Определение функции. Способы задания функции

 

 

Введение

 

     Аттестационная  работа выполняется на тему  «Определение функции. Способы задания функции».

Предмет исследования – Математика.

Проблема исследования заключается в том, что определить, что такое функция и показать способы задания функции.

     Идея функциональной зависимости восходит к древнегреческой математике. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в  первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и  философ Лейбниц в 1694 году. Однако, этот термин он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы.

     Актуальность  данной темы заключается в  том, что функция - это одно из основных математических и  общенаучных понятий. Оно сыграло  и поныне играет большую роль в познании реального мира.

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Определение функции. Способы задания функции

     Функция - одно  из основных математических и  общенаучных понятий. Оно сыграло  и поныне играет большую роль  в познании реального мира. 

     Итак, величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой соответствующее изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади. В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (её часто обозначают буквой у), а другую - аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х). Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f(x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у, то такая функция называется многозначной. Исследование многозначных функций обычно сводится к исследованию однозначных.

     Переменная величина у есть функция аргумента х, то есть y=f(x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

     Область определения функции - это все значения, которые принимает независимая переменная.

    Область значений функции (множество  значений) - это все значения, которые принимает функция.

     Функция является  четной, если для любого х, из области определения функции, выполняется равенство f(x)=f(-x)

    Функция у = f (х) называется четной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции совпадают

f (− х) = f (х)

  х D (f)

   График четной функции симметричен относительно оси Oy так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (- x, y).

    Функция является  нечетной,  если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

     Функция у = f (х) называется нечетной, если для двух произвольных противоположных значений аргумента из области определения значения функции противоположны.

f (− х) = − f (х)

  х  D (f)

     График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (х; у) он содержит и точку (− х; − у).

   Говорить о четности  либо нечетности можно говорить лишь для тех функций, области определения которых симметричны относительно начала координат.

       Функция называется возрастающей  функцией, если для любых х1 и х2,  таких, что х1< х2, выполняется неравенство  f(х1)<f(х2)

     Функция называется возрастающей на отрезке [а, b], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции

                                x2 > x1→ f (x2) > f (x1) х1, x2   [a, b]

     Функция называется убывающей функцией, если для любых х1 и х2,  таких, что х1< х2, выполняется неравенство  f(х1)>f(х2)

     Функция называется убывающей на отрезке [a, b], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции

                                  x2 > x1→ f (x2) < f (x1)  х1, x2 [a, b]

   Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

     Так же, в математике различают несколько видов функций: линейная, логарифмическая, степенная, обратная, показательная, тригонометрическая, квадратичная, функция обратной пропорциональности.

      Итак, графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f(x). Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу - осью ординат. Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую - функцией.

     Следует отметить, что функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение. На  практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

     Таким образом, функция- это зависимость переменной у от переменной  x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом  переменная  х- независимая переменная или аргумент, а переменная  у- зависимая переменная. Значение  функции является значение у, соответствующее заданному значению х.

 

Способы задания функций

     Функциональная зависимость, устанавливающая соответствие между значениями аргумента х и функции у, может быть различными способами:

1) Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2, …, хk и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1, у2, …, уk задаются в виде таблицы. Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным. В таблице могут быть указаны лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.

   Отметим, что при табличном способе задания функции рядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции.

     С помощью таблиц, в которых указывается зависимость между значениями агрумента и значениями функции, такой способ подходит для функций, у которых аргумент принимает небольшое количество значений.  

     Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.

2) Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х - рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х - иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю. Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким - либо способом установить, рационально или иррационально число х0.

3) Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x). Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции, а так же ограниченная степень точности и утомительность прочитывания значений функции с максимально возможной точностью.

     Графиком числовой функции у =  f (х) называется множество точек плоскости с координатами (х; f (х)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции, то есть Г = {(x; y)| x D , y = f (х)}.

     Такой графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график.

   3амечание. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в одной точке.

          Пример. Построим график функции y = x(6 - x) при -1 ≤ x ≤ 5

Составим таблицу соответствий значений аргумента и функции:

 

х	-1	0	1	2	3	4	5
у	-7	0	5	8	9	8	5

 

     Отметим на координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице и соединим их плавной линией, получим график функции y = x(6 - x) при -1 ≤ x ≤ 5.

 

     Чем больше мы отметим точек, принадлежащих графику, и чем плотнее они будут расположены, тем точнее будет построен график функции.

     Таким образом, графический способ состоит в построении линии (графика) в разных системах координат, например в Декартовой – абсциссы (по горизонтали) изображают значения аргумента, а ординаты (по вертикали) - соответствующие значения функции. Часто бывает, что функция быстро стремится вверх или вниз, поэтом тогда удобнее масштабы на осях брать разными.

4) Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций. Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

   Важно выделить, что при аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.

   Замечание. Областью определения функций f (x) ± g (x), f (x)·g (x); f (x)/g(x) является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель обращается в ноль g (х) = 0.

   Замечание. Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функции y = x2, x (- ∞, + ∞) , и y = x2, x [2, 4] выраженные одной и той же формулой у = х2, различны, так как имеют разные области определения.

   Функция может  быть задана разными формулами  на различных участках области определения. Пусть, например:

   Две функции равны  только в том случае, когда  их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые  значения при одних и тех  же значениях аргумента.

     Следует выделить  то, что из определения функции вытекает, что для ее задания необходимо лишь указать закон соответствия между величинами х и у. Способ же задания этого закона не имеет значения.

     Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти  соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью  формулы у=f(x), где f(x)- с переменной  х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана  аналитически.

    При  рассмотрении различных способов задания функции было замечено, что для подробного изучения ее поведения лучше всего сочетать исследование аналитического выражения функции с построением ее графика.

 

 

 

 

 

Заключение

 

     Изучив и  проанализировав научную и методическую  литературу по теме «Определение  функции. Способы задания функции»  удалось установить, что     понятие функции является одним из основных понятии математики. Выделяют несколько способов задания функции: табличный способ, графический способ, словесный способ, аналитический способ.

     Таким образом, функция- это зависимость переменной у от переменной  x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом  переменная  х- независимая переменная или аргумент, а переменная  у- зависимая переменная.

     Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение. Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти  соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью  формулы у=f(x), где f(x)- с переменной  х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или, что функция задана  аналитически.