Применение формулы Бернули

Формула Бернулли

 

  Всем нам доводилось видеть,  как подбрасывают монету и считают, сколько раз выпадет орел. Ясно, что вероятность появления орла при каждом бросании р = 0,5 , как и вероятность выпадения решки q = 0,5. А какова вероятность того, что при десяти бросаниях орел выпадет например пять раз? Или восемь раз?

  Мы неоднократно сталкивались  с ситуацией, когда то  или  иное испытание повторяется несколько  раз в одинаковых условиях, причем  каждый раз нас интересует  лишь, произошло или не произошло  заданное событие А. Выстрелы по мишени (А – попадание), контроль качества деталей ( А – бракованная деталь), рождение детей ( А – рождение мальчиков) – эти примеры вписываются в одну общую схему – так называемую схему Бернулли ( по имени швейцарского математика  Якоба Бернулли  жившего в XVII веке)  Проводится последовательность испытаний, в каждом из которых, независимо от остальных испытаний, определенное событие А происходит с одной и той же вероятностью р. По сложившейся традиции это событие А называют успехом, а противоположное событие А – неудачей. События А_{1 ,} А_{2, ……}Аn, состоящие в том, что первое, второе, …, n-е испытание (соответственно) приносит успех, независимы в совокупности. Тогда

Р (А_{1 ,} А_{2, ……}Аn) = Р (А₁ )  Р (А₂)… Р (А_n),

Причем равенство это остается верным и в случае, если какие-нибудь из рассматриваемых событий заменить противоположными им событиями.

  Формула Бернулли.   Пусть  р – вероятность успеха в отдельном испытании Бернулли, а тогда вероятность неудачи есть  q =1- р

 Р (А) = р    Р (А) = q =1- р

Нас будет интересовать Р_n (m) – вероятность того, что в n таких испытаниях произойдет ровно тn успехов.

 Для простоты условимся цифрой 1 обозначать успех, цифрой 0 –  неудачу. Тогда m успехов в n испытаниях можно представить себе, n например, так:

  11…1   00 …0;   00…0   11…1.

     тn       n-тn        n-тn      тn

Каждый из этих вариантов, очевидно имеет вероятность

р ^тnq ^n-тn, - такую же, как и любой другой набор тn единиц и n-тn нулей. Всего же подобных вариантов С^тn _n – столько, сколько существует способов выбрать из n мест тn мест под единицы, отводя оставшиеся n-тn мест под нули. Но в таком случае

где .

 

Это и есть формула  Бернулли. Она справедлива для  всякого 0< р< 1 и любого

 тn  = 0,1,2,…, n.

В «крайних»  случаях,  при   тn = n и тn = 0 получаем

Р _n(n) = р ⁿ,       Р _n (0) =q ⁿ

- вероятность того, что  все опыты завершаются успехом,  соответственно неудачей.

Сумма всех вероятностей, определяемых формулой Бернулли при  фиксированных n и р , равна 1

 

 

=1

_m=0

Пример.1

 В четырех попытках разыгрываются некоторые предметы. Вероятность выигрыша в каждой попытке известна и равна 0,5. Какова вероятность выигрыша ровно трех предметов?

Решение. По формуле Бернулли находим

Пример 2.

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0.8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение.

В этом примере n = 5, р = 0.8 и m = 2; по формуле Бернулли находим:

Пример 3.

2 равносильных шахматиста играют ряд партий, причем ничьи в счет не идут. Что более вероятно в счете: ( 1 : 1), или (2 : 2), или (3 : 3) и т.д.?

Решение.

Найдем по формуле Бернулли вероятность того, что в 2n результативных партиях один из шахматистов выиграет n партий, т.е. счет будет n : n. Принимая во внимание, что p=q=0.5 , имеем:

Преобразуем полученное выражение  с целью найти связь между  и :

Из полученного соотношения 

видно, что счет (n : n) более вероятен, чем (n + 1 : n + 1). Расчеты по формуле Бернулли показывают, что последовательности событий (1 : 1), (2 : 2), (3 : 3), (4 : 4), … соответствует последовательности вероятностей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

1. Кочетков Е. С., Смерчинская С. О., Соколов В. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебик. – М.: ФОРУМ – ИНФРА-М, 2003
2. Тарасов Л. В. Мир, построенный на вероятности.- М: Просвещение. 2004