Основные вопросы, решаемые качественной теорией дифференциальных уравнений

Министерство  образования и науки Российской Федерации      

   Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение  высшего профессионального образования

«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НЕФТЯНОЙ    ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

   Кафедра «Математики»

 

 

Реферат

на тему «Основные вопросы,  решаемые качественной теорией дифференциальных уравнений»

 

по дисциплине «Общая теория динамических систем»

 

 

 

 

Студент группы МСТ33з-12-01                 ____________   Р.И. Кутлиахметов

(подпись,дата)

Преподаватель                               ____________  Р.А. Майский

(подпись, дата)

Уфа 2013

 

 Вообще, качественная теория дифференциальных уравнений - это математическая дисциплина, изучающая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений без нахождения самих решений.

Основы К. т. д. у. были заложены в конце 19 в. А. Пуанкаре ( [1], [2]) и А. М. Ляпуновым (см. [3], [4]). А. Пуанкаре широко пользовался геомотрическими  методами, рассматривая решения систем дифференциальных уравнений как кривые в соответствующем пространстве. На основе этого рассмотрения он создал общую теорию поведения решений дифференциальных уравнений (д. у.) 2-го порядка, разрешил ряд фундаментальных проблем о зависимости решений от параметров

 А. М. Ляпунов изучал  поведение решений в окрестности состояния равновесия. Он создал современную теорию устойчивости движения.

Геометрическое направление  А. Пуанкаре было развито в 20-х гг. 20 в. Дж. Биркгофом, открывшим многие важные факты качественной теории многомерных систем д. у. ( [5], [6]).

Линейные системы. Рассматривается  система д. у.

(1)       y / dx   =   Р(х) ,    y  € Rⁿ

где Р(х)- квадратная матрица порядка п. Предполагается, что Р(х) ограничена (в случае неограниченности имеется лишь небольшое число весьма специальных исследований).

В К. т. д. у. изучается асимптотич. поведение решений системы (1) при   x → ∞

Характеристическим  показателем решения у(х) называется величина

характеризующая рост решения в сравнении с экспоненциальной функцией. Каждое ненулевое решение системы (1) имеет конечный характеристичный  показатель. Характеристичные показатели ненулевых решений называются также характеристическими показателями системы. Линейная система не может иметь более чем различных характеристичных показателей. Характеристичные показатели системы не меняются при линейной замене переменных:

 (2)       z =  U (x)y

в к-рой матрица U(x) ограничена вместе C(dy/dx) и и ^-1.

Такие преобразования называется преобразованиями Ляпунова.

В случае, когда  матрица Р(х)постоянна, характеристичные показатели системы (1) суть действительные части собственных значений матрицы P.

Линейная система  наз. приводимой, если существует преобразование Ляпунова (2), приводящее эту систему  к виду (1), но с постоянной матрицей Р(см. [7], [8]).

В случае, когда  матрица Р(х)имеет период w, фундаментальная  матрица Ф (х) (т. е. матрица, составленная из линейно независимых решений) представляется по теореме Флоке (см. [9]) в следующем виде:

           (3)         Ф (х)   =    Q (x) * e^Ax

где О(х) есть w-периодическая, а А - постоянная матрицы. При этом, если Р(х)- вещественная матрица, не всегда можно Аи Q(х)выбрать вещественными, однако в представлении (3) их можно выбрать таковыми при условии, что Q(x) имеет период 2w. Из формулы (3) следует, что система (1) с периодич. матрицей Р(х) приводима (теорема Ляпунова). Формула (3) показывает, что для вычисления характеристичных  показателей требуется знать лишь Ф(w), т. е. надо вычислить n различных решений на промежутке О<х<w. Линейные системы с периодич. коэффициентами изучены весьма подробно (см. [8],).

Линейная система обладает свойством устойчивости асимптотичности поведения решений по отношению к малым возмущениям самой системы. Важной характеристикой линейной системы с этой точки зрения является правильность в смысле Ляпунова (см. [3]).

А. М. Ляпунов доказал (это  составляет сущность его первого метода в теории устойчивости), что правильная система устойчива по отношению к аналитическим нелинейным возмущениям.

Одной из интересных задач  качественной теории линейных д. у. является проблема колеблемости решений таких  уравнений т. е. проблема распределения нулей решений. Например , если р(х)>a>0 при всех х, то всякое решение уравнения

d²y/ dx² = p (x) y  =  0

имеет бесконечно много нулей на промежутке 0<x<+∞, причем нули двух линейно независимых решений чередуются (см. [10]).

 

Нелинейные системы. Рассматриваются  общие системы нелинейных д. у. в  нормальной форме:

          (4) dy / dx   =   Y(y, х) ,    y  € Rⁿ

 

Наиболее детально изучены автономные системы:

                      (5)        dy / dx   =   Y(y)

      

Пространство  векторов удля системы (5) наз. фазовым. Система (4) приводится к автономному виду (5) с помощью увеличения порядка на единицу. Автономная система вида (5), в случае если все ее решения продолжимы на всю ось -∞≤ x≤+∞ определяет динамическую систему.

Пусть у=у( х, y₀) - решение системы (5) с начальными данными х=0, у=у₀. Кривая фазового пространства у=у( х, у₀), называется траекторией, а ее части, соответствующие х≤0 , x≥0 полутраекториями. Особую роль играют траектории, вырождающиеся в точку: у( х, у ₀)=у ₀;это происходит, если Y(y₀) = 0. Такие точки называются состояниями равновесия. Другой важный тип траекторий - траектории периодических решений, представляющие собой замкнутые кривые в фазовом пространстве. Замкнутую траекторию наз. предельным циклом, если к ней стремится хотя бы одна траектория, отличная от нее.

Важная задача качественной теории нелинейных систем - изучение асимптотичного поведения всех решений при x → +/- ∞ Для автономных систем вида (5) эта задача сводится к изучению структуры предельных множеств всех полутраекторий и способов приближения траекторий к этим множествам. Предельное множество всякой полутраектории замкнуто и инвариантно (множество фазового пространства нач. инвариантным, если оно состоит из целых траекторий). Если полутраектория ограничена, то ее предельное множество связно.

В случае, когда n=2, т. е. когда  фазовое пространство представляет собой плоскость, А. Пуанкаре (см. [1]) и И, Бендиксон (I. Bendixon, см. [11]) дали исчерпывающее  описание возможного расположения траекторий. В предположении, что уравнение Y(у) = 0 имеет лишь конечное число решений в ограниченной части плоскости, они доказали, что предельное множество любой ограниченной полутраектории может быть одного из трех следующих типов:

1) одно состояние равновесия,

2) одна замкнутая траектория,

3) конечное число состояний равновесия и траектории, стремящиеся к этим состояниям равновесия при x → +/- ∞

А. Пуанкаре [1] и А. Данжуа [12] рассмотрели случай уравнения 1-го порядка вида (4) с правой частью, периодичной по обоим аргументам у и х. Такие уравнения удобно рассматривать на торе. Расположение решений в этом случае существенно зависит от числа вращения, определяемого формулой

         

Если m рационально, то существуют периодические решения; если m иррационально, то периодич. решений нет. При этом, если функция У достаточно гладкая, то все решения суть квазнпериодич. функции с двумя частотами.

В случае n>2 такого четкого описания возможного поведения  траекторий дать не удается. Однако имеется  много сведений, касающихся предельного поведения решений многомерных автономных систем. Имеет место следующий результат Дж. Биркгофа. Пусть замкнутое, ограниченное, инвариантное множество фазового пространства наз. минимальны м, если оно не содержит истинного подмножества с теми же свойствами. Всякое минимальное множество представляет собой замыкание рекуррентной траектории. Таким образом, в предельном множестве всякой ограниченной полутраектории содержится рекуррентная траектория.

В том важном частном случае, когда система имеет инвариантную меру, исследование общих закономерностей поведения решений проведено весьма детально (см. [5], [22]).

Особый интерес  для приложений представляют грубые системы, т. е. системы, устойчивые по отношению к малым в смысле С ¹ возмущениям правых частей, Для случая n=2 А. А. Андронов и Л. С. Понтрягия [13] сформулировали условия, необходимые и достаточные для грубости. В частности, они показали, что в ограниченной части плоскости существует лишь конечное число периодич. решений. В случае n>2 поведение грубых систем значительно сложнее. С. Смейл (S. Smalе, [14]) указал пример грубой системы, имеющей бесконечно много периодич. решений в ограниченной части фазового пространства.

Многочисленные исследования посвящены изучению глобальных свойств  конкретных систем д. у. В связи с запросами теории автоматич. управления в 50-х гг. 20 в. была развита новая отрасль К. т. д. у.- теория устойчивости движения в целом. Важную роль в теории колебаний играют диссипативные системы - системы вида (4), у к-рых все решения с ростом времени попадают в нек-рую ограниченную область. Свойства диссипативных систем изучены весьма детально. Построены сравнительно надежные методы, позволяющие устанавливать диссипативность конкретных систем (см. [15]).

Одной из проблем К. т. д. у. является проблема существования периодич. решений. Для доказательства существования таких решений часто используют топологич. приемы, в частности различные критерии существования неподвижпой точки. Многие теоремы такого рода были доказаны применением принципа тора. При n=2 этот принцип вырождается в классический принцип кольца Пуанкаре.

Полное качественное исследование нелинейных систем д. у. удается дать лишь в весьма частных случаях. Напр., было доказано (см. [16]), что уравнение Льенара

при весьма естественных предположениях имеет единственное периодичное решение, а все остальные его решения стремятся к этому периодическому.

Относительно уравнения  Ван дер Поля с возмущением

при больших значениях параметра k были установлены в числе других следующие интересные факты (см. [17]). При специальном выборе параметра b уравнение имеет два асимптотически устойчивых решения с периодами (2т+1)2p/l и (2п-1)2p/l, где n - натуральное достаточно большое число, "большинство" остальных решений стремится к этим двум. Имеется, кроме того, счетное множество неустойчивых периодичных решений и континуум рекуррентных непериодических.

Локальная теория. Качественное исследование нелинейной системы д. у. (4) значительно упрощается, если его требуется провести не во всем пространстве у, х, а лишь в окрестности заданного решения. В этом случае простой заменой переменных проблема сводится к изучению следующей системы д. у.:

          (6)    dy / dx   =   P (x) y +  Y(y,x)   ,    y  € Rⁿ

 

где вектор-функция  У в определенном смысле мала в  сравнении с у. Исследование поведения решений системы (6) в окрестности состояния равновесия у=0 и составляет предмет локальной К. т. д. у.

Важное место  в этой теории занимает проблема устойчивости нулевого решения системы (6). Нулевое решение называется устойчивым, если решение y=у( х, y₀) непрерывно по y₀ при y₀=0 равномерно относительно x≥0

В локальной  К. т. д. у. наиболее полно исследован случай постоянной матрицы Р(х). К этому случаю сводится проблема исследования окрестности состояния равновесия и периодического решения автономной системы.

Описание поведения  решений системы (6) в окрестности у-0 сравнительно просто, если матрица Р постоянная и все ее собственные значения имеют ненулевые действительные части. В этом случае дело сводится к следующему фундаментальному результату Ляпунова - Перрона (см. [1], [18]). Пусть к собственных значений постоянной матрицы Р  имеют отрицательные действительные части, а остальные n-к собственных значений имеют положительные действительные части. Тогда в пространстве у существуют два многообразия М и N размерности ки п-k, соответственно, такие, что если , у _{0  €} М , то у( х, у ₀) → 0 при x → + ∞ , а если у _{0  €} N, то у( х, у ₀) → 0 при  x → + ∞ все остальные решения покидают окрестность начала координат как при возрастании, так и при убывании х. Случаи, когда матрица Р имеет собственные числа с нулевыми действительными частями, называются критическими.

А. М. Ляпунов  дал исчерпывающее описание поведения  решений системы (6) в окрестности  начала координат в случаях, когда  постоянная матрица Р имеет одно нулевое или два чисто мнимых собственных числа, все остальные собственные числа имеют отрицательные действительные части, а вектор-функция У не зависит от x и аналитична (см. [3]). Основополагающие результаты в локальной качественной теории автономных систем 2-го порядка принадлежат А. Пуанкаре [1], А. М. Ляпунову [3, 4], И. Бендиксону [11] и М. Фроммеру (М. Frommer, [19]).

Пусть рассматривается  система уравнений

        (7)    dy / dx   =   P_m ( y,z)  +  Y(y,z)   ,    dz / dx   =   Q_m ( y,z)  +  Z(y,z)  

где Р _т и Q_m- формы, степени m, а функции Y и Zмалы в сравнении с величиной (y²+z²)^m/2. Пусть состояние равновесия, расположенное в начале координат, изолировано. В этом случае для системы (7) либо существует решение, стремящееся к началу, либо в любой окрестности начала существует замкнутая траектория. Во втором случае либо все траектории, лежащие в окрестности начала, замкнуты (расположение типа центр), либо в любой окрестности начала существуют как замкнутые, так и незамкнутые траектории (расположение типа центрофокус). Показано, что в случае аналитических У и Z центрофокус невозможен (см. [20]). Далее, если траектория стремится к началу координат, то либо она имеет в начале определенную касательную, либо вдоль нее полярный угол не ограничен. В последнем случае - расположение типа фокус. Касательными к траекториям, стремящимся к началу, могут быть лишь прямые, на к-рых аннулируется величина Q_my - Р _mz. Такие прямые наз. исключительными направлениями. Для достаточно гладких У и Z разработаны алгоритмы, позволяющие выяснить наличие и количество траекторий, входящих в начало вдоль данного исключительного направления. Это позволяет в случаях, когда существуют траектории, входящие в начало с определенной касательной, полностью описать поведение траекторий в окрестности начала.