Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

(СибАДИ)

 

 

Расчетно-графическая работа

По учебной дисциплине

«Высшая математика»

 

 «Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности X по критерию Пирсона»

                                                               

 

             

       

                                   Выполнила:

Факультет: Экономика  и Управление

Проверила:

              

 

 

 

 

 

 

 

Омск, 2011 год

 

Содержание.

1. Введение…………………………………………………………………….3
2. Исходные данные…………………………………………………………..4
3. Интервальный вариационный ряд………………………………………...6
4. Построение гистограммы. Гипотеза о законе распределения…………..7
5. Нахождение точечных оценок числовых характеристик генеральной совокупности Х и точечных оценок неизвестных параметров выдвинутого закона………………………………………………………..8
6. Нахождение теоретической функции f(x) и ее построение на гистограмме……………………………………………………………….10
7. Проверка критерия Пирсона. Нахождение интервальных оценок МХ и DX………………………………………………………………………….11
8. Вывод………………………………………………………………………14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Введение.

Математическая  статистика – наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, позволяющую оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Математической  статистикой называется раздел математики, изучающий методы получения и обработки результатов наблюдений для установления закономерности в массовых случайных явлениях.

Математическая статистика рассматривает 2 основные задачи:

1. Указание методов сбора и обработки результатов, наблюдений;
2. Оценивание результатов, наблюдений и проверка статистических гипотез.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Исходные  данные.

Генеральной совокупностью называется вся подлежащая изучению совокупность объектов. Обозначается X, Y.

Выборкой называется часть случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Обозначается (x₁, x₂, …, x_k), (y₁, y₂, …, y_k). Т.е. это результаты наблюдений над ограниченным числом объектов генеральной совокупности.

Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число объектов в ней.

Вариантами называют различные наблюдаемые значения, признака X, т. е. элементы выборки.

Выборка называется представительной, если по её данным можно сделать достаточно точное представление о генеральной совокупности Х. Представительность выборки обеспечивается случайностью отбора.

0,569	1,986	3,399	0,136	1,526	0,546	0,582	0,340
0,438	0,138	1,536	0,089	1,414	0,450	0,336	3,986
1,454	0,254	1,104	0,920	0,733	0,084	0,366	1,312
1,517	2,112	0,530	2,075	0,976	0,206	0,542	0,418
1,593	0,275	0,098	1,227	0,978	0,298	0,025	0,308
0,870	1,728	2,277	0,250	0,271	0,453	0,101	1,308
1,779	1,401

 

n = 50 - объем выборки.

Различают 2 способа  отбора элементов выборки:

• Простые случайные (с повторением или без повторения), которые при большом объеме выборки осуществляются с помощью специальной таблицы случайных чисел.
• Типичные отборы (например, по сериям, по видам и т. д.).

 

 

 

После того как из генеральной  совокупности Х извлекли выборку (x₁, x₂, …, x_k) ее объекты обследуют по отношению к генеральной совокупности, а для этого их подвергают обработке.

Операция, заключающаяся  в том, что элементы выборки располагают  в порядке неубывания называется ранжированием; а последовательность вариантов записанных в неубывающем порядке называется вариационным рядом. Обозначается

0,025	0,206	0,336	0,530	0,920	1,401	1,728	3,986
0,084	0,250	0,340	0,542	0,976	1,414	1,779
0,089	0,254	0,366	0,546	0,978	1,454	1,986
0,098	0,271	0,418	0,569	1,104	1,517	2,075
0,101	0,275	0,438	0,582	1,227	1,526	2,112
0,136	0,298	0,450	0,733	1,308	1,536	2,277
0,138	0,308	0,453	0,870	1,312	1,593	3,399

 

Диапазон наблюдаемых значений с.в. Х укладывается в интервале

(0; 4).

После проведения операции, ранжированные  опытные данные объединяют в группы, так что в каждой отдельной группе значение вариант будут одинаковы, и тогда можно определить число которое показывает, сколько раз встречается соответствующая варианта в соответствующей группе.

Численность отдельной группы сгруппированного ряда опытных данных называют выборочной частотой соответствующей варианта и обозначается - выборочная частота.

Сумма всех выборочных частот равна объему выборки:

                         (2)

Отношение выборочной частоты  данной варианты к объему выборки  называется относительной выборочной частотой. Обозначается ,

                   

Замечание. .

 

3. Интервальный вариационный ряд.

Интервальным вариационным рядом распределения называется упорядоченная совокупность частичных  интервалов значений случайных величин, с соответствующими им частотами  или относительной частотой.

Для построения вариационного  ряда необходимо выполнить следующие действия:

1. Находим размах выборки

R= 3,986 – 0,025= 3,961

2. Назначаем число (количество) частичных интервалов k, которое лежит в границах k=8…10 (чтобы построение гистограммы было не очень громоздким);

k = 10

все частичные интервалы  имеют одинаковую длину  (шаг разбиения), который определяется следующим образом:

,

3. После разбиения  на частичные интервалы рассмотрим  ранжированную выборку и определяем, сколько значений признака попало  в каждый частичный интервал, включая в него те знания, которые  больше или равны нижней границе и меньше верхней границы.

В итоге составим таблицу.

Таблица 1.                                               

Интервальный  вариационный ряд.

i
1	[0; 0,4)	17	0,85	0,200
2	[0,4; 0,8)	10	0,5	0,600
3	[0,8; 1,2)	5	0,25	1,000
4	[1,2; 1,6)	10	0,5	1,400
5	[1,6; 2)	3	0,15	1,800
6	[2; 2,4)	3	0,15	2,200
7	[2,4; 2,8)	0	0	2,600
8	[2,8; 3,2)	0	0	3,000
9	[3,2; 3,6)	1	0,05	3,400
10	[3,6; 4]	1	0,05	3,800
n

 

Где - плотность относительной частоты, - середина частичных интервалов.

 

4. Построение гистограммы.  Гипотеза о законе распределения. 

При большом объеме выборки  для наглядности изображения  признака строят гистограмму.

Гистограммой относительных  выборочных частот называется ступенчатая  фигура, состоящая из прямоугольников  основаниями которых служат частичные  интервалы длины  , а высоты равны плотностям относительной частоты, т.е. .

Гистограмму строят только для непрерывной генеральной  совокупности. Гистограмма является оценкой генеральной функции  плотности f(x).

Гистограмма

По виду гистограммы  можно выдвинуть гипотезу о показательном законе распределения случайной величины Х.

 

5. Нахождение точечных оценок числовых характеристик генеральной совокупности Х и точечных оценок неизвестных параметров выдвинутого закона.

Оценками в математической статистике называют приближенные значения параметров закона распределения или приближенные значения числовых характеристик с.в., вычисленных на основе выборки.

Оценка называется точечной, если она определяется одним числом или точкой на числовой оси.

Замечание. Любая оценка является случайной величиной, т. к. она вычисляется на основе экспериментальных данных как некоторая функция выборки.

При вычислении точечных оценок для удобства берут не сами элементы выборки, а середины частичных  интервалов из интервального вариационного  ряда (см. таб.1) и применяют формулы:

 

Составим таблицу для  нахождения и :

Таблица 2.

i
1	0,2	3,4	0,952	9,614	0,676
2	0,6	6		1,240
3	1	5		0,012
4	1,4	14		2,007
5	1,8	5,4		2,157
6	2,2	6,6		4,673
7	2,6	0		0
8	3	0		0
9	3,4	3,4		5,993
10	3,8	3,8		8,111