Організація самостійної пізнавальної діяльності при вивченні математики

 

 

 

 

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Волинський інститут післядипломної педагогічної освіти

Кафедра теорії та методик викладання шкільних предметів

 

 

Атестаційна робота

 

Організація самостійної пізнавальної діяльності при вивченні математики

в старшій школі

 

Слухач групи вчителів математики: Марчук Юрій Федорович,

викладач математики Шацького лісового коледжу ім.В.В.Сулька Шацького району Волинської області

 

Керівник роботи:

Трачук Т.В., доцент кафедри теорії та методик викладання шкільних предметів, кандидат педагогічних наук

 

До захисту:

допущено.

Відгук:

Робота заслуговує позитивної оцінки.

 

 

 

 

 

Луцьк – 2012

ЗМІСТ

Вступ……………………………………………………………………………………….	3
Розділ 1. І ЩЕ РАЗ ПРО ЧИСЛО π………………………………………………………………..	4
Розділ 2. ПРО НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЛА е ……………………………………	7
2.1. ЗБІЖНІСТЬ ПОСЛІДОВНОСТІ  ………………………	7
2.2. ЗБІЖНІСТЬ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ       і  ……….	8
2.3. МЕЖІ ДЛЯ ЛОГАРИФМІЧНОЇ ТА  ПОКАЗНИКОВОЇ ФУНКЦІЙ…………..	9
2.4. ШВИДКІСТЬ ЗБІЖНОСТІ ПОСЛІДОВНОСТІ  {аn}…………………………..	11
2.5. ШВИДКІСТЬ ЗБІЖНОСТІ ПОСЛІДОВНОСТІ  {bn}…………………………..	13
2.6. ШВИДКІСТЬ ЗБІЖНОСТІ ПОСЛІДОВНОСТІ {сn}…………………………..	15
Розділ 3. ПРО ІРРАЦІОНАЛЬНІЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ…..	16
Розділ 4. ПРО ДЕЯКІ НЕРІВНОСТІ ІТЕРАЦІЙНОГО ВИДУ…………………………...	21
4.1. МЕТОД ЗГОРТАННЯ…………………………………………………………....	21
4.2. МЕТОД ГРАНИЦЬ……………………………………………………………….	22
4.3. МЕТОД МАЖОРУВАННЯ……………………………………………………...	22
4.4. ЗАГАЛЬНІ НЕРІВНОСТІ ТА ПРИКЛАДИ…………………………………….	24
Розділ 5. ЯК ЗНАЙТИ ГОЛОВНИЙ ПЕРІОД ФУНКЦІЇ…………………………………	29
5.1. ПЕРІОДИЧНІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ………………………………	29
5.2. ГОЛОВНИЙ ПЕРІОД ФУНКЦІЇ………………………………………………..	33
5.3. ГОЛОВНИЙ ПЕРІОД СУМИ ФУНКЦІЙ………………………………………	36
5.4. ДОСЛІДЖЕННЯ СУМИ ГАРМОНІЙНИХ КОЛИВАНЬ……………………..	39
5.5. ДОСЛІДЖЕННЯ СУМИ ТАНГЕНСІВ………………………………………….	42
Розділ 6. ЕТЮД ПРО СІМ`Ю ФУНКЦІЙ…………………………………………………	48
Розділ 7. НЕРІВНОСТІ ПЕВНОГО ВИДУ З МОДУЛЕМ………………………………..	57
7.1. НЕРІВНОСТІ ВИДУ  ……………………………………………….	57
7.2. НЕРІВНОСТІ ВИДУ  ……………………………………………...	60
7.3. НЕРІВНОСТІ ВИДУ  , де аk > 0………………………………..	70
СПИСОК  ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………………………...	74

 

 

 

Вступ

Викладений в даній книжці матеріал може бути корисним при проведенні математичних гуртків та підготовці до олімпіад.

Книжка містить сім розділів. Матеріал перших шести у різні часи друкувався в журналах «У світі математики», «Математика в школах України», газеті «Математика».

У розділі 1 викладено яскраве доведення ірраціональності числа π. Це доведення належить американцю І. Нівену.

Розділ 2 присвячено вивченню швидкості збіжності класичних послідовностей до числа е. Цікавим є те, що вдалося отримати нові нерівності на кшталт такої:

.

У розділі 3 встановлено такий вражаючий факт: для додатних раціональних чисел r, менших за 90, значення sin r° є раціональним лише для sin30° .

У розділі 4 вивчається поведінка послідовностей, утворених за допомогою багатьох радикалів. Зокрема, Ви дізнаєтеся, до чого прямує число із зростанням кількості коренів.

Розділ 5 присвячено пошуку головного періоду тригонометричних функцій. Вгадати його буває нескладно, але довести, що немає меншого періоду, значно складніше.

У розділі 6 вивчається поведінка функцій .

Коли зростає параметр λ, то з графіками цих функцій відбуваються дивовижні речі!

Заключний розділ містить цікаві нерівності з модулем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розділ 1. І ЩЕ РАЗ ПРО ЧИСЛО π

Йтиметься про одну важливу властивість фундаментальної константи – числа π = 3,141592....

Відомо, що це число –ірраціональне. Ми наведемо елементарне доведення цього важливого факту, таке, що не виходить за межі шкільного курсу математики. Воно належить відомому американському математику Івану Нівену [Ivan Niven, Bulletin of the American Mathematical Society. –Vol. 53, 1947, p. 509].

Доведення проводиться методом від супротивного.

Припустимо, що число π раціональне, тобто π = , де a і b –  деякі натуральні числа.

Розглянемо функцію .

Зауважимо, що

.                                                                             (1)

З леми 3 випливає, що при х > 0,

а отже, .

Звідси при матимемо

.                                                                     (17)

Далі, за лемою 4,                     .                                                                    (18)

Враховуючи, що функція зростає, коли 0 < z < 1, з нерівностей (17) і (18) матимемо

.                                         (19)

Другу нерівність у (16) доведено.

Ліва частина нерівності (19) дорівнює .

Вираз у дужках при n ≥ 1 додатний, тому з (19) матимемо

.

Зауважимо, що нерівність (16) точна. Справді, в нерівності сталу не можна замінити на меншу, а в нерівності сталу також не можна замінити на меншу. Це випливає з розкладу (15).

Теорема 1 показує, що послідовність {a_n} прямує до числа е дуже повільно. Нехай нам треба обчислити е з точністю до ε = 0,1. Знайдемо таке n, що е – а_п ≤ ε . Необхідною умовою цього є нерівність , а достатньою – нерівність . Обидві ці нерівності рівносильні, коли n ≥14. Тому шукана точність забезпечується, починаючи лише з n = 14.

Наведемо значення деяких членів послідовності a₁=2, a₅ = 2,488..., а₈= 2,5657..., a₅₀= 2,6915...,   а₁₀₀ = 2,7169, a₅₀₀ = 2,71556..., а₁₀₀₀ = 2,7169... . Нижче буде вказаний точніший метод наближеного обчислення числа е.

2.5. ШВИДКІСТЬ  ЗБІЖНОСТІ ПОСЛІДОВНОСТІ {b_n}

Покладемо . З нерівності (9) випливає, що f_n > 0, n ≥1.

Вправа 8. Довести, що коли , то

.                                                                     (20)

Вказівка. Використайте розклади (10), (11) або співвідношення .

Порівнюючи розклади (15), (20), бачимо, що послідовність {a_n} трохи швидше за {b_п} збігається до числа е.

Виходячи з розкладу (20), можна сподіватися, що виконується нерівність

.                                  (21)

Справді, чисельний експеримент показує, що при 1< n < 11 нерівність (20) справджується (див. таблицю).

 

 

Таблиця

n	103yn		103zn		n	103yn		103zn
1 2 3 4 5 6	458,333 239,583 162,037 122,396 98,333 82,176	471,518 241,593 162,681 122,679 98,482 82,264	500 250 166,667 125 100 83,333		7 8 9 10 11	70,578 61,849 55,041 49,583 45,11	70,634 61,887 55,068 49,603 45,125	71,429 62,5 55,556 50 45,455

 

 

Теорема 2. При n ≥ 1 виконується нерівність

.                                                           (22)

Накреслимо етапи доведення.

1.  З огляду на таблицю, встановимо справедливість нерівності (22), коли n ≥ 12.

2.  Подамо b_п у вигляді

.

3.  Для доведення, що останнє число менше за , встановимо при справедливість нерівності

.                                                                    (23)

4.  Логарифмуємо нерівність (23) і використаємо оцінку , тоді (23)    виконується, коли п ≥ 8. Тому при n ≥ 9 доведено, що .

5.  Оцінимо b_n знизу: .

6. Для доведення, що цей вираз менший за , встановлюємо при справедливість нерівності

яка дорівнює

. Тоді

.

Звідси . Нерівність доведено.

Як бачимо, послідовність {с_п} прямує до е значно швидше, ніж послідовність {a_n}. Наведемо значення кількох членів послідовності {с_п}: с₁ = 2, с₂ = 2,5, с₃= 2,66..., с₄ = 2,708..., с₅ = 2,716...,           c₈ = 2,718278..., с₉ = 2,7182815..., с₁₀ = 2,718281801..., с₁₁ = 2,718281826..., с₁₂ = 2,71828182849045... . (Усі наведені цифри з десяткового розкладу збігаються з відповідними цифрами розкладу числа е.)

Вправа 9. Довести, що , де 0<θ_n <1.

Вправа 10. Довести, що число е ірраціональне.

Вказівка. Використати вправу 9.

Розділ 3. ПРО ІРРАЦІОНАЛЬНІ ЗНАЧЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Пропонуємо доведення  цікавого факту про ірраціональність значень тригонометричних функцій, але спочатку розглянемо такі задачі.

Задача 1. Довести, що sin10° ірраціональне число.

Розв'язання

У тотожності sin 3α = 3 sin α –4 sin³ α покладемо α = 10°. Матимемо sin30° = 3sin 10° – 4sin³ 10°, або 8x³– 6х + 1 = 0 , де х = sin 10°.

У цьому рівнянні зробимо заміну у = 2х: у³ – 3 у +1 = 0.

Отже, додатне число у = 2 sin 10° задовольняє отримане рівняння. Але у цьому рівнянні старший коефіцієнт дорівнює 1, тому, коли додатне раціональне число r є його коренем, воно обов'язково є натуральним числом і дільником вільного члена 1, тобто r = 1. Проте легко перевірити, що число      r = 1 не задовольняє рівняння, тому воно не має додатних раціональних коренів.

Отже, число у = 2sin 10° є ірраціональним, звідки sin 10° також є ірраціональним.

Розглянемо деякі інші кути, які вимірюються цілим числом градусів. Маємо sin 10° = соs 80°, тому соs 80° – також ірраціональне число.

З тотожності соs 2α = 2соs²α – 1 випливає, що коли соs 2α – ірраціональне число, то і cos α  – також число ірраціональне. Отже, числа соs 40°, соs 20°, соs 10°, соs 5° – ірраціональні. Відповідно ірраціональними є числа sin 50°, sin 70°, sin 80°, sin 85°.

Розглянемо ще один приклад.

Задача 2. Довести, що sin 18° ірраціональне число.

Розв'язання

Нехай α = 18°. Тоді 5α = 90°, звідки sin 2α = соs3α. Перетворимо останню рівність:            2sinαсоsα = 4соs³α – 3соsα    або     4 sin² α + 2sinα – 1 = 0.

Враховуючи, що sin α > 0 , отримуємо sin 18° = sin α = .

Якщо припустити, що r = sin 18° Q, то =4r+1 Q. Але відомо, що є числом ірраціональним. Отримана суперечність доводить, що sin 18° — ірраціональне число.

Оскільки sin 18° = cos 72°, то ірраціональними є також числа cos 72°, cos 36°, cos 18°, cos 9° і числа sin 54°, sin 72°, sin 81°.

З тотожності cos 3α = 4 cos³α – 3cosα випливає, що коли cos3α — ірраціональне число, то і cosα — число ірраціональне. Отже, числа cos 24°, cos12°, cos 8°, cos 6°, cos 4°, cos 3°, cos1° — ірраціональні.

Продовжуючи міркування, можна довести, що cos n° — число ірраціональне, коли п = 1, 2,..., 88, 89 і n ≠ 60. Цей результат можна узагальнити.

Задача 3. (А. Я. Дороговцев. Математический анализ. Сборник задач. - К.: Вища школа, 1987.)

Нехай α = rπ, r Q і 0 <r< . Довести:

Q, коли r ≠            2)   tgα Q, коли r ≠ .

Зауваження. Згідно з формулою зведення sinα = cos , завдання 1) рівносильне такому: довести, що cosα Q, коли r .

Задачу 3 розв`яжемо трохи згодом.

Теорема. Має місце рівність

cos nx = P_n(cos x),                                                                                         (1)

де P_n – деякий многочлен n-го степеня з цілими коефіцієнтами та старшим коефіцієнтом 2^n-1. Причому коли n непарне, то вільний член цього многочлена дорівнює 0.

Доведення

Правильність вказаної рівності доведемо методом математичної індукції.

1°. Коли n = 1,то Р₁ (cosх) = P₁(t) = t, де t = cosх. Коли n = 2, матимемо: cos 2х = 2 cos² х –1 або   Р₂(t) = 2t² –1.

Отже, рівність (1) правильна  при п = 1, 2.

2°. Нехай дане твердження справедливе при всіх п<k, де k — фіксоване натуральне число, k > 2. Тоді

cos(k + 1)х = cos(kх + х) = coskх · cosх – sinkx·sinх =

= coskх·соsх –

(cos(k – 1)х – со5(k + 1)х),

звідки       cos(k + 1)х = 2coskх∙cosх – cos(k – 1)x.

Але за припущенням індукції:

coskx = Р_k (cosх), cos (k – 1) х = P_{k – 1}(cosх).

Тому cos(k + 1)х = 2Р_к(cosх)∙cosх – Р_{k - 1} (cosх) = Р_k+1 (cosх),

де 

, .                                                                   (2)

За припущенням індукції:

де а_j, b_j — деякі цілі числа.

Тоді з рівності (2) матимемо

,

де c_j — деякі цілі числа.