Прикладні аспекти теорії ігор

                    Тема: «Прикладні аспекти теорії ігор»

Зміст

 

1. Вступ

2. Історія винекнення теорії ігор

3.  Основні означення і положення  теорії ігор

           3.1.  Учасники гри, гравці, стратегії, виграші

           3.2.   Класифікація ігор і загальні відомості про методи їх розвязування

     4.  Заключення

     5.  Література

       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                       

 

1.Вступ

 

    У практичній діяльності людей часто виникають конфліктні ситуації, коли декільком учасникам приходиться взаємодіяти при обставинах, у яких кожний з учасників намагається досягти своєї мети своїм доступним йому способом, але ніхто з них цілком не впливає на хід подій, тобто  результат боротьби лише частково залежить від дій кожного учасника. У конфліктній ситуації є кілька зацікавлених сторін, кожна з яких намагається одержати максимальний виграш. Такі ситуації виникають під час проведення звичайних салонних ігр, спортивних змагань, у військовій справі, у торгівельних відносинах, в економічній, господарській і політичній діяльності, у медичному обслуговуванні і т.д.

   Теорія ігр - це розділ математики, в якому досліджуються питання поведінки і виробляються оптимальні правила (стратегії) поведінки для кожного з учасників конфліктної ситуації. Розв'язання суперечень за допомогою теорії ігр можливе лише після проведення математичного моделювання ситуацій у вигляді гри.

    Теорію ігр, як один із розділів математики, рекомендовано використовувати при організації факультативних занять у навчально-виховних закладах з поглибленим вивченням математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                   2. ІСТОРІЯ ВИНЕКНЕННЯ ТЕОРІЇ ІГОР

    Ми дуже часто маємо справу з явищами реального світу, що залежать від невідомих обставин або від таких, які не підлягають обліку. Наприклад, не можна передбачити, на який квиток випаде виграш у майбутньому тиражі лотереї, скільки зерен дасть визначене колосся від посіяного зерна пшениці, скільки випускників середніх шкіл подадуть заяви для вступу в Донецький Національний університет,  чи будуть серед деталей, оброблених токарем за зміну, браковані і скільки.

    Ще первісний вождь розумів, що у десятка мисливців ймовірність вразити списом зубра набагато більша, ніж у одного. Тому полювали тоді колективно. Безпідставно було б думати, що такі древні полководці, як Олександр Македонський або Дмитро Донськой, готуючись до бою, уповали лише на мистецтво воїнів. Безсумнівно, вони на підставі спостережень і досвіду військового керівництва вміли якось оцінити ймовірність свого повернення з щитом або на щиті, знали, коли приймати бій, коли ухилитися від нього. Вони не були рабами випадку, але разом з тим вони були ще дуже далекі від теорії ймовірностей.

   Пізніше, з досвідом, людина всі частіше стала зважувати випадкові події, класифікувати їх ісходи як неможливі, можливі і достовірні. Вона помітила, що випадками не так вже рідко керують об'єктивні закономірності.

  Ось найпростіший експеримент - підкидають монету. Якщо підкинути монету один раз, то не можна свідомо знати, якою стороною вона впаде - гербом або решкою. Не можна помітити ніякої закономірності, якщо монету підкинути 10 разів. Випадання герба або цифри, звичайно, випадкове явище.

Хто і коли вперше проробив експеримент з монетою, невідомо. Французький натураліст Ж.Бюффон (1707-1788) у  вісімнадцятому сторіччі 4040 разів підкидав монету - герб випав 2048 разів. Англійський статистик К.Пірсон на початку двадцятого сторіччя з 1200 підкидань монети одержав 602 випадіння герба, а з 24000 – 12120 випадінь. Років 35 назад американські експериментатори повторили досвід. При 10000 підкидань герб випав 4979 разів. Вчені помітили, що при багаторазовому підкиданні монети кількість випадань герба або решки приблизно однакова. Отже, результати кидань монети, хоча кожний з них і є випадковою подією, при декількаразовому повторенні задовольняють об'єктивному закону.

   У таблиці 1.1 наведені результати серії іспитів, при яких монети кидали 10000 разів. При цьому розглядалися окремо серії з п-експериментів, і в кожній серії фіксували кількість появи гербів.

Таблиця 1.1

Кількість випадання гербів у серіях з n=100 експериментів										Загальна кількість гербів у серіях з n=1000 експериментів
54 48 43 58 48 49 45 53 45 47	46 46 52 60 51 50 47 52 47 41	53 40 58 54 51 45 41 46 46 51	55 53 51 55 49 52 49 44 47 51	46 49 51 50 44 52 49 44 47 51	54 49 50 48 52 48 59 51 48 52	41 48 52 47 50 47 60 48 59 55	48 54 50 57 46 47 55 51 57 47	51 53 53 52 53 47 53 46 45 41	53 45 49 55 41 51 50 51 48 48	501 485 509 536 485 488 508 486 496 484

   Найбільш цікаві задачі теорії ймовірностей виникли в області азартних ігр. Цьому, мабуть, сприяла наявність таких "наочних прикладів", як монета або гральна кістка.

   До азартних ігр відносили кидання шестигранних гральних кісток. Слово "азар" з арабської "важкий". Так, араби називали азартною грою комбінацію очок, що при киданні декількох кісток могла з'явитися лише єдиним способом. Наприклад, при киданні двох гральних кісток важким ("азар") вважалася поява в сумі двох або дванадцяти очок.

   Виникнення теорії ігор як науки пов'язано з потребами практики, демографії, страхової справи, азартних ігор і т.п. Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ігр, з'явилися в XVІ-XVІІ ст. і належали Д.Кардано (1501-1576), Б.Паскалю (1623-1662), П.Ферма (1601-1665) і Х.Гюйгенсу (1629-1695). У них робилася спроба створити теорію азартних ігр з метою надання рекомендацій гравцям, передбачення результату ігр. Приклади таких передбачень дає історія азартних ігр, що були поширені вже в XVІІ ст. Одна з них - гра в кістки - полягає в тому, що кожен гравець по черзі кидає на стіл два або три гральних кубики і підраховує суму очок, що випала на верхніх гранях на кожному при визначеній кількості кидань. Умови виграшу були різними. Наприклад, домовлялися, що всю ставку одержує той, у кого загальна сума очок раніше досягне визначеного числа.

Для визначення шансів на виграш важливо знати, як часто випаде та або інша кількість очок. Досвідчені  гравці помітили, що при великій кількості кидань двох гральних кубиків найчастіше  випадає сума очок, що дорівнює 7, а рідше - 2 або 12. У зв'язку з тим, вони ставили такі умови гри, щоб забезпечити собі виграш, тобто впливали на хід випадкового процесу, обмежуючи тим самим вплив випадковості.

    Перші відомі підрахунки числа різних можливих ісходів при киданні трьох гральних кісток відносяться до X-XІ ст. Ще до XVст. зустрічалися поеми, у яких кожному результатові при киданні трьох гральних кісток відповідав визначений вірш. Таких віршів було 56. Дійсно, 56 - це число всіх можливих ісходів при киданні, якщо не враховувати порядок появи чисел на кістках.

Сама рання відома нам спроба підрахувати число можливих ісходів при киданні трьох гральних кісток, включаючи і перестановки, зустрічається в XІІІст. Але і значно пізніше багато авторів робили аналогічні підрахунки невірно.

 

  3. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ І ПОЛОЖЕННЯ ТЕОРІЇ ІГОР

       3.1. Учасники гри, гравці, стратегії, виграші

    Гра характеризується системою правил, які визначають кількість учасників гри, їхні можливі дії і розподіл виграшів у залежності від їхньої поведінки і результатів. Гравцем вважаємо одного учасника або групу учасників гри, які мають одні загальні для них інтереси, що не збігаються з інтересами інших груп. Тому не кожен учасник вважається гравцем.

   Так, наприклад, якщо в грі беруть участь чотири людини і кожна грає тільки за себе, то в ній є чотири гравця, якщо ж чотири людини утворили дві коаліції з двох учасників в кожній, тобто грають двоє на двоє, то вважається, що в цій грі беруть участь два гравці. У багатьох спортивних іграх таких, як футбол, волейбол і інших, змагаються дві команди, у кожній з яких є декілька учасників. Ці учасники, об'єднані в команди, утворюють групи осіб: у кожній з цих груп вони мають єдині цілі, протилежні один одному. Тому в таких іграх варто розглядати по два гравця. Ігри в шашки, шахи мають двох гравців навіть у тому випадку, коли грають команди, що складаються з декількох осіб.

    Нехай три фірми, що мають визначений капітал, бажають використати його для одержання можливості збуту своєї продукції на ринку. Кожна з цих фірм, вкладаючи капітал, може збувати свою продукцію з деякою вигодою для себе. Ця вигода залежить не тільки від внеску однієї фірми, а від внесків зроблених іншими фірмами. Жодна  з фірм не має повного впливу на ринок збуту, тобто кожна фірма тільки частково впливає на кінцевий результат - вигоду, одержувану нею. Розглядаючи економічну ситуацію, що виникла в результаті взаємодії трьох фірм, як гру, можна допустити:

а) усі три фірми діють самостійно, домагаючись найбільшої вигоди для себе за рахунок своїх можливостей і враховуючи можливості поведінки інших фірм, тоді це буде гра трьох гравців;

б) які-небудь дві фірми об'єдналися в коаліцію і діють разом з єдиною метою досягти найбільшої вигоди для себе, враховуючи можливу поведінку третьої фірми, тоді це буде гра двох гравців.

    Правила або умови гри визначають можливу поведінку, вибори і ходи для гравців на будь-якому етапі розвитку гри. Зробити вибір гравцеві - це означає зупинитися на одній з його можливостей поведінки. Гравець здійснює цей вибір за допомогою ходів. Зробити хід - це означає на визначеному етапі гри здійснити відразу весь вибір або його частину в залежності від можливостей, передбачених правилами гри. Кожен гравець на визначеному етапі гри робить хід відповідно до зробленого вибору. Інший гравець, знаючи або не знаючи про зроблений вибір першого гравця, також робить хід. Кожний із гравців намагається врахувати інформацію про минулий розвиток гри, якщо така можливість дозволяється правилами гри. 

    Набір правил, що однозначно вказують гравцеві, який вибір він повинний зробити при кожнім ході в залежності від ситуації, що склалася в результаті проведення гри, називається стратегією гравця. Стратегія в теорії ігор означає визначений закінчений план дій гравця, що показує, як треба діяти йому у всіх можливих випадках розвитку гри. Стратегії можуть бути гарними і поганими, вдалими і невдалими.

    При грі в шахи стратегія повинна вказувати гравцеві який хід він повинний зробити при будь-якому розвитку гри. Очевидно, при такому підході у грі вшахи є дуже багато стратегій, перелічити які практично не можливо, і тому при аналізі і вивченні стратегій у цій грі виділяють головні і ними користуються. Для різних гравців головними є різні стратегії, як правило, відомі тільки самому гравцеві, і тому гра в шахи становить інтелектуальний інтерес, незважаючи на те, що в ній немає випадкових ходів.

    При грі у футбол також є дуже багато стратегій і кожна команда застосовує свій набір стратегій для того, щоб досягти мети. У цій грі, звичайно, велику роль грає і майстерність, яка також може входити до складу стратегії команд і гравців. В іграх, що відображають економічні ситуації, стратегіями можуть бути розміри вкладених у визначені заходи засобів. Так у грі трьох фірм кожна з них може внести визначену частку свого капіталу - це і є стратегія. Очевидно, таких стратегій  у кожної фірми багато.

    Правилами гри передбачаються визначені виграші для гравців у залежності від застосованих ними стратегій і результатів гри. Виграш - це міра ефекту для гравця. Так, у покері, преферансі й інших іграх після гри звичайно відбувається обмін цінностями у вигляді грошей, тобто ефект від результату цих ігор вимірюється в грошових одиницях.

     У таких іграх, як шашки, шахи, результатом гри є виграш, нічия, програш. Виграші тут виміряються очками (виграш - одне очко, нічия  - половина очка, програш – нуль очок). При грі у футбол результат гри виміряється очками: виграш – два очка, нічия -  одне очко, програш - нуль очок. В іграх, що відображають економічні ситуації, виграші майже завжди виміряються у вартісному виразі: прибуток, собівартість, амортизація і т.д. Так, в описаній вище ситуації трьох фірм виграш може вимірятися тим прибутком, що одержить фірма в результаті застосування стратегій усіма фірмами.

      Бувають реальні ситуації, у яких виграш оцінюється як почуття задоволення або морального задоволення, а програш як почуття гноблення. Так що не всілякий виграш може вимірюватися кількісно. У теорії ігор розглядаються тільки такі ігри, у яких виграш виражається кількісно: вартістю, очками, балами і т.д. Очевидно, результат гри, а  отже, і виграши гравців залежать від стратегій, що застосовують гравці. Однак виграш кожного гравця не цілком залежить від застосованої їм стратегії, він залежить і від стратегій, застосованих іншими гравцями. У кінцевому рахунку, у грі ніякий гравець не може цілком контролювати свій виграш. Надалі  будуть розглядатися виграші, які вимірюються кількісно (числами). Програш виражається як негативний виграш.