Обыкновенные дроби

                             m/n:p/q=mq/np                           (4)

 

 

 

Рис.3

 

     Заметим, что знак  черты в записи дроби m/n можно рассматривать как знак действия деления.  Действительно, возьмем  два натуральных числа m и n, и найдем их частное по правилу (4):

m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n

   Обратно, если дана дробь m/n , то m/n=m*1/n*1 . Так как m/n=m:n, то любое положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского слова  ratio, что в переводе  на русский язык означает «отношение» (частное).

 

 

 

 

 

1.3. Содержание темы «Обыкновенные  дроби» в школьном курсе математики.

Изучение темы «Обыкновенные дроби» в начальной  школе.

 

      В соответствии  с программой по математике, в  начальных классах должна быть  проведена подготовка к изучению  дробей в IV и V классах. Это значит, в начальных классах надо создать конкретное представление о доле и дроби. С этой целью предусматривается во 2 классе ознакомить детей с долями, их записью, научить сравнивать дроби, решать задачи на нахождение доли числа и числа по доле; в 3 классе ознакомить с дробями, их записью, научить сравнивать дроби,  научить решать задачи на нахождение дроби числа. Все названные вопросы раскрываются на наглядной основе.

Ознакомление  с долями.

   Ознакомить детей с долями -  значит сформировать у них   конкретные представления о долях, т.е. научить детей образовывать доли практически.

Например, чтобы получить одну четвертую долю круга, надо круг разделить на четыре равные части и взять одну такую  часть.

  Для формирования правильных  представлений о долях надо  использовать достаточное количество разнообразных наглядных пособий. Как показал опыт, наиболее удобными пособиями являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги; можно использовать рисунки фигур, выполненные на бумаге или в диапозитивах (круги, прямоугольники, треугольники, бруски, отрезки и т.п.). Очень важно, чтобы пособия были не только у учителя, но и у каждого из учащихся. Правильные представления о долях, а позднее о дробях. Будут сформированы тогда, когда ученики будут своими руками получать, например, половину круга, квадрата, и т.п.

    Познакомить детей с долями  можно таким образом:

    У каждого из учащихся и   у учителя по несколько одинаковых  кругов, прямоугольников.   Возьмите  два одинаковых круга. Один  из них разделите на две  равные части (показывает, как  надо перегнуть и как разрезать круг). Это целый круг, а это половина круга, иначе говоря, одна вторая доля круга. Сколько вторых долей в целом круге? (2) . Покажите их. Возьмите квадрат. Как получить одну вторую долю или половину квадрата (разделить его на две  равные части и взять одну такую часть)? Выполняйте.

  Учащиеся могут сделать это  разными способами, например: разрезать  квадрат по диагонали и получить  два равных треугольника или  же разрезать по средней линии,  тогда получится два прямоугольника. Некоторые учащиеся могут предложить и другие способы деления квадрата на две равные части (рис.4)

 

 

Рис.4

       Как получить  одну вторую долю круга (разделить  круг на две равные части  и взять одну такую часть)? Как  получили одну вторую долю  квадрата? Как иначе называют одну вторую долю круга? Квадрата?  (половина –«-,-«-) Сколько половин круга в целом круге (2)?

     Доли записывают с помощью  двух чисел. Одна вторая доля  круга, квадрата обозначается  так: 1/2. Число 2 показывает, что круг, квадрат или другая фигура (предмет), разделена на 2 равные части, а число 1 показывает, что взяли одну такую часть.

     Учащиеся записывают на половине  круга  1/2 и объясняют, что показывает в этой записи каждое число.

     Так же образуются  доли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 и др. При этом учащиеся должны уяснить, что для получения например, 1/5 отрезка (прямоугольника, бумажной полоски и т.п.) надо данный отрезок (прямоугольник , полоску и т.п.) разделить на 5 равных  частей и взять одну такую часть, что в данном отрезке 5 пятых долей, что одна пятая доля записывается так: 1/5, что в этой записи число 5 обозначает, на сколько равных частей разделен отрезок, а число 1, - что взята одна такая часть. Для закрепления этих знаний и умений учащимся предлагают различные упражнения.

  Это прежде всего упражнения  в назывании и записи долей  (рис.5) Назовите и запишите, какая  доля квадрата (круга) отрезана (закрашена).

 

 

 

 

 

Рис.5

 

    Можно предлагать самим детям изобразить  к.л. долю отрезка и записать эту долю.

    В каждом случае  надо спрашивать, сколько всего долей в целом. Например, сколько третьих долей отрезка во всем отрезке и т.п.

   Эффективным упражнением  для формирования представлений  о долях является сравнение  долей одной и той же  величины, которое выполняется чисто практически, с помощью наглядных пособий.

   Например, предлагается сравнить  доли 1/3 и 1/2  и поставить знак “>”,  ”<”.

   Учащиеся изображают доли, например, с помощью отрезков (рис.6). Сравнивают их и убеждаются, что 1/3 меньше, чем 1/2.

                                    1/3

 

                                      1/2

 

Рис.6

 

      Решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле также способствует формированию представлений о долях величины. В этом их основное  назначение. Поэтому, решение задач на нахождение доли числа и числа по его доле выполняется на наглядной основе.

    Во 2 классе  рассматривается только простые  задачи, а в третьем классе  они включаются в составные.

 

Ознакомление с дробями.

     Образование дробей, как и образование долей рассматривается с помощью наглядных пособий.

   Разделите круг  на 4 равные части. Как назвать  каждую такую часть? Запишите. Покажите три четвертые доли. Вы получили дробь- три четвертых.  Кто сможет записать эту дробь?  Что показывает число 4 (на сколько равных частей разделили круг)? Что показывает число 3 (сколько таких частей взяли)? Аналогичным образом учащиеся получают и записывают другие дроби, объясняя, что показывает каждое число.

    Для закрепления  полученных знаний выполняются  такие же упражнения как и при ознакомлении с долями: по данным иллюстрациям называют и записывают, какие дроби изображены, или же изображают дробь с помощью чертежа, рисунка. Уяснению конкретного смысла дроби помогают упражнения на сравнение дробей, а также решение задач на нахождение дроби числа.

   Для сравнения  дробей обычно используются иллюстрации  с равными прямоугольниками (рис.7).  Учащимся предлагают начертить  в тетради прямоугольник, длина  которого 16 см, а ширина 1 см. Это один  прямоугольник. Запишем (в первом прямоугольнике записывают число 1). Начертите под первым прямоугольником такой же второй и разделите его на  2 равные части (выполняют). Какие доли получили (вторые, половины). Сколько вторых долей в целом прямоугольнике? Подпишите. Ниже начертите такой же прямоугольник и разделите его на 4 равные части. Как называется каждая часть? Сколько четвертых долей в целом прямоугольнике? Сколько четвертых долей в половине? Что больше: одна вторая или две четвертые? Начертите четвертый такой же прямоугольник и разделите его на 8 равных частей.                     

 

            

1
1/2				1/2
1/4		1/4		1/4		1/4
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

Рис.7

 

  Как называются полученные  доли? Сколько восьмых долей в  целом? Сколько восьмых долей  в четверти, в половине прямоугольника? Что больше: три восьмых или одна четвертая? Какой дроби равна одна вторая?

     Ответы на все перечисленные  вопросы дети дают, глядя на  рисунок.

     Предлагаются специальные  вопросы на сравнение дробей:

     1. Вставьте пропущенный  знак  ” >  “ ,  “  <   “  или  “   =  “

         3/8*3/4 ;   4/5*1 ;   4/8*1/2 ;

2. Подбираете  такое число, чтобы равенство (неравенство) было верным:

5/10=*/2 ;  3/8>*/4 ;   1/2<*/4

     Выполняя  такие и подобные упражнения, учащиеся прибегают к соответствующим  иллюстрациям с прямоугольниками, или заново изображают дроби  с помощью, например отрезков.

Конкретный смысл дроби очень  ярко раскрывается при решении задач  на нахождение дроби числа. Решение  этих задач, как и задач на нахождение доли числа, выполняется с помощью соответствующих наглядных пособий.

     Задачи  на нахождение дроби числа  должны предлагаться для устного  и письменного решения. Различные  упражнения с дробями следует  чаще включать для устных и  письменных работ на протяжении  всего учебного года.

 

 

 

Изучение обыкновенных дробей по нетрадиционной системе во втором классе.

       С  целью расширения математического  кругозора учащихся при изучении  темы «Доли» термины: дробь, числитель и знаменатель, рассматривается образование, чтение, запись и сравнение дробей с числителем больше единицы.

         Для формирования  представления о дроби, используются  решения текстовых задач. Первой  учащимся можно предложить задачу: «Два брата разделили между собой поровну 6 яблок. Сколько яблок досталось каждому брату?»

        Ученики самостоятельно записывают решение задачи: (6:2=3) и дают ответ на ее вопрос, объясняя выбор арифметического действия. Далее предлагается следующая задача: «Два брата разделили между собой одно яблоко поровну. Сколько яблок досталось каждому брату?»

    Учитель берет одно  яблоко и просит разделить его между братьями поровну. Как поступить в данном случае? Ученики предлагают разрезать яблоко на две равные части. Учитель разрезает яблоко, показывает одну из равных частей и спрашивает: «Как можно назвать эту часть яблока (половина)?». Почему (яблоко разрезали пополам)? Кто догадался, как можно по-другому назвать половину (одна вторая)? Докажите.  (яблоко разделили на две равные части и взяли одну из частей).

     Учитель показывает  вторую часть яблока и предлагает  учащимся назвать ее.

      Вспомните вопрос задачи и ответьте на него (каждому брату досталась половина или одна вторая яблока). Одна вторая – это дробное число. Оно записывается так –1/2. Запишите решение задачи.

       На доске оформляется  запись :     1:2=1/2.

     Далее поясняется, что в записи дроби  1/2  число, которое стоит под чертой, показывает, насколько равных частей делят предмет. Это число называется знаменателем дроби. Число, которое стоит над чертой, показывает, сколько таких частей взято. Это число называется числителем дроби.

     Затем, для решения  предлагается задача:

     « Три брата разделили между собой три яблока поровну. Сколько досталось яблок каждому брату?»     Учащиеся самостоятельно записывают решение этой задачи, формулируют ответ на ее вопрос, выясняют значение числителя и знаменателя дроби одна третья.

     Что бы научить  детей сравнивать дроби (доли) на основе наглядности, можно  использовать учебное задание  с элементами самоконтроля.

     На доске расположены  шесть карточек, на которых изображены  одинаковые квадраты, разделенные на равные части различным образом. Квадраты расположены в следующем порядке:

 

         К                 В                А              К              Л               Ю

      Учитель задает  вопросы:  Какие фигуры изображены? Что общего у всех этих квадратов? Просит учащихся разбить эти квадраты на группы и объяснить, по какому признаку они это сделали.

        На доске  получилась иллюстрация:

  

 

     Учитель предлагает:

     Рассмотрите первую  пару квадратов и скажите, какая часть каждого квадрата заштрихована?  Покажите 1/2 часть первого квадрата. Обозначьте дробью. Что обозначает знаменатель этой дроби? Что означает числитель этой дроби? Покажите   1/2 другого квадрата. Обозначьте дробью. Сравните заштрихованные части этих квадратов. Запишите числовое равенство.

     Учитель показывает  как правильно оформить  запись  1/2=1/2

      Аналогичная работа проводиться с остальными парами квадратов.

      Затем квадраты  расставляются в такой последовательности:  

 

   

       К                   А                    В                    К                 Ю                 Л

             Ученикам предлагается поменять  местами карточки, на которых  изображены равные дроби. Если  задание будет выполнено правильно,  они прочитают слово  К Л Ю К В А – ответ к загадке:

Когда весною талые сойдут с болот снега

Она как бусы алые усеет  берега