Обзор некоторых элементарных функций
Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Января 2014 в 12:45, лекция
Краткое описание
Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
Прикрепленные файлы: 1 файл
Стр. 1
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
Начало
О системе
Служба поддержки
Ссылки
Карт
а
Контактная информация
Линейная алгебра
Векторная алгебра и
аналитическая
геометрия
Матанализ
Поучительные
истории на:
‹-- Назад
Обзор некоторых элементарных функций
Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых
функций, изучаемых в школьной программе.
1.
Линейная
функция.
Это
функция
вида
.
Число
называется
угловым
коэффициентом, а число
-- свободным членом. Графиком
линейной функции служит прямая на координатной плоскости
, не параллельная оси
.
Угловой коэффициент
равен тангенсу угла
наклона
графика
к
горизонтальному
направлению --
положительному направлению оси
.
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2.
Квадратичная
функция.
Это
функция
вида
(
).
Графиком
квадратичной функции служит парабола с
осью, параллельной оси
. При
вершина параболы
оказывается в точке
.
MathSerfer
РЕШЕНИЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ОНЛАЙН
ЗАДАЧИ
ПОЛУЧИТЬ КЛЮЧ
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЙ
ТЕОРИЯ
КНИГИ
ЗАКАЗАТЬ У ИСПОЛНИТЕЛЯ
Матрицы
Системы
уравнений
Вектора
Фигуры
Производная
Пределы
Интеграл
Ряды
Стр. 2
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
Рис.1.9.Парабола
(
)
В
общем
случае
вершина
лежит
в
точке
.
Если
,
то
"рога" параболы направлены вверх, если
, то вниз.
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке
(
)
3. Степенная функция. Это функция вида
,
. Рассматриваются такие случаи:
а). Если
, то
. Тогда
,
;
если число
-- чётное, то и функция
-- чётная (то есть
при всех
); если число
-- нечётное,
то и функция
-- нечётная (то есть
при всех
).
Стр. 3
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
Рис.1.11.График степенной функции при
б). Если
,
, то
. Ситуация с
чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для
:
если
-- чётное число, то и
-- чётная функция;
если
-- нечётное число, то и
-- нечётная функция.
Рис.1.12.График степенной функции при
Стр. 4
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
Снова заметим, что
при всех
. Если
, то
при всех
, кроме
(выражение
не
имеет смысла).
в). Если
-- не целое число, то, по определению, при
:
; тогда
,
.
Рис.1.13.График степенной функции при
При
, по определению,
;
тогда
.
Рис.1.14.График степенной функции при
4.
Многочлен.
Это
функция
вида
, где
,
.
Число
называется степенью многочлена. При
и
многочлены
являются
соответственно
линейной
функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и
рассмотрены выше. При
и
(
)
получается степенная функция, которую мы также рассмотрели
Стр. 5
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
выше. В общем случае
; при чётном значении
степени
характерный вид графика таков:
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при
или таков:
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при
а при нечётном значении степени
-- таков:
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при
или таков:
Стр. 6
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при
5. Показательная функция (экспонента). Это функция
вида
(
,
). Для неё
,
,
, и при
график имеет такой вид:
Рис.1.19.График показательной функции при
При
вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при
Число
называется основанием показательной функции.
6.
Логарифмическая
функция.
Это
функция
вида
(
,
).
Для
неё
Стр. 7
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
,
,
, и при
график имеет такой вид:
Рис.1.21.График логарифмической функции при
При
график получается такой:
Рис.1.22.График логарифмической функции при
Число
называется основанием логарифма. Обратим
внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и
симметричных отражений на последних четырёх чертежах
изображена одна и та же линия.
7. Функция синус:
. Для неё
;
функция периодична с периодом
и нечётна. Её график
таков:
Рис.1.23.График функции
Стр. 8
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
8. Функция косинус:
. Эта функция связана с
синусом формулой приведения:
;
;
период функции
равен
; функция
чётна. Её график
таков:
Рис.1.24.График функции
9.
Функция
тангенс:
(в
англоязычной
литературе обозначается
также
). По определению,
. Функция
нечётна и периодична с периодом
;
то есть
не может принимать значений
,
,
при которых
(стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
Рис.1.25.График функции
10. Функция котангенс:
(в англоязычной
литературе также
). По определению,
. Если
Стр. 9
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
(
), то
. Функция
нечётна и
периодична с периодом
;
то есть
не может принимать значения вида
,
,
при которых
обращается в 0.
Рис.1.26.График функции
11.
Абсолютная
величина
(модуль):
,
.
Эта
функция
определяет
расстояние
на
вещественной оси от точки
до точки 0:
Функция
чётная, её график такой:
Рис.1.27.График функции
Стр. 10
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
12.
Обратные
тригонометрические
функции.
Это
функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они
определяются как функции, обратные к главным ветвям
синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём
подробнее в конце главы, в разделе Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в
пространстве.
На
координатной
плоскости
расстояние
от
точки
до
точки
определяется
по
формуле
(по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт
функцию
Эта функция имеет область значений
График её ограничения на круг
построен в примере
1.8.
Аналогично, расстояние
в пространстве
от точки
до точки
определяется по формуле
и задаёт функцию
Эта функция имеет ту же область значений
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия. Функция
,
задаваемая формулой
где
,
-- фиксированные числа, а
,
называется арифметической прогрессией. Число
называется
при этом первым членом прогрессии, а число
-- разностью
прогрессии. Функцию
можно представить как ограничение на
множество натуральных чисел
линейной функции
Стр. 11
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
с угловым коэффициентом
и свободным
членом
. Арифметическую прогрессию можно задать и
другим, рекуррентным способом:
при
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую
прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях
первого порядка, с одним начальным условием
.
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия. Функция
,
задаваемая формулой
где
,
-- фиксированные числа, а
,
называется геометрической прогрессией. Число
называется
при этом первым членом прогрессии, а число
-- знаменателем
прогрессии. Функцию
(при
,
) можно представить
как ограничение на множество натуральных чисел
показательной функции с основанием
, умноженной на
постоянный коэффициент
, то есть функции
Стр. 12
Функции и их графики
08.01.2014 22:13:05
http://mathserfer.com/theory/kiselev1/node7.html
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую
прогрессию
можно
задать
и
иначе,
рекуррентным способом:
при
© Copyright 2012 MathSerfer
Информация о работе Обзор некоторых элементарных функций