Определенный интеграл

Решение. Данная фигура изображена на рис. 7. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x, а в качестве – . Получим:

  (кв. ед.).

 

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем  разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

 

Рис. 7

 

Пример 12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 8). Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную снизу осью , слева и справа – прямыми и , сверху – графиками функций и . Так как фигура ограничена сверху графиками двух функций, то для вычисления ее площади разобьем данную фигуру прямой на две части (1 – это абсцисса точки пересечения линий и ). Площадь каждой из этих частей находим по формуле (4):

 

(кв. ед.); (кв. ед.). Следовательно:

(кв. ед.).

 

Рис. 8

 

Рис. 9

 

В заключение отметим, что если криволинейная трапеция ограничена прямыми и , осью и непрерывной на кривой (рис. 9), то ее площадь находится по формуле

 

.

 

 

2. Объем тела вращения

 

Пусть криволинейная  трапеция, ограниченная графиком непрерывной  на отрезке  функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси (рис. 10). Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

. (9)

Пример 13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение. Сделаем чертеж (рис. 11).

Из условия задачи следует, что  , . По формуле (9) получаем

 
.

Рис. 10

 

Рис. 11

 

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной прямыми у = с и у = d, осью Оу и графиком непрерывной на отрезке функции (рис. 12), определяется по формуле

. (10)

Рис. 12

 

 

 

 

 

 

Пример 14. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной линиями х² = 4у, у = 4, х = 0 (рис. 13).

Решение. В соответствии с условием задачи находим пределы  интегрирования: , . По формуле (10) получаем:

.

Рис. 13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Длина дуги плоской кривой

 

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости (рис. 14).

 

Рис. 14

Определение. Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция  и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

. (11)

Пример 15. Вычислить длину дуги кривой , заключенной между точками, для которых .

Решение. Из условия задачи имеем . По формуле (11) получаем:

.

 

 

4.  Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

 

При введении понятия  определённого интеграла  предполагалось, что выполняются следующие два условия:

а) пределы интегрирования а и являются конечными;

б) подынтегральная функция  ограничена на отрезке .

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то интеграл называется несобственным.

Рассмотрим вначале  несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение. Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда

(12)

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если  существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен , то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный  интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева – отрезком прямой и неограниченной справа (рис. 15).

Если несобственный  интеграл сходится, то эта площадь  является конечной; если несобственный  интеграл расходится, то эта площадь  бесконечна.

 

Рис. 15

 

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным  нижним пределом интегрирования:

. (13)

Этот интеграл сходится, если предел в правой части равенства (13) существует и конечен; в противном  случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами  интегрирования определяется следующим образом:

, (14)

где с – любая точка  интервала  . Интеграл сходится только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (14).

Пример 16. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение. а) , следовательно, данный интеграл расходится;

б)

. Так как при предел не существует, то интеграл расходится;

в)

 Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно ;

г) = [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = [замена:

] =

Значит, несобственный  интеграл сходится и его значение равно  .

 

 

 

 

 

 

 

5.  Несобственные интегралы от неограниченных функций

 

Пусть функция  непрерывна на конечном промежутке , но не ограничена на этом промежутке.

Определение. Несобственным интегралом от функции у=f(x) на промежутке называется предел , т.е.

. (15)

Если предел, стоящий  в правой части равенства (15) существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Интеграл (15) иногда называют несобственным интегралом второго рода.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла  от функции  непрерывной, но не ограниченной на промежутке :

. (16)

Если функция  не ограничена при , где , и непрерывна при и , то несобственный интеграл от функции у=f(x) на отрезке обозначается и определяется равенством

. (17)

Несобственный интеграл (17) называется сходящимся, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (17).  
В противном случае данный интеграл называется расходящимся.

Пример 17. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) .

Решение:

а) данный интеграл является интегралом от неограниченной функции (подынтегральная функция не определена в точке , при эта функция неограниченно возрастает).

По определению имеем

[замена: ] = , следовательно, данный интеграл сходится.

б) по определению

 
.

Значит, данный интеграл является расходящимся.

 

 

Литература

 

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч. I. – М.: Наука, 1982. – 616 с.

2. Гусак А.А. Математический анализ и дифференциальные уравнения. – Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

3. Гусак А.А. Высшая математика: Учеб. пособие для студентов вузов: В 2 т. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

4. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Яблонский А.И., Кузнецов А.В., Шилкина Е.И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общей ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.