Ортогональные матрицы. Алгебра ортогональных матриц

 

 

 

 

Реферат

на тему:

 

Ортогональные матрицы

Алгебра ортогональных  матриц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск, 2012 г.

Квадратная матрица называется ортогональной матрицей, если её столбцы  образуют ортонормированную систему  векторов пространства арифметических векторов соответствующей размерности.

Строки ортогональной матрицы  также образуют ортонормированную  систему векторов.

Матрица A ортогональна тогда и только тогда, когда:

 

A^T × A = A × A^T = E, где E — единичная матрица.

 

Для ортогональной матрицы A справедливо:

• A × A^T = A^T × A;
• |detA| = 1;
• |A × x| = |x|;
• (A × x, A × y) = (x, y);
• A⁻¹ = A^T;
• если λ — собственное значение матрицы A, то |λ| = 1;
• если ортогональная матрица симметричная (A = A^T ), то существует такая ортогональная матрица Q, что матрица Q⁻¹ × A × Q — диагональня матрица;
• матрица перехода от одного ортонормированного базис к другому ортонормированному базису — ортогональня матрица.

 

Если u — нормированный вектор, а E — единичная матрица соответствующей размерности, то матрица A = E − 2 × u × u^T — ортогональная матрица.

Действительно:

A^T × A =

= (E − 2 × u × u^T)^T × (E − 2 × u × u^T) =

= E − 4 × u × u^T + 4 × u × u^T × u × u^T =

= E − 4 × u × u^T + 4 × u × u^T = E

Примеры:

 

Матрица A — ортогональная матрица.