Оптимизация

·     x₁ - суточный объем производства краски первого вида, [т краски/сутки];

·     x₂ - суточный объем производства краски второго вида, [т краски/сутки].

Это же можно  записать иначе: x_i - суточный объем производства краски i-го вида, где .

2. Целевая функция.

В условии задачи сформулирована цель - добиться максимального дохода от реализации продукции. Т.е. критерием оптимальности служит характеристика суточного дохода, которая должна стремиться к максимуму. Чтобы рассчитать величину суточного дохода от продажи красок обоих видов, необходимо знать объемы производства красок, т.е. x1 и x2 тонн краски в сутки, а также оптовые цены на краски первого и второго видов - согласно условию, соответственно 3 и 2 тыс. руб. за 1 тонну краски. Таким образом, доход от продажи суточного объема производства краски первого вида равен 3*x1 тыс. руб. в сутки, а от продажи краски второго вида – 2*x2 тыс. руб. в сутки. Поэтому запишем ЦФ в виде суммы дохода от продажи красок первого и второго видов (при допущении независимости объемов сбыта каждой из красок).

  

Проверим используемые в ЦФ единицы измерения:

  

3. Ограничения.

Возможные объемы производства красок x1 и x2 ограничиваются следующими условиями:

-    количество ингредиентов А и В, израсходованное в течение суток на производство красок обоих видов, не может превышать суточного запаса этих ингредиентов на складе;

-    объем производства краски второго вида не должен превышать 2 тонн в сутки, что также следует из результатов изучения рынков сбыта;

-    объемы производства красок не могут быть отрицательными.

Таким образом, все ограничения задачи делятся  на 3 группы, обусловленные:

-    расходом ингредиентов;

-    рыночным спросом на краску;

-    неотрицательностью объемов производства.

Ограничения по расходу любого из ингредиентов имеют следующую содержательную форму записи:   

Расход  конкретного ингредиента  на производство обоих  видов краски

≤

Максимально возможный запас  данного ингредиента

 

 

Запишем эти  ограничения в математической форме.

Расход ингредиента  А в сутки при производстве двух видов красок составит , при том что величина суточного запаса ингредиента на складе 6 т (см. табл. 1.1). Таким образом, ограничение по расходу ингредиента А имеет вид:

 

Аналогична математическая запись ограничения по расходу В:

    

Примечание. Рекомендуется проверять единицы измерения левой и правой части каждого из ограничений, поскольку несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибке при составлении ограничений.

Ограничение по суточному объему производства краски первого вида имеет содержательную форму  

Спрос на краску первого  вида

≤

2 тонн краски/сутки

 

 

Таким образом, в модели ограничение выглядит как:

    

Неотрицательность объемов производства задается как

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:

  

Эта задача относится  к классу задач ЛП, потому что  все функции ограничений и  целевая функция линейные.

Введем понятие  размерности задачи ЛП, которая характеризует вычислительную трудоемкость модели. Размерность определяется как mxn, где m – это количество функциональных ограничений задачи (т.е. ограничения на неотрицательность не учитываются), а n – это количество переменных.

В нашем примере  размерность задачи 3x2.  

Задача 1.2.

Выполнить план по производству 32 изделий И1 и 4 изделий  И2 взялись бригады Б1 и Б2. Производительность бригады Б1 по производству изделий  И1 и И2 составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени  этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б2 - соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени - 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б1 равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б2 - 15 и 30 руб.

Задание. Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа.

Решение

1. Переменные  задачи

Искомыми величинами в задаче являются объемы выпуска  изделий. Изделия И1 будут выпускаться  двумя бригадами Б1 и Б2. Поэтому необходимо различать количество изделий И1, произведенных бригадой Б1, и количество изделий И2, произведенных бригадой Б2. Аналогично, объемы выпуска изделий И2 бригадой Б1 и бригадой Б2 также являются различными величинами. Вследствие этого в данной задаче 4 переменные. Для удобства восприятия будем использовать двух индексную форму записи хij - количество изделий j-го вида ( ), изготавливаемых бригадой i ( ). Наглядно переменные можно представить в виде таблицы 1.2.  

Таблица 1.2 – Переменные задачи 1.2

Изделие (j) Бригада (i)	И1	И2
Б1	х11	х12
Б2	х21	х22

 

 

2. Целевая функция

Целью решения  задачи является выполнение плана с  минимальными затратами, т.е. критерием  эффективности решения служит показатель затрат на выполнение всего заказа. Поэтому ЦФ должна быть представлена формулой расчета этих затрат. Затраты каждой бригады на производство одного изделия И1 и И2 известны из условия. Таким образом, ЦФ имеет вид

 

3. Ограничения

Возможные объемы производства изделий бригадами ограничиваются следующими условиями:

-    общее количество изделий И1, выпущенное обеими бригадами, должно быть не менее 32 шт., а общее количество изделий И2 - 4 шт.;

-    время, отпущенное на работу над данным заказом, составляет для бригады Б1 - 9,5 ч, а для бригады Б2 - 4 ч;

-    объемы  производства изделий не могут быть отрицательными величинами.

Для удобства составления  ограничений запишем исходные данные в виде таблицы 1.3.  

Таблица 1.3 - Исходные данные задачи

Бригада	Производительность бригад, шт/ч		Фонд  рабочего времени, ч
	И1	И2
Б1	4	2	9,5
Б2	1	3	4
Заказ, шт	32	4

 

 

Ограничения по заказу изделий имеют следующий  вид:

             [шт.] ≥[шт.].

Ограничение по фондам времени. Здесь проблема заключается  в том, что в условии задачи прямо не задано время, которое тратят бригады на выпуск одного изделия И1 или И2, т.е. не задана трудоемкость производства. Но имеется информация о производительности каждой бригады, т.е. о количестве производимых изделий в 1 ч. Трудоемкость Тр и производительность Пр являются обратными величинами, т.е. Тр=1/Пр.

Поэтому, используя  табл. 1.3, получаем следующую информацию:

·     1\4 ч тратит бригада Б1 на производство одного изделия И1;

·     1\2 ч тратит бригада Б1 на производство одного изделия И2;

·     1 ч тратит бригада Б2 на производство одного изделия И1;

·     1\3 ч тратит бригада Б2 на производство одного изделия И2.

Запишем ограничения  по фондам времени в математическом виде:

           

Неотрицательность объемов производства задается:

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид:

  

Это задача ЛП, размерность  задачи 4х4.  

Задача 1.3. О рекламе

Компании необходимо спланировать бюджет рекламной компании своей продукции, которая будет  проводиться посредством телевидения, радио, газет и афиш. Известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 4, 6, 3 $ в расчете на 1$ затрат на рекламу. Распределение рекламного бюджета подчиняется условиям:

·     полный бюджет рекламной компании не более 0,5 млн. $;

·     на телевидение следует расходовать не более 50% от всех затрат на рекламу;

·     на афиши не менее 10% от всех затрат на рекламу

·     на радио не менее 30% затрат от телевидения.

Необходимо распределить средства по различным видам рекламы  с максимумом прибыли.

Задание. Запишите оптимизационную модель задачи.   
 

Задача 1.4

Энергетический  концерн считает, что показатели потребности в нефтепродуктах в  северном регионе будут иметь  следующие значения:

·     суммарная потребность в нефтепродуктах за год - А;

·     среднемесячная потребность в нефтепродуктах за зиму – В.

Для хранения нефтепродуктов могут быть построены хранилища  двух видов, для каждого из которых известны те же характеристики в расчете на одно хранилище: a_i, b_i, . Известны капитальные затраты на строительство одного хранилища каждого типа – k_i и суммарный объем капиталовложений, выделенный на строительство в регионе – К.

Определить оптимальный  план строительства, обеспечивающий удовлетворение потребности в нефтепродуктах при  минимуме затрат на содержание хранилищ, если известны c_i – эксплуатационные расходы на обслуживание хранилища i-го типа.

Задание. Постройте оптимизационную модель задачи.  

Задача 1.5

Фирма выпускает  три вида изделий. В процессе производства используются три технологические операции. На рис. 1.1 показана технологическая схема производства и трудоемкость изготовления каждого вида изделий по операциям.

Фонд рабочего времени ограничен для первой операции - 430 мин; для второй операции - 460 мин; для третьей операции- 420 мин. Изучение рынка сбыта показало, что ожидаемая прибыль от продажи одного изделия видов 1, 2 и 3 составляет 3, 2 и 5 рублей соответственно [2].  

;  

Рис. 1.1 Технологическая схема производства