Применение метода Монте-Карло для вычисления интегралов

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

 высшего профессионального  образования

 «Южно-Уральский государственный  университет»

(национальный исследовательский  университет)

Кафедра «Прикладная математика»

 

 

Курсовая работа

«Применение метода Монте-Карло  для вычисления интегралов».

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы ММ-353

Семенов Д.М.

Проверил:  к.ф-м.н., преподаватель кафедры

«Прикладная математика»

Васильев Ю.С.

Дата: «___» «__________» 2012г.

Оценка:_________________

 

 

 

 

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………….3

Глава 1. Некоторые  сведения теории вероятностей..……………………………………...4

§1. Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины………………………………………………………………………………….4

§2. Нормальное распределение случайной величины………………………………....4

Глава 2. Метод  Монте-Карло…………………………………………………………………5

§1. Общая схема метода Монте-Карло………………………………………………... 5

§2. Оценка погрешности метода Монте-Карло………………………………………. 5

§3. Способы генерации случайных чисел……………………………………………...6

Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло………………………………..7

§1. Обычный способ интегрирования методом Монте-Карло…………..…………...7

§2. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло………………………..7

Глава 4. Некоторые  средства Maple………………………………………………………...9

§1. Встроенный алгоритм метода Монте-Карло в Maple…………………………….9

§2. Законы распределения случайных величин в Maple……………………………..9

Глава 5. Применение метода Монте-Карло в Maple..........................................................10

§1. Вычисление интеграла в Maple…………………………………………………...10

§2. Вычисление многократного интеграла в Maple…………………………………11

Литература……………………………………………………………………………………13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Метод Монте-Карло можно определить как численные методы решения  математических и физических задач  при помощи моделирования случайных  величин и статической оценке их характеристик.

Название «Монте-Карло» произошло  от города Монте-Карло (княжество Монако), известного своим казино, ибо одним  из простейших приборов для генерирования  случайных чисел служит рулетка.

Официальной датой рождения метода Монте-Карло считают 1949 год. Возникновение  метода связывают обычно с именами  Дж. Неймана, С. Улама, Н. Метрополиса, а также Г. Кана и Э. Ферми; все они в 40-х годах работали в Лос-Аламосе (США). Необходимо сразу подчернуть, что теоретические основы метода Монте-Карло были известны значительно раньше.

Первоначально метод Монте-Карло  использовался главным образом  для решения задач нейтронной физики, где традиционные численные  методы оказались мало пригодными. Далее его влияние распространилось на широкий класс задач статистической физики, очень разных по своему содержанию.

Метод Монте-Карло оказал и продолжает оказывать существенное влияние  на развитие методов вычислительной математики (например, развитие методов  численного интегрирования) и при  решении многих задач успешно  сочетается с другими вычислительными  методами и дополняет их. Его применение оправдано в первую очередь в  тех задачах, которые допускают  теоретико-вероятностное описание. Это объясняется как естественностью  получения ответа с некоторой  заданной вероятностью в задачах  с вероятностным содержанием, так  и существенным упрощением процедуры  решения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Некоторые сведения теории вероятностей

§1. Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

 

Пусть у нас есть вероятностное  пространство . Тогда функция

 называется случайной величиной, если множество тех событий , для которых , является случайным событием, т.е. принадлежит

-алгебре событий 

 

Функцией распределения случайной величины ξ называется функция

, при каждом , равная

 

Пусть случайная величина ξ имеет абсолютно непрерывное распределение, если неотрицательная функция такая, что , функция распределения представима в виде

 ,

 

где – плотность вероятности случайной величины

 

Математическим  ожиданием непрерывной случайной величины называется число:

 

В случае дискретной случайной  величины математическое ожидание равно:

 

 

Дисперсией непрерывной случайной величины называется число:

 

В случае дискретной случайной величины дисперсия равна:

 

 

§2. Нормальное распределение случайной величины

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины ξ, если ξ имеет плотность распределения:

 

a – математическое ожидание, σ – среднее квадратичное отклонение нормального распределения.

 

Глава 2. Метод  Монте-Карло

§1. Общая схема метода Монте-Карло.

Сущность метода Монте-Карло  состоит в следующем: требуется  найти значение некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину ξ, математическое ожидание которой равно : .

Практически же поступают  так: производят испытаний, в результате которых получают возможных значений ξ; вычисляют их среднее арифметическое и принимают в качестве приближенного значения искомого числа ().

Поскольку метод Монте-Карло  требует проведения большого числа  испытаний, его часто называют методом  статистических испытаний. Теория этого  метода указывает, как наиболее целесообразно  выбрать случайную величину ξ, как  найти её возможные значения. В  частности разрабатываются способы  уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания его приближенным значением .

§2. Оценка погрешности  метода Монте-Карло.

Из курса теории вероятностей известно, что последовательность одинаково распределенных независимых случайных величин с конечными дисперсиями подчиняется центральной предельной теореме. Последнее означает, что

 

Положим, что . Тогда из последнего соотношения получим, что

 

 – интеграл вероятностей, его значения обычно легко найти в таблице.

Следовательно, при достаточно больших значениях имеет место:

 

 Данная формула содержит целое семейство оценок, зависящее от параметра . Если задать любой коэффициент доверия , то можно найти (по таблице) корень уравнения . Тогда из формулы вытекает, что вероятность неравенства

  приблизительно равна .

Чаще других используют коэффициент  доверия , которому соответствует (так называемое «правило трех сигм», ибо случайная величина приближенно нормальна и ее среднее квадратичное отклонение ).

 

Как правило, когда нам  требуется найти значение некоторой  изучаемой величины методом Монте-Карло, значение дисперсии  неизвестно. Хорошую теоретическую оценку для удается получить редко. Однако в большинстве задач величину нетрудно оценить эмпирически. В самом деле, достаточно одновременно с вычислением вычислять также . Тогда получим

 

Данную формулу постоянно  используют на практике.

§3. Способы генерации  случайных чисел.

При практическом применении методов Монте-Карло необходимо иметь достаточно большую выборку  случайных чисел с заданным законом  распределения. Для генерации таких  случайных чисел можно использовать:

 

• результаты случайных физических процессов, например вспышки в счетчике Гейгера; бросание игральной кости; вращение рулетки в игорном доме Монте-Карло (отсюда название методов);

 

• имеющиеся таблицы случайных чисел (приводятся, например, в литературе по теории надежности);

 

• современные ЭВМ, в которых имеются встроенные генераторы случайных чисел; при отсутствии такого генератора случайные числа можно генерировать программно.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Вычисление интегралов методом Монте-Карло

§1. Обычный способ интегрирования методом Монте-Карло.

Предположим, требуется вычислить  определенный интеграл

 

Рассмотрим случайную  величину ξ, равномерно распределенную на . Тогда также будет случайной величиной, причем её математическое ожидание выражается так

 

где – равномерная плотность распределения, равная на .

Таким образом, искомый интеграл выражается как

 

 

 

Из этого легко найти  оценку интеграла:

 

 

§2. Вычисление кратных интегралов методом Монте-Карло.

Если функция  , то интеграл  можно рассматривать как объём тела в мерном пространстве, т.е.

где область интегрирования определяется условиями

Если в области  , то введя новую переменную , получим

где область  лежит в единичном мерном кубе

Возьмём равномерно распределенных на отрезке случайных последовательностей

Составим соответствующую  последовательность случайных точек 

Пусть из общего числа  случайных точек точек принадлежат объёму , тогда имеет место приближенная формула

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. Некоторые  средства Maple

§1. Встроенный алгоритм метода Монте-Карло в Maple.

Одним из методов численного интегрирования в Maple (начиная с Maple 9) является метод Монте-Карло. Для его вызова необходимо воспользоваться следующей формой записи:

> evalf(Int(f(X1…Xn),[X1=A1..B1,…,Xn=An..Bn], method=_MonteCarlo));

evalf() – функция для вычисления приближенных значений с плавающей запятой.

Int() – функция для вычисления интеграла на заданном промежутке интегрирования.

method =_MonteCarlo – опциональный аргумент функции Int(), который позволяет нам вычислить интеграл методом Монте-Карло.

 

§2. Законы распределения  случайных величин в Maple

 

В Maple имеется функция для генерации случайных чисел с различными законами распределения, в т. ч. Нормальным (normald) и равномерным (uniform)  законами. Она имеет имя random и находится в пакете статистики stats.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 5. Применение метода Монте-Карло в Maple

§1. Вычисление интеграла в Maple.

Покажем на практике, как  вычисляется интеграл методом Монте-Карло  для 100 и 10000 случайных значений. Для  этого предварительно вычислим интеграл аналитически: 

Покажем, что

 

и положив 

 

откуда получим

 

Тогда

 

 

Приведем листинг программы  в Maple

 

Вычисление одномерного  интеграла

 

Погрешность метода

Погрешность метода

 

Основной метод интегрирования в Maple

 

 

Из результата вычислений видно, что при увеличении числа  случайных значений уменьшается  погрешность метода. Однако время, затраченное  на расчет слишком велико по сравнению  с обычным методом, поэтому метод  Монте-Карло чаще используют для  вычисления неберущихся или многомерных (см. след . §) интегралов.

 

§2. Вычисление многократного интеграла в Maple.

 

Для того, чтобы показать всю прелесть метода Монте-Карло вычислим 5-мерный интеграл, который не высчитывается аналитически.

 

 

Приведем листинг программы  в Maple

 

Вычисление 5-мерного  интеграла