Поверхности второго порядка

 

Содержание:

1. Цилиндрические поверхности
2. Поверхности вращения.
1. Эллипсоид.
2. Однополостный гиперболоид.
3. Двуполостный гиперболоид.
3. Параболоид.
1. Эллиптический параболоид.
2. Гиперболический параболоид.
4. Конические поверхности.
1. Конус второго порядка.
5. Список литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                           Поверхности второго порядка

 

    Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени:

 

 

  

         Цилиндрические поверхности.

         Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей.

 

 

 

       Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

 

F (x, у) =0

 

Если взять  произвольную точку M (z, y, z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁, у₁,0). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F (x, у)=0.

Итак, уравнению удовлетворяют  координаты любой точки цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

 

F (x, у)=0 – искомое уравнение цилиндрической поверхности.

Если в прямоугольной  системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F (x, у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

 

1. х²+y²=z² – прямой круговой цилиндр;

2) – эллиптический цилиндр;

3) – гиперболический цилиндр;

4) у²=2 рх – параболический цилиндр.

 

      Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.

 

 

 

 

 

 

Поверхности вращения.

Определение. Поверхность называется поверхностью вращения, если она вместе с каждой своей точкой содержит и всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой, называемой осью вращении.

   

 

 

 

    Эллипсоид.

         Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: 

 

                        (1)

 

 

 

  

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.

       Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями:

                                        (2)

Исследуем уравнения (2) при  различных значениях h.

1. Если > c (c>0), то  и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости z=h с данным эллипсоидом не существует.
2. Если , то и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c) (плоскости касаются эллипсоида).
3. Если , то уравнения (2) можно представить в виде:

откуда следует, что  плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с полуосями и . При уменьшении значения и увеличиваются и достигают своих наибольших значений при , т. е. в сечении эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается  самый большой эллипс с полуосями и .

Аналогичная картина получается и  при пересечении данной поверхности  плоскостями, параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.

Таким образом, рассмотренные сечения  позволяют изобразить эллипсоид  как замкнутую овальную поверхность. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.

 

      Однополосный гиперболоид.

      Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

 

                   (3)

 

      Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.

     Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения:

 

     и         

 

 

из которых следует, что в  сечениях получаются гиперболы.

      Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями:

 

                    или       (4)

 

из которых следует, что плоскость  z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями     и  ,

достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании величины a* и b* возрастают бесконечно.

      Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.

Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.

 

 

 Двуполостный гиперболоид.

     Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

                           (5)

 

      Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

      Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения

                               и  

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.

     Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется уравнениями

 

                                 или            (6)

из которых следует, что при  >c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями   и . При увеличении величины a* и b* тоже увеличиваются.

      При     уравнениям (6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с)  (плоскости  касаются данной поверхности).

      При  уравнения (6) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом не существует.

Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.

 

 

  Параболоид.

  Параболоид - незамкнутая нецентральная поверхность второго порядка.

 

 

Эллиптический параболоид.

    Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

                              (7)

где p>0 и q>0.

      Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

      Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями  Oxy и Oyz. Получаем соответственно уравнения:

                                            и

 

из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.

Теперь рассмотрим сечения  данного параболоида плоскостями z=h, параллельными координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется уравнениями:

 

                                    или          (8)

 

из которых следует, что при  плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями и . При увеличении h величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку (плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

      Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.

      Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

      В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е. эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).

 

Гиперболический параболоид.

     Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат, определяется уравнением:

                     (9)                

где p>0, q>0.

     Уравнение (9) называется  каноническим уравнением гиперболического  параболоида.

     Рассмотрим сечение  параболоида плоскостью Oxz (y=0).

     Получаем уравнение:

 

                                               (10)

 

из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же направленные вверх параболы.

 

                                          

 

рассмотрим сечение  данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).

    Получаем уравнение:

                                               

из которых следует, что и в этом случае в сечении  получается парабола, но теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Oyz (x=h), получим уравнения:

 

                                        

 

из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола, направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями (10).

      Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy . получим уравнения:

 

                         или

 

из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 – гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых

                               и

 

точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.

 

      

 

 

 

       Конические поверхности.

       Конической поверхностью называется множество прямых (образующих), проходящих через некоторую точку (вершину) и пересекающих некоторую линию (направляющую).

 

      Конус второго порядка.

      Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением:

  (11)

Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности плоскостью Oxy (y=0) получаем линию

 

распадающуюся на две  пересекающиеся прямые

 

  и  

 

     Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также получаются две пересекающиеся прямые