Понятие о дифференциальном уравнение. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

 

 

 

 

 

Дисциплина

«Высшая математика».

Проектная работа на тему:

«Понятие о дифференциальном уравнение. Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Основные понятия

 

Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Пример. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и , соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть – число жителей региона в момент времени . Прирост населения за промежуток времени равен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е. . Обозначим . Полученное уравнение можно записать в виде . Если перейти к пределу при , получается уравнение . Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса , где – постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).

Большинство таких задач  на отыскание связи между переменными  сводится к решению уравнений, связывающих  между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные различных порядков по . Такие уравнения называют дифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.

Порядком дифференциального  уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального  уравнения  го порядка следующий:

где – некоторая функция переменных при , причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить , и отдельные производные порядков ниже чем . Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

где – некоторая функция переменной.

Дифференциальное уравнение  называется линейным, если левая часть  его есть многочлен первой степени  относительно неизвестной функции и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

Всякая функция  , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называется решением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение – значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Если искомая функция  зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких –  то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных  функций, определяемых дифференциальным уравнением.

Основная задача интегрального  исчисления – отыскание функции  , производная которой равна данной непрерывной функции – сводится к простейшему дифференциальному уравнению .

Общее решение этого уравнения  есть функция  , где произвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции , можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Так как  , то отсюда следует . Интегрируя последнее равенство, получим

.

Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные и , т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение , которое содержит столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения.

Предполагается, что функция  в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Если общее решение  задано в неявном виде , то оно обычно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Решениями этого уравнения  будут функции  и , т.к. и . Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция , где и – произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить , а , то полученная функция является частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения  дифференциального уравнения найдена  некоторая функция, то, подставив  эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример. Показать, что функция есть решение уравнения .

В самом деле, и .

Следовательно:

что и требовалось показать.

 

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

где - аргумент; - неизвестная функция.

Наиболее простым является дифференциальное уравнение, разрешенное  относительно : .

Иногда уравнение первого  порядка записывается в форме:

 

.

Функция называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т.е. .

Решение, заданное неявно, т.е. в виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример. Показать, что уравнение , определяющее , как неявную функцию от , есть интеграл дифференциального уравнения .

Дифференцируя данное уравнение, найдем :

.

Подставив в дифференциальное уравнение, получим тождество:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания.

1:Решить дифференциальное уравнение

В первую очередь нужно  переписать производную немного  в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: .

Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде: 

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции: 

Переменные разделены. В  левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части: 

Разумеется, интегралы нужно  взять. В данном случае они табличные: 
 
Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу  достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через  «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать  найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном  виде.

 Когда в правой части  после интегрирования появляется  логарифм, то константу почти  всегда целесообразно записать  тоже под логарифмом.

То есть, вместо записи  обычно пишут .

Здесь  – это такая же полноценная константа, как и . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: . В данном случае: 

Теперь логарифмы и  модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей: 

Функция представлена в явном  виде. Это и есть общее решение.

Множество функций   является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе   различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , ,  и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение  называют семейством функций. В данном примере общее решение   – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём  найденное решение   и находим производную: 

Подставляем наше решение  и найденную производную  в исходное уравнение : 
 
 – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение  удовлетворяет уравнению .

2:Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется  найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее  решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную  в нужном виде: 

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо: 

Интегрируем уравнение: 
 

Общий интеграл получен. Здесь  константу я нарисовал с надстрочной  звездочкой, дело в том, что очень  скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий  интеграл преобразовать в общее  решение (выразить «игрек» в явном  виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае: 

Константа в показателе смотрится  как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом: 

Если   – это константа, то  – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву : 
 
Запомните «снос» константы, это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе  нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию  . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: 
 
 
 
То есть,

Стандартная версия оформления: 

В общее решение   подставляем найденное значение константы : 
 – это и есть нужное нам частное решение.

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа.

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное  частное решение   удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится: 
 – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение   и находим производную: 

Подставляем  и  в исходное уравнение :

 
 – получено верное равенство.

Ответ: частное решение  найдено правильно.

3:Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде: 

Оцениваем, можно ли разделить  переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: 

И перекидываем множители  по правилу пропорции: 

Переменные разделены, интегрируем  обе части: 

Интеграл левой части  легко найти методом подведения функции под знак дифференциала:  
 
 

В правой части у нас  получился логарифм, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить  общий интеграл. Поскольку у нас  одни логарифмы, то от них вполне можно  избавиться. Максимально «упаковываем»  логарифмы. Упаковка проводится с помощью  трёх свойств:  
 
 

Решение: 
 
 

Упаковка завершена, убираем  логарифмы: 

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе  части. Но делать этого не нужно.

Поэтому ответ запишем  в виде общего интеграла. Хорошим  тоном считается представить  общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)

Ответ: общий интеграл:

4:Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы  и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные: