Основные понятия математической статистики

Министерство образования  Российской федерации 
Московский Государственный Областной Университет

 

 

 

 

 

Основные понятия математической статистики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка группы 24НИТф

Андреева Евгения

Научный руководитель: Брянцева Т.Н.

 

 

 

 

 

Москва, 2013.

 

Основные понятия  математической статистики

Сам мир закономерен –  так мы часто считаем и изучаем  законы физики, химии и т.д., и всё  же ничто не происходит без вмешательства  случайности, возникающей под воздействием непостоянных, побочных причинных связей, изменяющих ход явления или опыта  при его повторении. Создаётся  «эффект случайности» с присущей закономерностью «скрытой предопределённости», т.е. у случайности появляется необходимость  закономерного исхода.Математики случайные события рассматривают лишь в дилемме « быть или не быть» - наступит или не наступит.

 

Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается  на теорию вероятностей, позволяющую  оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного  статистического материала (напр., оценить  необходимый объём выборки для  получения результатов требуемой  точности при выборочном обследовании).

Соединение элементов теории вероятностей и математической статистики называют стохастикой.

Стохастика - это тот раздел математики, который возник и развивается в тесной связи с практической деятельностью человека. Сегодня элементы стохастики входят в математику для всех, становятся новым, важным аспектом математического и общего образования.

Значение слова «статистика»

Значение слова «статистика» за последние два столетия претерпело значительные изменения, - пишут известные  современные учёные Ходжес и Леман, - слово «статистика» имеет один корень со словом «государство» (state) и первоначально означало искусство и науку управления: первые преподаватели статистики университетов Германии 18-го века сегодня назывались бы специалистами по общественным наукам. Поскольку решения правительства до некоторой степени основываются на данных о населении, промышленности и т.д. статистики, естественно, стали интересоваться и такими данными, и постепенно слово «статистика» стало означать сбор данных о населении, о государстве, а затем вообще сбор и обработку данных. Нет смысла извлекать данные, если из этого не извлекается какая-то польза, и статистики, естественно, начинают заниматься интерпретацией данных.

История возникновения

Статистика возникла в 17 веке и  развивалась параллельно с теорией  вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина 19 начало 20-ых веков) обязано в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, К. Гауссу, А. Кетле, Ф.Гальтону, К Пирсону, и др. В 20 –ом наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан А.Н. Колмогоровым, В.И. Романовским, Е.Е. Слуцким, Н.В. Смирновым, Б.В. Гнеденко, а также английскими Стъюдентом, Р. Фишером, Э. Пурсоном и американскими (Ю. Нейман, А Вальд) учёными.

 

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий  методы регистрации, описания и анализа  данных наблюдений и экспериментов  с целью построения вероятностных  моделей массовых случайных явлений. В зависимости от математической природы конкретных результатов  наблюдений статистика математическая делится на статистику чисел, многомерный  статистический анализ, анализ функций (процессов) и временных рядов, статистику объектов нечисловой природы.

Выделяют описательную статистику, теорию оценивания и теорию проверки гипотез. Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации  данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений  о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним  относятся, в частности, кластерный анализ, нацеленный на выделение групп  объектов, похожих друг на друга, и  многомерное шкалирование, позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные  модели происхождения данных. Эти  модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.

Большой раздел современной  математической статистики — статистический последовательный анализ, фундаментальный  вклад в создание и развитие которого внес А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение об проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений.

 

Компьютеры в  математической статистике

 

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как  для расчётов, так и для имитационного  моделирования (в частности, в методах  размножения выборок и при  изучении пригодности асимптотических  результатов).

Основными объектами изучения для математической статистики являются случайные величины. Это функции, определенные на некоторых случайных событиях ("случайное событие" - основное понятие теории вероятностей; как известно, сам термин "вероятность" осмыслен лишь применительно к некоторому случайному событию) и принимающие числовые значения. В качестве типичного для социолога случайного события является выбор того или иного респондента. Случайными величинами могут служить признаки, определенные для этих респондентов. Скажем, возьмем такой признак, как возраст. "Переходя" от события к событию. т.е. от одного респондента к другому (скажем, перебирая анкеты), мы будем фиксировать разные значения возраста (18, 36, 24, . .. лет), т.е. разные значения нашей случайной величины. Случайная величина может быть многомерной - например, когда ей отвечает несколько признаков, а ее значениями являются не отдельные числа, а сочетания чисел - значений рассматриваемых признаков. Скажем, если наряду с возрастом мы будем учитывать пол (0 - мужчина, 1 - женщина) и зарплату (в рублях), то в качестве значений нашей трехмерной случайной величины могут выступать, например, тройки чисел: (18, 0, 524), (36, 1, 1200) и т.д.

Сказанным не ограничивается определение случайной величины. Мы не упомянули самого главного - для  каждой совокупности значений случайной  величины должна быть определена вероятность  того, что, обследуя респондентов, социолог встретит значение из этой совокупности. Напомним, что вероятностью события  называют некоторую числовую характеристику степени возможности его появления  в определенных, могущих повторяться  неограниченное число раз, условиях.

Совокупность вероятностей встречаемости значений рассматриваемой  случайной величины называется отвечающим ей распределением вероятностей, или  просто ее распределением. Функция, задающая для определенных наборов значений случайной величины отвечающую им вероятность, называется функцией распределения  этой случайной величины. Задать случайную  величину, по существу, и означает задать соответствующее вероятностное  распределение.

Математическая статистика позволяет находить широкий круг статистических закономерностей. Любая  из них является некоторым набором  параметров вероятностных распределений  рассматриваемых случайных величин (одномерных и многомерных). Такого рода характеристиками являются, к  примеру, разные меры средней тенденции, разброса значений случайных величин, связи между признаками и т.д. Результат, скажем, регрессионного анализа  можно рассматривать как совокупность коэффициентов регрессии, которые  в конечном итоге тоже являются некоторыми параметрами исходного многомерного распределения (характеристиками многомерной  случайной величины) и т.д. Однако сами параметры, в той же мере, как  и те вероятности, на базе которых  они рассчитываются, остаются неизвестными исследователю. Вместо истинных значений параметров мы имеем только их выборочные оценки, рассчитанные на основе частотных распределений. Эти оценки называются статистиками.

Итак, поскольку исследователь  изначально имеет дело лишь с частотами, а не с соответствующими вероятностями, то фактически исходные случайные величины предстают перед ним в весьма приближенном виде. То, что на основе выборочных данных мы рассчитываем не сами параметры распределений, а лишь их выборочные оценки (отвечающие им статистики), усугубляет степень приблизительности искомых закономерностей.

Распределение числовой случайной  величины – это функция, которая  однозначно определяет вероятность  того, что случайная величина принимает  заданное значение или принадлежит  к некоторому заданному интервалу.          

 Первое – если случайная  величина принимает конечное  число значений. Тогда распределение  задается функцией Р(Х = х), ставящей каждому возможному значению х случайной величины Х вероятность того, что Х = х.         

 Второе – если случайная  величина принимает бесконечно  много значений. Это возможно  лишь тогда, когда вероятностное  пространство, на котором определена  случайная величина, состоит из  бесконечного числа элементарных  событий. Тогда распределение  задается набором вероятностей P(a <X <b) для всех пар чисел a, b таких, что a<b. Распределение может быть задано с помощью т.н. функции распределения F(x) = P(X<x), определяющей для всех действительных х вероятность того, что случайная величина Х принимает значения, меньшие х. Ясно, что

P(a <X <b) = F(b) – F(a).

 

Примеры решений  Задач по Теории Вероятности и математической статистике

• Пример 1. 
     В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными. 
   
• Пример 2. 
     В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ? 
   
• Пример 3. 
     В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ.

Дано:   
   В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.  
 
Решение:  
   Число N всех равновероятных исходов испытания равно числу способов, которыми можно из 23 деталей вынуть две, т.е. числу сочетаний из 23 элементов по 2:  

•  
     Число благоприятных исходов  
  

 
   Cледовательно, искомая вероятность 

• Дано:  
     В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ?  
   
  Решение:  
     Всего в ящике лежит N=4+10+8+9=31 шар.  
   
     Вероятность вытащить красный шар  
  

 
   Вероятность вытащить зеленый шар  

 
   Вероятность вытащить коричневый шар  

 
   Т.к. эти три  события несовместны, то пользуясь  теоремой сложения вероятностей определим вероятность того, что шар окажется цветным (не белым)  

 

Дано:  
   В вопросах к зачету имеются 75% вопросов, на которые студенты знают ответы. Преподаватель выбирает из них два вопроса и задает их студенту. Определить вероятность того, что среди полученных студентом вопросов есть хотя бы один, на который он знает ответ  
 
Решение:  
   Вероятность вытащить знакомый вопрос p=0.75, незнакомый q=1-p=1-0.75=0.25  
   Пусть H1 - гипотеза, что студент не знает ни одного из 2-х вопросов.  
   Вероятность этой гипотезы:  

 
   Искомая вероятность  соответственно равна:  

  

Пример 8. 
   Дано следующее распределение дискретной случайной величины Х

X	1	2	4	5
P	0.31	0.1	0.29	0.3

• Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение, используя формулы для их определения. 
• Пример 4. 
     На складе находятся 26 деталей из которых 13 стандартные. Рабочий берет наугад две детали. Пользуясь теоремой умножения вероятностей зависимых событий определить вероятность того, что обе детали окажутся стандартными. 
   
• Пример 5. 
     В сборочный цех поступили детали с трех станков. На первом станке изготовлено 51% деталей от их общего количества, на втором станке 24% и на третьем 25%. При этом на первом станке было изготовлено 90% деталей первого сорта, на втором 80% и на третьем 70%. Используя формулу полной вероятности определить, какова вероятность того, что взятая наугад деталь окажется первого сорта ? 
   
• Пример 6. 
     Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике находится 26 белых шаров, во втором 15 белых и 11 черных, в третьем ящике 26 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Используя формулу Байеса вычислить вероятность того, что белый шар вынут из первого ящика. 
   
• Пример 7.  
     Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0.11. Пользуясь формулой Бернулли найти вероятность того, что из пяти наудачу взятых деталей будут четыре стандартных.