Неравенства

Неравенства : sin x > a, sin x   a, sin x < a, sin x   a

Sin x > a   arcsin a + 2  n < x <  – arcsin a + 2  n, n  Z

 = arcsin a;   =   – arcsin a.

sin x<a   –  – arcsin a + 2  n<x< arcsin a + 2   n, n   Z

 = –   – arcsin a ;   = arcsin a.

В случае нестрогих неравенств знаки < и > в решениях заменяются соответственно на   и  .

Во всех приведенных здесь формулах n  Z.

Неравенства:

cos x> a; cos x   a; cos x < a; cos x   a.

В случае нестрогих неравенств знаки < и > в решениях заменяются соответственно на   и  .

Во всех приведенных здесь формулах n  Z.

Неравенства:

tg x > a; tg x   a; tg x < a; tg x   a.

Пример 1.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t, при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х.

Пример 2.

Выделяем  промежуток значений t, при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем  в виде двойного неравенства значения t,удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен2π. Возвращаемся к переменнойх, постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового  промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Пример 3.

Нас будет  интересовать промежуток значений t, при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2хи выразим х. Ответ запишем в виде числового промежутка.

На предыдущих двух занятиях по решению тригонометрических неравенств графическим способом мы рассмотрели решения неравенств вида:

Продолжаем  решать тригонометрические неравенства  графическим способом. Рассмотрим неравенства вида cost<a:

Составим  алгоритм решения.

1. Если  аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим  в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим  такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем  двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (tбудет между найденными абсциссами).

5. Делаем  обратную замену (возвращаемся к  первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью  графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функцииy=cosx также называют синусоидой!)

Первое неравенство.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле  косинуса двойного аргумента:

Координатную  плоскость готовим так же, как  готовили для построения графика  функцииy=sinx. (10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1), т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых  углов:

 а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx.

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства  решение данного неравенства:

Второе неравенство.

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит  ниже прямой.

Концы этого промежутка тоже являются решениями  неравенства, так как неравенство  нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства  для переменной t.

Подставим вместо tпервоначальное значение аргумента.

Выразим х.

Ответ запишем в виде промежутка.

Третье неравенство.

Смотрите  видео: «10.2.3. Решение тригонометрических неравенств. Часть 3.»

А теперь формула, которой вам следует воспользоваться на экзамене ЕНТ или ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost<a.

Если  cost<a, (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Примените эту формулу для решения  рассмотренных в этой статье неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!    

10.2.2. Решение тригонометрических неравенств. Часть 2

Дата:19 декабря 2012

Рубрика:10 класс. Алгебра.

Комментарии:Обсуждение закрыто

На прошлом  занятии «10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1» мы решили три неравенства вида sint<a. На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a, где -1≤а≤1.

Составим  алгоритм решения.

1. Если  аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной  координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное  неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем  обратную замену (возвращаемся к  первоначальному аргументу) и  выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем  первое неравенство:

Построение  графика синуса мы рассмотрели подробно в занятии  «10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1».

Учитывая периодичность  функции синуса, запишем двойное  неравенство для значений аргумента t, удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х.Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем  второе неравенство:

При решении  второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида:sint≥a. Далее  мы следовали алгоритму.

Решаем  третье неравенство:

Смотрите  видео: «10.2.2. Решение тригонометрических неравенств. Часть 2.»

Дорогие выпускники и абитуриенты! Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга)  применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута. Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Если sint>a, где  -1≤a≤1, то  arcsin a + 2πn < t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Учите формулы!  

 

10.2.1. Решение тригонометрических неравенств. Часть 1

Дата:16 декабря 2012

Рубрика:10 класс. Алгебра.

Комментарии:Обсуждение закрыто

На этом и последующих занятиях мы будем  решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических неравенства вида sint<a. Вот они:

Составим  алгоритм решения.

1. Если  аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим  в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим  такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем  двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем  обратную замену (возвращаемся к  первоначальному аргументу) и  выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью  графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как  будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки  мы взяли из таблицы значений синуса.   Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

.  Проводим прямую.

Теперь  нам предстоит определить такие  две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет  параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1клетку вниз.

Определяем  промежуток, внутри которого точки  синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично  решаем и третье неравенство.

§11 б.79-82

 

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции  синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместоt подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать хиз полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.