснить, можно ли считать различие в средних значениях масс таблеток случайными.

Решение

Применим критерий Фишера-Снедекора для нулевой гипотезы   и конкурирующей  . Вычислим наблюдаемое значение критерия:

F=s22/s12= 3.6*10-5/2.5*10-5= 1.44

Критическую точку находим в приложении для уровня значимости a=0.1 и числам степеней свободы k1=40-1 и k2=50-1 

Fкр(0.05;39;49)≈1,66

Мы получили, что Fкр > F, значит различия в средних значениях масс таблеток могут быть как случайными, так и неслучайными

2. По двум независимым выборкам, объемы которых nx=11 и ny=14, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и У, найдены исправленные выборочные дисперсии Sx2=0.76 и Sy2=0.38. При уровне значимости Р=0,05 проверить нулевую гипотезу: Н0:D(x)=D(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н1: D(x)>D(y)

Решение

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину отношения большей исправленной дисперсии к меньшей 

F=0.76/0.38=2

Fкр(0,05;10;13) ≈2,89

Мы получили, что Fкр > F, следовательно нет оснований отвергать нулевую гипотезу

3. По двум независимым выборкам, объемы которых nx=9 и ny=6, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей Х и У, найдены выборочные дисперсии Db(x)=14.4 и Db(y)=20.5. При уровне значимости 0,1 проверить нулевую гипотезу Н0: D(x)=D(y) о равенстве генеральных дисперсий, при конкурирующей гипотезе Н1: D(x)≠D(y)

Решение

F=20,5/14,4=1,42361

Fкр(0,1;8;5)=2,72645

Так как F≠ Fкр, конкурирующая гипотеза считается верной

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Таким образом, данная работа была создана с целью ознакомления с основными понятиями и методами математической статистики как средства решения задач физического, химического, биологического и иного характера, встречающихся как в процессе изучения профильных дисциплин, так и в дальнейшей профессиональной деятельности.

В тексте этой работы были описаны основные понятия статистической проверки гипотез и произошло закрепление их практически.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

http://cito-web.yspu.org/link1/metod/met125/node33.html

http://helpstat.ru/statisticheskie-tablitsyi/f-raspredelenie-dlya-alpha-0-05/

http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/PRMATEM/SPEC_GL_PRMATEM/METOD/UP/frame/frame_tema4_3.htm

http://duginov-mirea.narod.ru/hypotes.htm

http://cito-web.yspu.org/link1/metod/theory/node43.html

http://helpstat.ru/2011/12/statisticheskaya-proverka-gipotez/

http://kineziolog.bodhy.ru/content/4-uroven-znachimosti

1. http://mathhelpplanet.com/static.php?p=statisticheskie-gipotezy