Постановка транспортной задачи

 

 

Содержание.

 

 

1. Линейная  транспортная задача                         - 3 стр.

2. Составление  опорного плана            - 6 стр.

3. Метод потенциалов                                                 - 7 стр.

3. Список  использованной  литературы                -  15 стр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Транспортная  задача.

 

Транспортная  задача  ставится  следующим  образом: имеется  m пунктов отправления_,   в  которых  сосредоточены  запасы  каких-то  однородных  грузов. Имеется   n  пунктов назначения  подавшие  заявки  соответственно  на  груза. Известны  стоимости р _{i j} перевозки  единицы   груза    от  каждого  пункта  отправления    до  каждого   пункта  назначения. Все  числа  р _{i j,} образующие   прямоугольную  таблицу  заданы. Требуется  составить  такой  план  перевозок   (откуда, куда  и  сколько  единиц  поставить), чтобы  все  заявки  были  выполнены, а  общая  стоимость  всех  перевозок  была  минимальна.

Далее, предполагается, что

                                

                                 1

где b_i есть количество продукции, находящееся на складе i, и a_j – потребность потребителя j.

Замечание. Если  то количество продукции, равное  остается на складах. В этом случае мы введем "фиктивного" потребителя n +1  с потребностью и положим транспортные расходы p_i,n+1 равными 0 для всех i.

Если  то потребность не может быть покрыта. В этом случае начальные условия должны быть изменены таким образом, чтобы потребность в продукции могла быть обеспечена.

Обозначим через x_ij количество продукции, поставляемое со склада i потребителю j. В предложении (1) нам нужно решить следующую задачу (математическая модель транспортной задачи):

                             

      

      2

 

                  

Транспортную задачу мы можем характеризовать транспортной таблицей и таблицей издержек:

	а1		…		аn
b1 . . . bm	.
		.
			.
				.
					.
						.

 

p11	…	p1n
.		.
.		.
.		.
pm1	…	pmn

 

 

 

Допустимый план перевозок будем представлять в виде транспортной таблицы:

	а1	…	аn
b . . . bm		…
	.		.
	.		.
	.		.
		…

 

Cумма элементов строки i должна быть равна b_i, а сумма элементов столбца j должна быть равна a_j, и все должны быть неотрицательными.

Пример 1.

 

	20	5	10	10	5
15
15
20

 

5	6	3	5	9
6	4	7	3	5
2	5	3	1	8

 

Мы получаем следующую  задачу:

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄+х₁₅                                                                                              =15,

                                х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄+х₅₅                                                                                   =15,    

                                                         х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄+х₃₅                 =20,

      х₁₁                                                                        +х₂₁                                                                  +х₃₁                                                           =20,

      х₁₂                                                +х₂₂                                                                  +х₃₂                                                 =5,

             х₁₃                                                +х₂₃                                            +х₃₃                        =10,

           х₁₄                                                                          +х₂₄                                                               +х₃₄                =10,                                                            

                 х₁₅                                                 +х₂₅                                           +х₃₅                 =5;

 

х_ij 0 для i = 1,2,3; j = 1,2,3,4,5;

                   К_min=5х₁₁+6х₁₂+3х₁₃+5х₁₄+9х₁₅+6х₂₁+4х₂₂+7х₂₃+3х₂₄+5х₂₅+2х₃₁+5х₃₂+3х₃₃+х₃₄+8х₃₅;

 

Такие задачи целесообразно решать при помощи особого варианта симплекс-метода – так называемого метода потенциалов.

Все транспортные задачи имеют оптимальное решение. Если все значение a_j и b_i в условиях транспортной задачи целочисленные, то переменные x_ij во всех базисных решениях (а так же и в любом оптимальном базисном решении) имеют целочисленные значения.

2. Составление  опорного плана.

 

Решение  транспортной  задачи   начинается  с  нахождения  опорного  плана. Для  этого  существуют  различные  способы, рассмотрим  простейший, так  называемый  способ  северо-западного  угла. Пояснить  его проще всего будет на  конкретном  примере:

Условия  транспортной  задачи  заданы транспортной  таблицей.

а b	20	5	10	10	5
15	5	6	3	5	9
15	6	4	7	3	5
20	2	5	3	1	8

 

Будем  заполнять  таблицу  перевозками  постепенно  начиная  с  левой  верхней ячейки ("северо-западного угла" таблицы). Будем рассуждать  при  этом  следующим  образом. Пункт  а₁   подал заявку    на  20 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 15, имеющегося  в пункте  b ₁ , и запишем перевозку 15 в клетке (1,1). После этого дополним заявку за счет заявка  пункта b ₂, и запишем  5 в клетке (1,2), теперь заявка удовлетворена, но  в пункте  b ₂  осталось  ещё 10  единиц  груза. Удовлетворим  за  счёт  них  заявку  пунктов а₂ (5 единиц клетка 2,2) и а₃  (5 единиц клетка 2,3). На складе b ₃ есть запас в 20 единиц, за счет его мы удовлетворим оставшиеся заявки а₃ (оставшиеся 5 единиц клетка 3,3), а₃ (10 единиц клетка 3,4) и а₅  (5 единиц клетка 3,5).

5
6	4	7
		3	1	8

 

На  этом  распределение  запасов  закончено;  каждый  пункт  назначения   получил  груз,  согласно  своей  заявки. Это выражается  в том, что сумма перевозок в каждой  строке  равна   соответствующему   запасу, а в столбце - заявке. Таким  образом, нами  сразу  же  составлен  план  перевозок,  удовлетворяющий  балансовым  условиям. Полученное  решение  является  опорным  решением  транспортной  задачи.

Составленный нами план перевозок, не является оптимальным  по  стоимости, так  как  при  его   построении  мы  совсем  не  учитывали  стоимость   перевозок  С_ij .

3. Метод потенциалов.

Пусть имеется транспортная таблица, соответствующая начальному решению, х_il = для базисного решения переменных, х_il = 0 для свободных переменных (ячейки, соответствующие свободным переменным, остаются пустыми). Далее, нам требуется таблица расходов с заданными p_ij.

Отыскание симплекс множителей. Заполним таблицу расходов, оставив ячейки, соответствующие свободным переменным, пустыми. В крайний правый столбец внесем значения неизвестных u₁,…,u_m, в нижнюю строку – значения неизвестных v₁,…,v_n,. Эти   m + n неизвестных для всех (i, j), соответствующих базисным переменным, должны удовлетворять линейной системе уравнений u_i + v_j = p_ij.

 

 

pll		plj		pln	ul
	. … .		. …        .		. . .
pil		pij		pin	ui
	. …        .		. …        .		. . .
pml		pmj		pmn	um
vl	…	vj	…	vn

 

Для всех базисных решений эта система  имеет треугольный вид, ранг её матрицы  равен  n + m – 1. Следовательно, систему всегда можно решить следующим способом.

Полагают v_n = 0. Если значения k неизвестных определены, то в системе всегда имеется уравнение, одно из неизвестных в котором уже найдено, а другое ещё нет.

Переменные u_i и v_j симплекс - множителями. Иногда они называются также потенциалами, а этот метод решения называют методом потенциалов.

Пример 2.

5					u1
6	4	7			u2
		3	1	8	u3
v1	v2	v3	v4	v5