Положительные и отрицательные числа

Реферат

 

 

На тему: Положительные и отрицательные числа

 

 

 

 

Учительница: Атаева Гяндаб Рафиковна

Ученик: 6а класса Теймур Гасымов

 

12.12.2012 

На самых ранних ступенях развития люди знали только натуральные числа. Но этими числами  нельзя обойтись даже в самых простых  случаях. Действительно, одно натуральное  число невозможно в общем случае разделить на другое, если пользоваться только натуральными числами. Между  тем в жизни бывает так, что  надо делить, скажем, 3 на 4, 5 на 12 и т. д. Без введения дробных чисел  деление натуральных чисел —  невозможное действие; введение дробей делает это действие возможным.

Но действие вычитания  и после введения дробей остается не всегда возможным: нельзя вычесть  большее число из меньшего, например 5 из 3. Однако в повседневной жизни  и не представляется необходимым  производить подобное вычитание, и  потому очень долгое время оно  считалось не только невозможным, но и совершенно бессмысленным.

Развитие алгебры  показало, что такое действие необходимо ввести в математику, и оно было узаконено индийскими учеными примерно в VII в., а китайскими еще раньше. Индийские  ученые, стараясь найти и в жизни  образцы такого вычитания, пришли к  толкованию его с точки зрения торговых расчетов.

Если купец имеет 5000 р. и закупает товара на 3000 р., у  него остается 5000 - 3000 = 2000, р. Если же он имеет 3000 р., а закупает на 5000 р., то он остается в долгу на 2000 р. В соответствии с этим считали, что здесь совершается  вычитание 3000 - 5000, результатом же является число 2000 с точкой наверху, означающее «две тысячи долга».

Толкование это  носило искусственный характер, купец  никогда не находил сумму долга  вычитанием 3000 - 5000, а всегда выполнял вычитание 5000 - 3000. Кроме того, на этой основе можно было с натяжкой объяснить  лишь правила сложения и вычитания  «чисел с точками», но никак нельзя было объяснить правила умножения  или деления. Все же толкование это  долго приводилось в учебниках  и в некоторых книгах приводится и поныне.

«Невозможность» вычитания  большего числа из меньшего обусловливается  тем, что натуральный ряд чисел  бесконечен только в одну сторону. Если последовательно вычитать 1, начиная, скажем, из числа 7, то мы получим числа

6, 5, 4, 3, 2, 1,

дальнейшее вычитание  дает уже «отсутствие числа», а  дальше уже не из чего вычитать. Если же мы хотим сделать вычитание  всегда возможным, мы должны:

1. «отсутствие числа» считать также числом (нуль);
2. от этого, последнего числа считать возможным отнять еще единицу и т. д.

Так мы получаем новые  числа, обозначаемые в настоящее  время так:

-1, -2, -3 и т. д.

Эти числа называются целыми отрицательными числами. Стоящий впереди знак «минус» напоминает о происхождении отрицательного числа из последовательного вычитания единицы. Знак этот называется знаком количества, в отличие от знака вычитания, имеющего ту же форму; последний называется знаком действия.

Введение целых  отрицательных чисел влечет за собой  введение и дробных отрицательных чисел.Если мы принимаем, что 0 - 5= -5, то должны принять также, что 0 - 12/7= -12/7. Число -12/7 есть дробное отрицательное число.

В противоположность  отрицательным числам (целым и  дробным) те числа (целые и дробные), которые рассматриваются в арифметике, называются положительными. Чтобы еще более оттенить эту противоположность, положительные числа снабжаются часто знаком «плюс», который в этом случае есть знак количества (а не знак действия). Например, число 2 записывают +2.

Положительные и  отрицательные числа (целые и  дробные) вместе в школьных руководствах именуют относительными числами. В  принятой научной терминологии эти  числа вместе с числом нуль называют рациональными. Смысл этого названия выясняется при введении понятия иррационального числа. Подобно тому, как до введения отрицательного числа нет никаких положительных чисел, и число 3/4 есть просто дробное число, а не положительное дробное число, так и до введения иррационального числа числа +5, -5, -3/4, +3/4 и т.д. просто суть положительные и отрицательные целые и дробные числа, а не рациональные числа. Рациональные числа обозначаются большой латинской буквой R. Число 0 относится к целым рациональным числам. С натуральными и дробными положительными числами мы ознакомились ранее. Рассмотрим подробнее отрицательные числа в составе рациональных чисел.

Отрицательные целые и дробные  числа записываются со знаком «минус» («-») перед числом. Численная величина отрицательного числа — это его модуль. Соответственно, модуль числа — это значение числа (и положительного, и отрицательного) со знаком плюс. Модуль числа записывается так: |2|; |-2|.

Каждому рациональному числу на числовой оси соответствует единственная точка. Рассмотрим числовую ось (рисунок  внизу), обозначим на ней точку О.

Точке О поставим в соответствие число 0. Число 0 служит границей междуположительными и отрицательными числами: справа от 0 — положительные числа, величина которых изменяется от 0 до плюс бесконечности, а слева от 0 —отрицательные числа, величина которых тоже изменяется от 0 до минус бесконечности.

Правило. Всякое число, стоящее на числовой оси правее, больше числа, стоящего левее.

Исходя из этого правила, положительные  числа растут слева направо, а  отрицательные убывают справа налево (при этом модуль отрицательного числа  увеличивается).

Свойства чисел  на числовой оси

1. Всякое положительное число и 0 больше любого отрицательного числа.
2. Всякое положительное число больше 0. Всякое отрицательное число меньше 0.
3. Всякое отрицательное число меньше положительного числа. Положительное или отрицательное число, стоящее правее, больше положительного или отрицательного числа, стоящего левее на числовой оси.

Определение. Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными.

Например, числа 2 и -2, 6 и -6. -10 и 10. Противоположные  числа расположены на числовой оси  в противоположных направлениях от точки О, но на одинаковом расстоянии от нее.

Дробные числа, представляющие собой  в записи обыкновенную или десятичную дробь, подчиняются тем же правилам на числовой оси, что и целые числа. Из двух дробей больше та, которая стоит  на числовой оси правее; отрицательные  дроби меньше положительных дробей; всякая положительная дробь больше 0; всякая отрицательная дробь меньше 0.

Например:  Противоположные дроби: 0,5 и -0,5;

Для каждого натурального числа n существует одно и только одно отрицательное число, обозначаемое -n, которое дополняет n до нуля:

Оба числа называются противоположными друг для друга. Вычитание целого числа a из другого целого числа b равносильно сложению b с противоположным для a:

При делении с  остатком частное может иметь  любой знак, но остаток, по соглашению, всегда неотрицателен (иначе он определяется не однозначно). Например, разделим −24 на 5 с остатком:

.

Свойства  отрицательных чисел

Отрицательные числа подчиняются  практически тем же алгебраическим правилам, что и натуральные, но имеют  некоторые особенности.

1. Если любое множество положительных чисел ограничено снизу, то любое множество отрицательных чисел ограничено сверху.
2. При умножении целых чисел действует правило знаков: произведение чисел с разными знаками отрицательно, с одинаковыми — положительно.
3. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на обратный. Например, умножая неравенство 3 < 5 на −2, мы получаем: −6 > −10.