Определение случайного процесса и его характеристики

 

МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ и  ОБРАЗОВАНИЯ РФ

МОСКОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОЛОМЕНСКИЙ ИНСТИТУТ

_______________________________________________________________________

 

КАФЕДРА  ВЫСШЕЙ  МАТЕМАТИКИ  и  ФИЗИКИ

 

 

 

 

 

 

 

  Реферат по  математике на тему  «Определение случайного процесса и его характеристики.»

 

 

 

 

Автор: студент группы ГМУ-12 Яничкин П.В.

(вариант №22)

 

Рецензент: доцент к.т.н. Калиниченко  Е.Ф.

 

 

Дата представления 22.04.2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Коломна 2013

 

Содержание

1. Введение……………………………………………………………3
2. Определение случайного процесса и его характеристики…....…3
3. Литература………………………………………………….………8

 

 

Введение

Понятие случайного процесса введено в XX столетии и  связано с именами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцкого (1880-1948), Н. Винера (1894-1965).

Это понятие  в наши дни является одним из центральных  не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи. Теория случайных процессов  принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой. XX век не мог удовлетвориться  тем идейным наследием, которое  было получено от прошлого. Действительно, в то время, как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния.

Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца XIX - начала XX века не имела ни разработанных частных схем, ни тем  более общих приемов. А необходимость  их создания буквально стучала в  окна и двери математической науки. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов.

Считаю необходимым  упомянуть еще о двух важных группах  исследований, начатых в разное время  и по разным поводам.

Во-первых, эта  работы А.А. Маркова (1856-1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работы Е.Е. Слуцкого (1880-1948) по теории случайных  функций.

Оба этих направления  играли очень существенную роль в  формировании общей теории случайных  процессов.

Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал, и необходимость построения теории как бы носились в воздухе.

Оставалось  осуществить глубокий анализ имеющихся  работ, высказанных в них идей и результатов и на его базе осуществить необходимый синтез.

 

Определение случайного процесса и его характеристики.

Определение: Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента t является случайной величиной.

Другими словами, случайный процесс представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот  или иной конкретный вид, неизвестный  заранее. При фиксированном t=t0 X(t0) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечениеслучайного процесса в момент t0.

Примеры случайных  процессов:

1. численность населения региона с течением времени;
2. число заявок, поступающих в ремонтную службу фирмы, с течением времени.

Случайный процесс  можно записать в виде функции  двух переменных X(t,ω), где ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ и ω – элементарное событие, Ω - пространство элементарных событий, Т – множество значений аргумента t, ≡ - множество возможных значений случайного процесса X(t, ω).

Реализацией случайного процесса X(t, ω) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате испытания (при фиксированном ω), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t), его траектория.

Таким образом, случайный процесс X(t, ω) совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента t, случайный процесс превращается в обычную случайную величину, если зафиксировать ω, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию. В дальнейшем изложении опустим аргумент ω, но он будет подразумеваться по умолчанию.

На рисунке 1 изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. Пусть  сечение этого процесса при данном t является непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс X(t) при данном t определяется полностью вероятности φ(x‚ t). Очевидно, что плотность φ(x, t) не является исчерпывающим описанием случайного процесса X(t), ибо она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значений t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t1), X(t2), …, X(tn)), состоящей из всех сочетаний этого процесса. В принципе таких сочетаний бесконечно много, но для описания случайного процесса удаётся часть обойтись относительно небольшим количеством сочетаний.

Говорят, что  случайный процесс имеет порядок n, если он полностью определяется плотностью совместного распределения φ(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn) n произвольных сечений процесса, т.е. плотностью n-мерной случайной величины (X(t1), X(t2), …, X(tn)), где X(ti) – сочетание случайного процесса X(t) в момент времени ti, i=1, 2, …, n.

Как и случайная  величина, случайный процесс может  быть описан числовыми характеристиками. Если для случайной величины эти  характеристики являются постоянными  числами, то для случайного процесса – неслучайными функциями.

Математическим  ожиданием случайного процесса X(t) называется неслучайная функция ax(t), которая при любом значении переменной t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса X(t), т.е. ax(t)=М [X(t)].

Дисперсией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция Dx(t), при любом значении переменной t равная дисперсии соответствующего сочетания случайного процесса X(t), т.е. Dx(t)= D[X(t)].

Средним квадратическим отклонением σx(t) случайного процесса X(t) называется арифметическое значение корня квадратного из его дисперсии, т.е. σx(t)= Dx(t).

Математическое  ожидание случайного процесса характеризует среднюю траекторию всех возможных его реализаций, а его дисперсия или среднее квадратическое отклонение -разброс реализаций относительно средней траектории.

Введённых выше характеристик случайного процесса оказывается недостаточно, так как  они определяются только одномерным законом распределения. Если для  случайного процесса Х1(t) характерно медленное изменение значений реализаций с изменением t, то для случайного процесса Х2(t) это изменение проходит значительно быстрее. Другими словами, для случайного процесса Х1(t) характерна тесная вероятностная зависимость между двумя его сочетаниями Х1(t1) и Х1(t2), в то время как для случайного процесса Х2(t) эта зависимость между сочетаниями Х2(t1) и Х2(t2) практически отсутствует. Указанная зависимость между сочетаниями характеризуется корреляционной функцией.

Определение: Корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется неслучайная функция

Kx(t1, t2) = M[(X(t1) – ax(t1))(X(t2) – ax(t2))] (1.)

двух переменных t1 и t2 , которая при каждой паре переменных t1 и t2 равна ковариации соответствующих сочетаний Х(t1) и Х(t2) случайного процесса.

Очевидно, для  случайного процесса Х(t1) корреляционная функция Kx1(t1, t2) убывает по мере увеличения разности t2 - t1 значительно медленнее, чем Kx2(t1, t2) для случайного процесса Х(t2).

Корреляционная  функция Kx(t1, t2) характеризует не только степень тесноты линейной зависимости между двумя сочетаниями, но и разброс этих сочетаний относительно математического ожидания ax(t). Поэтому рассматривается также нормированная корреляционная функция случайного процесса.

Нормированной корреляционной функцией случайного процесса Х(t) называется функция:

Px(t1, t2) = Kx(t1, t2) / σx(t1)σx(t2) (2)

Пример № 1

Случайный процесс  определяется формулой X(t) = X cosωt, где Х – случайная величина. Найти основные характеристики этого процесса, если М(Х) = а, D(X) = σ2.

РЕШЕНИЕ:

На основании  свойств математического ожидания и дисперсии имеем:

ax(t) = M(X cosωt) = cosωt * M(X) = a cosωt,

Dx(t) = D(X cosωt) = cos2ωt * D(X) = σ2 cos2 ωt.

Корреляционную  функцию найдём по формуле (1.)

Kx(t1, t2) = M[(X cosωt1 – a cosωt1) (X cos ωt2 – a cosωt2)] =

= cosωt1 cosωt2 * M[(X – a)(X - a)] = cosωt1 cosωt2 * D(X) = σ2 cosωt1 cosωt2.

Нормированную корреляционную функцию найдём по формуле (2.):

Px(t1, t2) = σ2 cosωt1 cosωt2 / (σ cosωt1)( σ cosωt2) ≡ 1.

Случайные процессы можно классифицировать в зависимости  от того, плавно или скачкообразно  меняются состояния системы, в которой  они протекают, конечно (счетно) или  бесконечно множество этих состояний  и т.п. Среди случайных процессов  особое место принадлежит Марковскому  случайному процессу.

Теорема. Случайный процесс X(t) является гильбертовым тогда и только тогда, когда существует R(t, t’) для всех (t, t’)€ T*T.

Теорию гильбертовых случайных процессов называют корреляционной.

Заметим, множество Т может быть дискретным и континуальным. В первом случае случайный процесс Хt называют процессом с дискретным временем, во втором – с непрерывным временем.

Соответственно  сочетания Хt могут быть дискретными и непрерывными случайными величинами.

Случайный процесс  называется Х(t) выборочно неправильным, дифференцируемым и интегрируемым в точке ω€Ω, если его реализация x(t) = x(t, ω) соответственно непрерывна, дифференцируема и интегрируема.

Случайный процесс  Х(t) называется непрерывным: почти, наверное, если

P(A)=1, A = {ω  € Ω : lim x(tn) = x(t)}

В среднем квадратическом, если

Lim M[(X(tn) – X(t))2] = 0

По вероятности, если

Aδ ≥ 0 : lim P[| X(tn) – X(t)| > δ] = 0

Сходимость  в среднем квадратическом обозначают также:

X(t) = lim X(tn)

Оказывается, из выборочной непрерывности следует  непрерывность почти наверное, из непрерывности почти наверное и в среднем квадратическом следует непрерывность по вероятности.

Теорема. Если X(t) – гильбертов случайный процесс, непрерывный в среднем квадратическом, то mx(t) – непрерывная функция и имеет место соотношение

Lim M [X(tn)] = M [X(t)] = M [lim X(tn)].

Теорема. Гильбертов случайный процесс X(t) непрерывен в среднем квадратическом тогда и только тогда, когда непрерывна его ковариационная функция R(t, t’) в точке (t, t).

Гильбертов  случайный процесс X(t) называется дифференцируемым в среднем квадратическом, если существует случайная функция X(t) = dX(t)/dt такая, что

X(t) = dX(t)/ dt = lim X(t+∆t) – X(t) / ∆t

(t € T, t +∆t  € T),

т.е. когда

Lim M [((X(t + ∆t) – X(t) / (∆t)) – X(t))2] = 0

Случайную функцию X(t) будем называть производной в среднем квадратическомслучайного процесса X(t) соответственно в точке t или на T.

Теорема. Гильбертов случайный процесс X(t) дифференцируем в среднем квадратическом в точке t тогда и только тогда, когда существует

δ2 R(t, t’) / δtδt’ в точке (t, t’). При этом:

Rx(t, t’) = M[X(t)X(t’)] = δ2 R(t, t’) / δtδt’.

Если гильбертов случайный процесс дифференцируем на Т, то его производная в среднем квадратическом также является гильбертовым случайным процессом; если выборочные траектории процесса дифференцируемы на Т с вероятностью 1, то с вероятностью 1 их производные совпадают с производными в среднем квадратическом на Т.

Теорема. Если X(t) - гильбертов случайный процесс, то

M[dX(t) / dt] = (d / dt) M[X(t)] = dmx(t) / dt.

Пусть (0, t) –  конечный интервал, 0 <t1 < … <tn = t – его точки

X(t) - гильбертов  случайный процесс.

Yn = ∑ X(ti)(ti – ti-1) (n = 1,2, …).

Тогда случайная  величина

Y(t) = lim Yn

max (ti – ti-1)→0

Называется интегралом в среднем квадратическом процесса X(t) на (0, t) и обозначается:

Y(t) = ∫ X(τ)dτ.

Теорема. Интеграл Y(t) в среднем квадратическом существует тогда и только тогда, когда ковариационная функция R(t, t’) гильбертова процесса X(t) непрерывна на Т×Т и существует интеграл

Ry (t, t’) = ∫ ∫ R(τ, τ’) dτdτ’

Если интеграл в среднем квадратическом функции X(t) существует, то

M[Y(t)] = ∫ M[X(τ)]dτ,

RY(t, t’) = ∫  ∫ R(τ, τ’)dτdτ’

Ky (t, t’) = ∫ ∫ K(τ, τ’)dτdτ’

Здесь Ry(t, t’) = M[Y(t)Y(t’)], Ky(t, t’) = M[Y(t)Y(t’)] – ковариационная и корреляционная функции случайного процесса Y(t).

Теорема. Пусть X(t) – гильбертов случайный процесс с ковариационной функцией R(t, t’), φ(t) – вещественная функция и существует интеграл

∫ ∫ φ(t)φ(t’)R(t, t’)dtdt’

Тогда существует в среднем квадратическом интеграл

∫ φ(t)X(t)dt.

Случайные процессы:

Xi(t) = Viφi(t) (i = 1n)

Где φi(t) – заданные вещественные функции

Vi - случайные величины с характеристиками

M(VI = 0), D(VI) = DI, M(ViVj) = 0 (i ≠ j)

Называют  элементарными.

Каноническим  разложением случайного процесса X(t) называют его представление в виде

X(t) = mx(t) + ∑ Viφi(t) (t € T)

Где Vi – коэффициенты, а φi(t) – координатные функции канонического разложения процесса X(t).

Из отношений:

M(VI = 0), D(VI) = DI, M(ViVj) = 0 (i ≠ j)

X(t) = mx(t) + ∑ Viφi(t) (t € T)

Следует:

K(t, t’) = ∑  Diφi(t)φi(t’)

Эту формулу  называют каноническим разложением корреляционной функции случайного процесса.

В случае уравнения

X(t) = mx(t) + ∑ Viφi(t) (t € T)

Имеют место  формулы:

X(t) = mx(t) + ∑ Viφ(t)

∫ x(τ)dt = ∫ mx(τ)dτ + ∑ Vi ∫ φi(t)dt.

Таким образом, если процесс X(t) представлен его  каноническим разложением, то производная  и интеграл от него также могут  быть представлены в виде канонических разложений.