Применение методов теории вероятностей в задачах электроэнергетики

Аварийные повреждения оборудования являются случайными событиями. При большом числе агрегатов электростанций и элементов сети повреждение одних устройств может сочетаться с повреждением других устройств. Возникает задача определения вероятности одновременного повреждения двух, трех и более устройств (агрегатов) или элементов сети. В ряде случаев необходимо также определять вероятность того, что никаких повреждений в энергосистеме нет, так как эта величина характеризует надежность работы всего оборудования. Эти задачи возникают обычно при необходимости выбора оптимального решения, связанного с обеспечением или надежности работы энергосистемы (выбор оптимального резерва мощности), или надежности питания отдельных потребителей (выбор оптимальной схемы электроснабжения потребителя), или устойчивости энергосистемы (выбор оптимального уровня устойчивости). Во всех этих случаях отдельные повреждения рассматриваются как независимые и совместимые случайные события. Вероятность каждого из них может быть определена как статистическая вероятность на основе длительного наблюдения над аварийностью данного или однотипного оборудования. Для иллюстрации определения вероятности сложных событий рассмотрим примеры. 

Пример 1-1. Определить вероятность повреждения энергетического блока, представляющего coбoй последовательное соединение парового котла с паровой турбиной и электрическим генератором. Паровая турбина получает весь пар от парового котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной, т. е. использует всю ее мощность. Вероягности повреждения отдельных элементов  блока известны: для  q_k =  0,02;   q_т  =  0,01; q_г  для      котла, турбины и генератора соответственно.

Очевидно, что  аварийный  выход из работы всего блока может иметь место при повреждении хотя бы одного из трех указанных элементов блока. Так как неповреждение является случайным событием, противоположным повреждению, то вероятности неповреждения элементов блока [см. (1-6)]

р_к  =  1 --0,02=0,98;      р_т= 1—0,01=0,99;  р_г  = 1 --0,001  =  0,999.

Найдем вероятность  того, что все элементы блока не повреждены, т. е. блок работает исправно. Так как аварийность каждого элемента можно считать независимой от других элементов, то вероятность того, что все три элемента не повреждены, т. е. вероятность работы блока |см. (1-4)

р_бл = р_кр_т р_г= 0,98-0,99.0,999= 0,9692298.

Повреждение блока по любой причине является событием, противоположным по отношению к неповреждению блока, поэтому вероятность повреждения блока

q_бл   = 1  — 0,9692298 = 0,0307702.

Можно определить эту же величину, если рассмотреть все частные случаи

(их может  быть только семь) повреждения  элементов блока: а) котла; б) турбины; в) генератора;    г) котла и турбины; д) котла и генератора; с) турбины и генератора; ж) котла, турбины и генератора.

Найдем вероятность  каждого из этих частных случаев повреждения блока, исходя из формул   (1-4) и (1-6):

а) вероятность повреждения котла,

0,02·0,99-0,999= 0,0197802.

Было бы неправильным считать, что вероятность повреждения только котла равно 0,02, так как в число событий «повреждение котла» бы события одновременного повреждения котла и других элементов,

В случае а) интерес представляет повреждение только котла при неповреждении других элементов. Именно поэтому 0,02 умножается на 0,99 и 0,999;

б) вероятность повреждения турбины

0,98-0,01.0,999=0,0097902.

Аналогично получим вероятности для остальных случаев:

в)0,98.0,99.0,001 =0,0009702;

г)    0,02.0,01.0,999 = 0,0001998;

д)     0.02.0,99.0,001 = 0.0000198;

    е) 0 ,98.0,01.0.001=0.0000098;

ж) 0,02.0.01 .0,001 =0,0000002.

Если сложить  вероятности для всех семи случаев, то получится вероятность повреждения блока, равная 0.0307702. Как видно, для определения вероятности повреждения блока первый путь гораздо проще и требует меньше расчетов. Зато второй путь позволяет не только получить величину общей вероятности повреждения блока, но и проанализировать вероятность различных причин повреждения всего блока. Наибольшее значение имеет вероятность повреждения котла, а затем—турбины. Вероятность этих двух случаев составляет 0,0295704 из общей вероятности 0,0307702.

       В энергетике широко применяют случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее  нормальное, общее нормальное, биноминальное, по закону Пуассона. В литературе  для них даны формулы функций и плотности распределения вероятностей, а также формулы, определяющие вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.  Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используют при нахождении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потребителей энергосистемы, отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений, и т. п. Биноминальное распределение и распределение по закону Пуассона применяют при определении вероятностей различных значений аварийных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д. Равномерное распределение служит основой метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п.

  Из-за отсутствия соответствующих статистических материалов не всегда можно задать таблицы распределения вероятностей для дискретных случайных величин или функции распределения и плотности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин. Однако и не для всех практических задач требуется знать полные вероятностные характеристики случайной величины. Во многих случаях достаточно знать основные числовые характеристики случайных величин, к числу которых относятся математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и моменты случайной величины.            

Случайная величина может приобретать различные  значения, поэтому важно знать  ее среднее значение. Однако, если известна совокупность значений случайной величины, то простое среднее значение, определяемое как сумма возможных значений, разделенная на их число, еще не характеризует действительных условий. Ведь различные значения случайной величины могут иметь различные вероятности, и поэтому более вероятные значения будут чаще встречаться на практике и в большей мере определять истинное среднее значение случайной величины. Поэтому для оценки среднего (в вероятностном смысле) значения случайной величины вводится понятие математического ожидания, предъявляющего собой действительно среднее значение случайной величины, определяемое с учетом различных вероятностей отдельных значений. Математическое ожидание (в дальнейшем сокращенно м. о.) случайной величины η или α будем обозначать как М(η) или М(α).

Определим м. о. для случайной дискретной величины. Пусть заданы вероятности различных значений случайной дискретной величины: 

Значение η     x₁       x₂         x₃  

Вероятность   p₁       p₂         p₃ 

Примем, что общее  число испытаний составляет n , причем m₁ раз получалась величина x₁, m₂ раз и т. д. Тогда м. о., представляющее собой действительное среднее значение случайной величины,

                                                               (   1 -1 7 )  ,                                                                                                                                                                 

так как вероятности  р₁ = m₁ / n   , р₂= m₂/ n₁      и т. д.

Таким образом, для дискретной случайной величины 

,                          (1-18)

причем суммирование происходит по всем значениям дискретной величины x_к             имеющим вероятности    p_к .                                                                                               Аналогично для непрерывной случайной величины 

           (1-19)                                                                                       где φ (x) — плотность вероятности.      

                                СТАТИСТИКА в электроэнергетике 

Решение любых  задач с применением теории вероятностей в тех случаях, когда используется их статистическое определение, невозможно без получения соответствующего статистического материала, базирующегося на большом количестве опытов или наблюдений. При этом возникают задачи, связанные с правильной обработкой статистических материалов и приданием им формы, удобной для последующего применения методов теории вероятностей. Раздел теории вероятностей, занимающийся регистрацией, обработкой и анализом статистических материалов, называется математической статистикой. .

Рассмотрим вопрос о точности определения статистической вероятности какого-либо события  на основании опытов или наблюденийпо схеме независимых испытаний. Закон  больших чисел (теорема Бернулли) утверждает) [Л.2]: при неограниченном возрастании числа испытаний вероятность того, что разность между наблюденной относительной частотой некоторого события А (равной m/n, где n—число испытаний, а m—число появлений события) и истинной вероятностью события p будет меньше любого самого малого числа ε, стремится к единице, т. е. при достаточно большом числе испытаний вероятность ошибки в замене вероятности случайного события относительной частотой его появления стремится к нулю

где a и b   --   произвольные числа; р— истинная вероятность события; q = 1 – p.

Одно из следствий этой теоремы  записывается следующим образом:

 
 
 

поэтому (при  достаточно большом n)

(1-35)

где m/n— относительная частота появления события; ε—произвольное число; Φ(x) — интеграл вероятности [ Л.2 ] .

  Это дает возможность определить приближенно вероятность ошибки ε в оценке вероятности события р. При определении статистической вероятности какого-либо случайного события могут возникнуть три различных задачи, решение которых основывается на использовании формулы (1-35).

  Пусть, например, событием будет аварийный выход в часы вечернего максимума энергосистемы какого-либо агрегата. Тогда числом испытаний будет число дней наблюдения п, а числом появлений события—число дней, когда данный агрегат находится в период максимума в аварийном состоянии т. При этом возможны три задачи.

  Задача 1. Найти наименьшее число испытаний п, при котором разность относительной частоты m/n и вероятности события р не превышает заданной величины ε с заданной вероятностью β.

Согласно (1-35)                                

β=Φ[ε √n / (pq) ].

По таблицам интеграла вероятностей , используя  зависимость β = Φ(α), при заданном значении β определяем α

           _____

= ε√n /(pq)  и далее находим минимальное число испытаний;

n=(α² / ε²)рq.

Пример 3-12. Пусть q = 0,02; p = 0,98; β = 0,99; ε = 0.01. Найдем наименьшее число испытаний, при котором с вероятностью 0,98 разность относительной частоты и вероятности события не· превышает 0,01.

По таблицам интеграла вероятностей для Ф(а)==0,99 находим а=2,58. Тогда n = (2,58²./ 0,01²) * 0.02*0,98 = 1305.

Если требования к  значению  вероятности β понизить до β=0,95,то Φ (α) = =0,95; α = 1,96. При -атом n =  (1,96 ²  /0,01² ) * 0,98 * 0.02 =  753.

Наоборот, если  требования  к значению вероятности β повысить до 0,999, то Ф(а)==0,999; а=3,3. При этом

n = (3,3²/0,01²)*0,02*0,98=2134.

Задача 2. Найти вероятность β того, что отклонение относительной частоты события т / п от его вероятности ρ будет меньше заданного числа ε при заданном числе испытаний п. Согласно (1-35) искомая величина

                                                         ________

β = Ф[ ε√n / (pq) ],

поэтому сначала  определяют   α = ε√n /{pq), а затем по таблицам интеграла вероятности находят β = Φ(α). 

                          Свойства математического ожидания           

1) Математическое  ожидание постоянной величины  равно самой постоянной.