Непрерывность и дифференцируемость функции двух переменных

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Если функция z = f(x,y)  дифференцируема в точке M(x,y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной   и  .

При этом , , где A и B – числа из равенства (1). Поэтому условие дифференцируемости (1) можно записать в виде

,

а полный дифференциал функции  – в виде .         

Обратная теорема не верна, т.е. существование частных производных  не является достаточным условием дифференцируемости функции.         

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция z = f(x,y)  имеет непрерывные частные производные  и  в точке M(x,y), то она дифференцируема в точке M (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой ).         

Обратная теорема не верна, т.е. непрерывность частных производных  является только достаточным, но не необходимым  условием дифференцируемости функции.

 

 

 

 

 

 

 

       Геометрический  смысл дифференцируемости функции. 

Напомним, что для функции  одной переменной   из дифференцируемости функции в точке x₀ следует существование касательной к графику функции в точке M(x₀,f(x₀)).     

Рассмотрим непрерывную функцию двух переменных z = f(x,y) , (x,y) ÎG. График этой функции, т.е. множество точек S={(x,y, f(x,y)),(x,y)ÎG}, представляет собой поверхность в пространстве R³. Пусть плоскость P проходит через точку N₀(x₀,y₀,f(x₀,y₀))  поверхности S; N(x,y,f(x,y))  – произвольная (текущая) точка поверхности S; N₁  – основание перпендикуляра, проведенного из точки N к плоскости P (рис1)

Рис. 1.         

Определение. Плоскость P, проходящая через точку N₀ поверхности S, называется касательной плоскостью к поверхности S в этой точке, если при N®N₀(NÎS) величина N,N₁) является бесконечно малой более высокого порядка, чем N,N₀), т.е. .         

Теорема. Если функция z = f(x,y)  дифференцируема в точке M₀(x₀,y₀), то в точке N₀(x₀,y₀,f(x₀,y₀))   существует касательная плоскость к поверхности S (графику этой функции), причем уравнение касательной плоскости имеет вид

 .

Вектор   нормали к касательной плоскости, т.е. {}, называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Экстремум функции двух переменных

Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точке М₀(Х₀,У₀), т. е х=х₀, у=у₀, если f(x₀,y₀)> f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х₀,у₀) и отличных от нее.

Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум т.е х=х₀, у=у₀, если f(х₀,у₀), если f(x₀,y₀)< f(x,y) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (х₀,у₀) и отличных от нее.

Максимум и минимум функции  называются экстремумами функции.

Теорема ( необходимое условие экстремума функции двух переменных) Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при х=х₀, у=у_0, то каждая частная производная первого порядка от z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку М₀(Х₀,У₀), функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка М₀(Х₀,У₀) является критической точкой функции f(x,y), т.е. ()_M =0, ()_M =0, тогда при х=х₀, у=у₀:

1. f(x,y) имеет максимум, если дискриминант ²>0 и А<0, где А=()_M, B=)_M, C=()_M
2. f(x,y) имеет минимум, если дискриминант ²>0 и А>0,
3. f(х,y) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ²<0
4. если , то экстремум может быть, а может и не быть (требуются дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на экстремум функцию z=3x³+y²+4xy-x+2

Решение. На первом шаге, в соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Частные производные первого  порядка от функции z равны:

(3х³+у²+4ху-х+2)=9х²+4у-1

(3х³+у²+4ху-х+2)=2у+4х.

Приравняем их к нулю и  решим систему уравнений:

    

 

Выпишем отдельно первое уравнение  системы и найдем его корни:

 

D=b²-4ac=(-8)²-49(-1)=64+36=100,

x₁=

x₂=

подставим найденные значения переменной х во второе уравнение  системы:

 и 

Таким образом, получим две  точки М₁(1,-2) и М₂(), в которых будет проложено исследование функции z на экстремум.

На втором шаге найдем все  вторые частные производные от функции  z:

(=(9х²+4у-1)=18х

(=(9х²+4у-1)=4

(=(2у+4х)=2

На третьем шаге для  каждой из точек М₁(1,-2) и М₂() установим наличие экстремума функции z (для этого вычислим значение второй производной и найдем знак дискриминанта в указанных точках).

1. Для точки М₁(1,-2):

²=181=18  В==4  С==2

 ²=182-16=20>0.

Так как дискриминант больше 0 и А>0, то функция z имеет минимум в точке М₁(1,-2):

2. Для точки М₂()

А==18(=-2, В==4,  С==2

²=(-2)2-16=-20<0.

Так как дискриминант меньше нуля, то функция z не имеет в точке М₁(1,-2) ни минимума, ни максимума.

Ответ. В точке М₁(1,-2) функция z=3x³+y²+4xy-x+2 имеет минимум.

 

 

 

 

 

Заключение

Если функция z=y(x,y) дифференцируема в точке М(х₀,у₀), то она и непрерывна в этой точке.

По определению функция непрерывна, если малому приращению аргумента соответствует  малое приращение функции. Обратное утверждение не верно.

 Например, функция z=ǀyǀ непрерывна в т.О, но не дифференцируема в этой точке.

Таким образом, не всякая непрерывная функция дифференцируема, а любая дифференцируемая функция  непрерывна.

 

Литература