Обыкновенные дифференциальные уравнения

Министерство образования  и науки Российской Федерации

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

“Сибирский государственный  индустриальный университет”

 

 

 

Кафедра высшей математики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа № 4

Тема: «Обыкновенные дифференциальные уравнения»

Вариант № 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Новокузнецк 2013

1. Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

 

Решение:

Это дифференциальное уравнение  первого порядка с разделяющимися переменными. Способ решения – разделяем  переменные и интегрируем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- это общее решение данного уравнения, где

 

2. Найдите общее решение дифференциального уравнения первого порядка:

 

Решение:

Представим уравнение  в виде:

 

 

Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Подстановка:

 

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

Или возвращаясь к подстановке

 

 

Это общее решение данного уравнения.

3. Найдите частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям:

;   ;  

Решение:

Дифференциальное уравнение  второго порядка, допускающее понижение  порядка. Уравнение в явном виде не содержит переменной x.

Замена:  

Получим

 

 

 

 

 

   или  

Находим С₁ используя оба начальных условия при x = 2

 

 

Теперь 

 

 

 

 

 

 

Найдем С₂ используя условие

 

Получили частное решение    для заданных начальных условий.

4. Найдите общее решение дифференциального уравнения второго порядка

 

Сформулируйте задачу Коши для этого уравнения, задав корректные начальные условия для искомой  функции.

Решение:

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго  порядка с постоянными коэффициентами. Его решение ищем в виде

 у = yо + уч, где:

yо – общее решение соответствующего однородного уравнения;

уч– частное решение данного уравнения.

Характеристическое уравнение 

Имеет корни 

Тогда

уч ищем по виду правой части уравнения, используя принцип наложения:

 

  не корень характеристического уравнения, поэтому r = 0; n = 0

y₁ ищем в виде

 

Подставляя в данное уравнение, получим

 

 

 

  не корень характеристического

уравнения, поэтому r = 0; n = 1

y₂ ищем в виде

 

Подставляя в данное уравнение, получим

 

 

 

 

 

 

- общее решение данного  уравнения.

Сформулируем задачу Коши:

 

Пусть

Тогда

 

 

Задача Коши: найти частное  решение дифференциального уравнения  
при заданных начальных условиях

 

 

5.  На плоскости с декартовой системой координат некоторая линия задана следующими свойствами. Угловой коэффициент касательной к линии в любой её точке в два раза меньше углового коэффициента радиус-вектора точки касания; линия проходит через точку (4; 3). Найдите уравнение линии.

Решение:

Пусть M(x;y) – произвольная точка искомой кривой. По условию задачи:

 

Где k – угловой коэффициент касательной, k₁ - угловой коэффициент радиус-вектора точки касания. По геометрическому смыслу производной

 

 

Получили дифференциальное уравнение:

 

 

 

y

y

M(x;y)

α

β

0

x

x

Решаем его

 

 

 

 

 

 – общее  решение данного уравнения.

Для нахождения искомой кривой воспользуемся тем, что она проходит через точку (4;3)

 

Искомая линия имеет уравнение 

 

 

 

Список использованных источников:

 

1. М. В. Федорюк «Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений» — Санкт-Петербург, Либроком, 2009 г.- 354 с.
2. Л. А. Бекларян «Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. Групповой подход» — Москва, Факториал Пресс, 2007 г.- 288 с.
3. В. К. Романко «Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления» — Москва, Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г.- 344 с.
4. А. Ю. Оболенский «Лекции по качественной теории дифференциальных уравнений» — Москва, НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2006 г.- 320 с.
5. Егоров А.И. «Теорема Коши и особые решения дифференциальных уравнений» — Санкт-Петербург, 2008 г.- 256 с.
6. Р. Беллман «Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений» — Санкт-Петербург, Едиториал УРСС, 2003 г.- 216 с.
7. Э. А. Коддингтон, Н. Левинсон «Теория обыкновенных дифференциальных уравнений» — Санкт-Петербург, ЛКИ, 2010 г.- 472 с.