Определение геометрического изображения. Предел и непрерывность функции двух переменных

Содержание

 

 
1. Определение геометрического изображения. Предел и непрерывность функции двух переменных. 
 
2. Частные производные первого и второго порядков 
             - функции двух переменных

             - полные дифференциалы

     
3. Скалярное поле линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении.

 
4.  Экстремум функции двух переменных

 

Литература 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Геометрическое  изображение функции двух переменных. Предел и непрерывность функции   двух переменных.

Рассмотрим функцию z = f(x,y), определенную в некоторой области М на плоскости Оху. Тогда множество точек трехмерного пространства с координатами (x,y,z), где , является графиком функции двух переменных. Поскольку уравнение (1.1) определяет некоторую поверхность в трехмерном пространстве, она и будет геометрическим изображением рассматриваемой функции.

z

z = f(x,y)

M y

Примерами могут служить  изучаемые в предыдущем семестре уравнения плоскости

z = ax + by + c

и поверхностей второго порядка:

z = x² + y² (параболоид вращения),

(конус) и т.д.

Предел и непрерывность  функции двух переменных. 
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. 
 
Пусть  – произвольная точка плоскости.  – окрестностью точки   называется множество всех точек  , координаты которых удовлетворяют неравенству  . Другими словами,  – окрестность точки   – это все внутренние точки круга с центром в точке   и радиусом  . 
 
Определение 1. Число  называется пределом функции   при   (или в точке  ), если для любого сколь угодно малого положительного числа   существует   (зависящее от  ) такое, что для всех   и удовлетворяющих неравенству   выполняется неравенство  . 
 
Обозначается предел следующим образом: 
 или  . 
Пример 1. Найти предел  . 
 
Решение. Введем обозначение  , откуда  . При   имеем, что  . Тогда 
 
 
. 
Определение 2. Функция  называется непрерывной в точке  , если: 1)   определена в точке   и ее окрестности; 2) имеет конечный предел  ; 3) этот предел равен значению функции в точке  , т.е.  . 
 
Функция   называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. 
 
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция   имеет две линии разрыва: ось   ( ) и ось   ( ). 
 
Пример 2. Найти точки разрыва функции  . 
 
Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где   или  . Это окружность с центром в начале координат и радиусом  . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность  . 
 
2. Частные производные первого и второго порядков. Функции двух переменных. Полные дифференциалы.

Пусть задана функция двух переменных  . Дадим аргументу   приращение  , а аргумент   оставим неизменным. Тогда функция   получит приращение  , которое называется частным приращением   по переменной  и обозначается  : 
. 
Аналогично, фиксируя аргумент   и придавая аргументу   приращение  , получим частное приращение функции   по переменной  : 
. 
Величина   называется полным приращением функции   в точке  . 
 
Определение 3. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так:   или  , или  . 
 
Таким образом, по определению имеем: 
, 
 
. 
 
 
Частные производные функции   вычисляются по тем же правилам и формулам, что и функция одной переменной, при этом учитывается, что при дифференцировании по переменной  ,  считается постоянной, а при дифференцировании по переменной   постоянной считается  . 
 
Пример 3. Найти частные производные функций: 
а)  ; б)  . 
Решение. а) Чтобы найти   считаем   постоянной величиной и дифференцируем   как функцию одной переменной  : 
. 
Аналогично, считая   постоянной величиной, находим  : 
 
 
. 
Решение. 
б)  ; 
 
 
 
. 
 
Частные производные   и   называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. 
 
Определение 4. Частными производными второго порядка функции   называются частные производные от частных производных первого порядка. 
 
Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом: 
 или  ;   или  ; 
 
 или  ;   или  . 
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции   имеем: 
,   и т. д. 
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции   таковыми являются производные  . Заметим, что в случае, когда смешанные производные   непрерывны, то имеет место равенство  . 
 
Пример 4. Найти частные производные второго порядка функции 
. 
Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3: 
 
 
 
Дифференцируя   и   по переменным х и y, получим 
, 
 
; 
 
; 
 
. 
Понятие функции двух  переменных 
Многие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных. 
 
В данном реферате рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. 
 
Пусть   – множество упорядоченных пар действительных чисел  . 
 
Определение 5. Если каждой упорядоченной паре чисел   по некоторому закону   поставлено в соответствие единственное действительное число  , то говорят, что задана функция двух переменных   или  . Числа   называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число   – зависимой переменной. 
 
Например, формула  , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных:   – радиуса основания и   – высоты. 
 
Пару чисел   иногда называют точкой  , а функцию двух переменных – функцией точки  . 
 
Значение функции   в точке   обозначают   или   и называют частным значением функции двух переменных. 
 
Совокупность всех точек  , в которых определена функция  , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями. 
 
Например, область определения функции   – вся плоскость, а функции   – единичный круг с центром в начале координат (  или  .

Полным дифференциалом функции   называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. 
. 
Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е.  , формулу полного дифференциала можно записать в виде 
 или  . 
Пример 5. Найти полный дифференциал функции  . 
 
Решение. Так как  , то по формуле полного дифференциала находим 
. 
 
3. Скалярное поле линий и поверхности уровней. Производная в данном направлении.

Полем величины U называют область D трехмерного пространства, с каждой точкой M(x,y,z) которой в каждый момент времени t связано определённое значение величины "U".

Если U есть скалярная (векторная) величина, то и порождаемое ею поле называют скалярным (векторным). 
Задание скалярного поля есть задание скалярной функции U = f(M,t) = f(x,y,z).

Если  величина U не зависит от времени t, то поле называют стационарным, или установившимся.

Пусть задано скалярное стационарное поле U = f(M) = f(x,y,z) , где функцию f(x,y,z) будем всегда предполагать непрерывно дифференцируемой в рассматриваемой области.

Основной  вопрос исследования скалярного поля есть вопрос об изменении функции U при переходе из одной точки пространства в другую. Для выяснения этого вопроса рассмотрим, прежде всего, геометрическое место точек, в которых величина U сохраняет постоянное значение.

Это геометрическое место точек называют поверхностью уровня скалярного поля U. Ее уравнение в выбранной системе координат имеет вид: U(x,y,z) = C, где C = const. Следовательно, изменяя значения C, получаем семейство поверхностей уровня, которые заполняют всю область, где определено поле, и никакие две поверхности уровня, отвечающие различным значениям C, не имеют общих точек.

Задание всех поверхностей уровня с указанием  соответствующих значений C равносильно заданию самого поля.

Указанный способ изображения поля особенно удобен, если речь идет о поле, заданном в  плоской области D двух переменных. В этом случае уравнение U(x,y) = C определяет, вообще говоря, некоторую кривую линию, называемую линией уровня плоского скалярного поля.

Такие линии различных скалярных полей  всем хорошо известны: линии равных высот (горизонтали) удобны для изображения  размера местности, линии равных температур (изотермы) или линии  равных давлений (изобары) в метеорологии и т. д.

Пример 6

Найти поверхности уровня функции 

Решение

Имеем, по определению,

Изменяя C, будем получать различные сферы с центром в начале координат и радиусом е^c. Т.е. семейство поверхностей уровня функции U есть семейство концентрических сфер с центром в начале координат.

Проследим за изменением скалярной  величины U=f(x,y,z)при перемещении из точки M₀(x₀,y₀,z₀) в заданном направлении  (рис. 3.16).

Возьмем на луче, выходящем  из точки M₀ в направлении вектора  , точку M₁(x,y,z), где x = x₀ + Δx, y₀ + Δy, z₀+ Δz.

Функция U = f(x,y,z) получит приращение 
ΔU₀ = f(x₀+ Δx, y₀+ Δy, z₀+ Δz) − f(x₀, y₀, z₀) 
– при перемещении из точки M₀(x₀, y₀, z₀) в точку M₁(x, y, z).

 

Определение 6

Производной скалярной функции U = f(x ,y, z) по направлению вектора

M₀(x₀, y₀, z₀) называется предел, если он существует, отношения приращения ΔU₀ функции при смещении из точки M₀(x₀, y₀, z₀) в направлении вектора   в точку M₁(x, y, z) к величине этого смещения   когда ρ → 0, то есть

Следовательно,   характеризует скорость изменения величины U в точке M₀ в направлении вектора  .

Очевидно, что функция U имеет бесчисленное множество производных по направлениям в каждой точке M. Получим формулу для вычисления производной по направлению. Так как

где величины x₀, y₀ ,z₀, cos α, cos β, cos γ фиксированы, то U(M₁) есть функция только смещения ρ

Обозначим эту функцию

При ρ = 0 имеем ψ(0) = U(x₀, y₀, z₀) = U(M₀). Следовательно:

Т. е. получим  формулу:

выражающую  производную от функции U = f(x, y, z) по направлению вектора  

пример 7

Вычислить производную функции U = x² + y²x + z в точке A(0, −2, −1) в направлении вектора

Решение

Найдем орт вектора

т.е.

Находим частные производные  функции U:

Следовательно:

4. Экстремум функции  двух переменных.

Определение 7. Точка   называется точкой минимума (максимума) функции  , если существует такая окрестность точки  , что для всех точек   из этой окрестности выполняется неравенство  , ( ). 
 
Точки минимума и максимума функции   называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно). 
 
Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке   сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к  . 
 
Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если  – точка экстремума дифференцируемой функции  , то ее частные производные   и   в этой точке равны нулю:    . 
 
Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция  может иметь экстремум, а может и не иметь. 
 
Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция  : а) определена в некоторой окрестности критической точки  , в которой   и  ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка      . Тогда, если  , то функция   в точке   имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если  , то функция   в точке   экстремума не имеет. В случае   вопрос о наличии экстремума остается открытым. 
 
При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему: 
 
1.                 Найти частные производные первого порядка:   и  . 
 
2.                 Решить систему уравнений   и найти критические точки функции. 
 
3.                 Найти частные производные второго порядка:  ,  ,  . 
 
4.                 Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума. 
 
5.                 Найти экстремумы функции. 
 
Пример 8. Найти экстремумы функции  . 
 
Решение. 1. Находим частные производные   и  : 
 
 
 
 
,  . 
2. Для определения критических точек решаем систему уравнений 
 или   
Из первого уравнения системы находим:  . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим 
,  ,  , 
откуда 
. 
Находим значения y, соответствующие значениям  . Подставляя значения   в уравнение  , получим:  . 
 
Таким образом, имеем две критические точки:   и  . 
 
3. Находим частные производные второго порядка: 
 
;  ;  . 
 
4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки   имеем: 
 
 
 
 
,  ,  . 
Так как 
, 
то в точке   экстремума нет. 
 
В точке  : 
,  ,   
и, следовательно, 
. 
Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке   функция имеет минимум, так как в этой точке   и  . 
 
5. Находим значение функции в точке  : 
. 
6. Условный экстремум 
В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию. 
 
Пусть   – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию  , называемому уравнением связи. 
 
Определение 8. Точка   называется точкой условного минимума (максимума) функции  , если существует такая окрестность точки  , что для всех точек   из этой окрестности, удовлетворяющих условию  , выполняется неравенство  , ( ). 
 
Если уравнение связи   можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x:  ), то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение   в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x:  . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции  . 
 
 
Пример 9. Найти экстремумы функции   при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи  . 
 
Решение. Из уравнения связи находим функцию   и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной 
 
или 
 
 
Находим экстремум данной функции: 
,  ,   
– критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как  , то в точке   функция   имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим:  . Следовательно, функция 
 
в точке   имеет условный минимум: 
. 
 
 
 
 

 

 

 

 

Литература

 
1.                 Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с. 
 
2.                 Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с. 
 
3.                 Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.). 
 
4.                 Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с. 
 
5.                 Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.