Некоторые олимпиадные идеи

Некоторые олимпиадные идеи.

 

Идея №1

Поиск родственных задач

Если задача трудна, то попытайтесь найти и решить более простую «родственную» задачу. Это часто даёт ключ к решению исходной. Помогают следующие соображения:

• рассмотреть частный (более простой) случай, а затем обобщить идею решения;
• разбить задачу на подзадачи (например, необходимость и достаточность);
• обобщить задачу (например, заменить конкретное число переменной);
• свести задачу к более простой (см. тему «Причёсывание задач»).

 

Пример 1. В угловой клетке таблицы 5 х 5 стоит плюс, а в остальных клетках стоят минусы. Разрешается в любой строке или любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли за несколько таких операций сделать все знаки плюсами?

Решение. Возьмём квадрат поменьше, 2 х 2 (один плюс и три минуса). Можно ли сделать все знаки плюсами? Нельзя.

Воспользуемся этим результатом: выделим в квадрате 5 х 5 квадратик 2 х 2, содержащий один плюс. Про него уже известно, что сделать все знаки плюсами нельзя. Значит, в квадрате 5 х 5 и подавно.

Пример 2. Постройте общую внешнюю касательную к двум окружностям.

Решение. Если одна из окружностей будет точкой, то задача станет легче.

Пусть A1 и r1 – центр и радиус меньшей окружности, A2 и r2 – центр и радиус большей окружности. Рассмотрим прямую, проходящую через A1 и параллельную общей касательной. Эта прямая удалена от A2 на расстояние r2 – r1. Построим окружность с центром A2 и радиусом r2 – r1. Из точки A1 проведём касательную к новой окружности. Пусть C – точка касания. На прямой A2C лежит искомая точка касания.

 

Задачи

 

1. Легко ли распилить кубик 3 х 3 х 3 на 27 кубиков шестью распилами. Можно ли уменьшить число распилов, если разрешается перекладывать части перед тем как их пилить?
2. Докажите, что в выпуклом n-угольнике сумма внутренних углов равна 180о(n – 2).
3. Докажите, что n(n + 1)(n + 2) делится на 6 при любом целом n.
4. Решите уравнение (x2 + x – 3)2 + 2x2 + 2x – 5 = 0.
5. (Для тех, кто знаком с понятием инверсии). Постройте окружность, касательную к трём данным.

 

Идея №2

Доказательство от противного

 

Рассуждают примерно так: «Допустим, исходное утверждение неверно. Если из этого получим противоречие, то исходное утверждение верно».

 

Пример 1. Существует ли самое большое число?

Решение. Допустим, что существует. Тогда прибавим к этому числу единицу и получим число ещё большее. Противоречие. Значит, наше предположение неверно и такого числа не существует.

 

Пример 2. Пять мальчиков нашли девять грибов. Докажите, что хотя бы двое из них нашли грибов поровну.

Решение. Допустим, что мальчики нашли разное количество грибов. Расставим их по возрастанию числа найденных грибов. Первый собрал не меньше нуля, второй – не меньше одного, третий – не меньше двух, четвёртый – не меньше трёх, пятый – не меньше четырёх. Всего – не меньше десяти. Противоречие.

 

Пример 3. Докажите, что не существует треугольной пирамиды, у которой к каждому ребру примыкает тупой угол на одной из граней.

Решение. Допустим, что такая пирамида существует. Поскольку в треугольнике против тупого угла лежит самая длинная сторона, то для каждого ребра найдётся более длинное ребро. Это невозможно, так как количество рёбер у пирамиды конечно. Противоречие.

Замечание. Вместе с рассуждением от противного мы использовали «Правило крайнего».

 

Задачи

 

1. По кругу расставлены 100 чисел. Известно, что каждое число равно среднему арифметическому двух соседних. Докажите, что все числа равны.
2. На плоскости отмечено несколько точек. Известно, что любые четыре из них являются вершинами выпуклого многоугольника.
3. Докажите, что если (m – 1)! + 1 делится на m, то число m – простое.
4. Существует ли выпуклый многоугольник, у которого больше трёх острых углов?
5. Докажите, что не существует многогранника, у которого число граней нечётно и каждая грань имеет нечётное число вершин.

 

Идея №3

Чётность

 

Многие задачи легко решаются, если заметить, что некоторая величина имеет определённую чётность. Из этого следует, что ситуации, в которых эта величина имеет другую чётность, невозможны. Иногда эту величину (функцию) надо сконструировать, например, рассмотреть чётность суммы или произведения, разбить объекты на пары, заметить чередование состояний, раскрасить объекты в 2 цвета. Чётность в играх – это возможность сохранить чётность некоторой величины при своём ходе (см. темы «Инварианты», «Делимость», «Игры»).

 

Пример 1. Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1м). Докажите, что он сделал чётное число прыжков.

Решение. Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков чётно.

 

Пример 2. Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое своё звено ровно 1 раз?

Решение. Допустим, что существует. Тогда пересекающиеся звенья образуют пары. Следовательно, количество звеньев должно быть чётным. Противоречие.

 

Пример 3. У марсиан бывает произвольное число рук. Однажды все марсиане взялись за руки так, что свободных рук не осталось. Докажите, что число марсиан, у которых нечётное число рук, чётно.

Решение. Назовём марсиан с чётным числом рук чётными, а с нечётным – нечётными. Поскольку руки образуют пары, то общее число рук чётно. Общее число рук у чётных марсиан чётно, поэтому общее число рук у нечётных марсиан тоже чётно. Следовательно, число нечётных марсиан чётно.

 

Задачи

 

1. Можно ли разменять 25 рублей десятью купюрами достоинством 1, 3 и 5 рублей?
2. Девять шестерёнок зацеплены по кругу: первая со второй, вторая с третей и т.д., девятая с первой. Могут ли они вращаться? А если шестерёнок n?
3. 100 фишек поставлены в ряд. Разрешается менять местами любые две фишки, стоящие через одну. Можно ли таким способом переставить фишки в обратном порядке?
4. Даны 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1. Можно ли все числа сделать равными?
5. Все кости домино выложили в цепочку по правилам игры. На одном конце оказалась пятёрка. Что может оказаться на другом конце?
6. Может ли прямая, не проходящая через вершины 11-угольника, пересекать все его стороны?
7. На столе стоят 7 перевёрнутых стаканов. Разрешается одновременно переворачивать любые два стакана. Можно ли добиться того, чтобы все стаканы стояли правильно?
8. В языке дикарей хотийцев всего два звука: «ы» и «у». Два слова означают одно и тоже, если одно получается из другого при помощи некоторого числа следующих операций: пропуска идущих подряд звуков «ыу» или «ууыы» и добавления в любом месте звуков «уы». Означают ли одно и тоже слова «уыу» и «ыуы»?
9. На доске написаны числа 1, 2, … , 101. Разрешается стереть любые два числа и написать их разность. Повторив эту операцию 100 раз, мы получим одно число. Докажите, что это число не может быть нулём.
10. Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью и каждые 15 минут поворачивает на 900. Докажите, что она может вернуться в исходную точку через целое число часов.
11. В трёх вершинах квадрата сидели кузнечики. Они стали играть в чехарду: один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную относительно другого. Сможет ли хоть один кузнечик попасть в четвёртую вершину квадрата?

 

 

Идея №4

Обратный ход

 

Если в задаче некоторая операция, и эта операция обратима, то можно сделать «обратный ход» от конечного результата к исходным данным. (Например, надо вынести шкаф из комнаты. Пройдёт ли он через дверь? Пройдёт, потому что через дверь его внесли). Анализ с конца используется в играх при поиске выигрышных и проигрышных ситуаций.

 

Пример 1. На озере расцвела одна лилия. Каждый день число цветков удваивалось, и на 20-й день всё озеро покрылось цветами. На который день покрылась цветами половина озера?

Решение. Начнём с конца. Пусть сегодня половина озера покрылась цветами. Через сколько дней покроется всё озеро? Завтра! И это будет 20-й день.

Ответ: за 19 дней.

 

Пример 2. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И наконец Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к этому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале?

Решение. Мы знаем, что в конце у всех оказалось по 40 фантиков, а перед этим у Пети и Вани было вдвое меньше. Значит, у Пети и Вани было по 20, а у Толи – 80. А перед этим у Пети и Толи было вдвое меньше, т.е. у Пети было 10, у Толи – 40, а у Вани – 70. И наконец возьмём половину фантиков у Вани и Толи и вернём Пете.

Ответ: у Пети было 65 фантиков, у Вани – 20, а у Толи – 35.

 

Пример 3. В квадрате ABCD на стороне АВ внутри квадрата построили равнобедренный треугольник АВЕ с углами при основании АВ равными 150. Докажите, что треугольник CDE правильный.

Решение. Решим обратную задачу: докажем, что ели треугольник CDE1 правильный, то у треугольника ABE1 углы при основании АВ равны 150.

Поскольку /ADE1 = 300 и DE1 = AD, то /E1AD = /AE1D = 750. Значит, /E1AB = 150. Аналогично /E1BA = 150.

Итак, мы доказали, что вершина Е1 правильного треугольника CDE1 попадает как раз в ту точку Е, которая дана в условии задачи. Значит, треугольник CDE правильный.

 

Задачи

 

1. Однажды царь наградил крестьянина яблоком из своего сада. Пошёл крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе только одни ворота, и в каждых воротах стоит сторож. Подошёл крестьянин к первому сторожу и показал царский указ, а сторож ему в ответ: «Иди возьми, но при выходе отдашь мне половину тех яблок, что несёшь, и ещё одно». То же ему сказали второй и третий сторож. Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы после расплаты со сторожами у него осталось одно яблоко?
2. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на три бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительный и предложил поменять часть бубликов: «Я, - сказал он, - оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит также». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату?
3. Учитель раздавал школьникам открытки. Первому он дал одну открытку и одну десятую оставшихся. Второму он дал две открытки и одну десятую оставшихся и т.д. Девятому он дал девять открыток и одну десятую оставшихся. Оказалось, что все получили поровну и все открытки были розданы. Сколько всего было открыток?

 

 

Идея №5

Подсчёт двумя способами

При составлении уравнений выражают некоторую величину двумя способами (например, путь или время). Иногда некоторую величину оценивают двумя способами, тогда получают или неравенство, или величины разной чётности. Эта идея тесно связана с идеей инварианта. Она бывает источником противоречия (см. тему «Доказательство от противного»).

 

Пример 1. Можно ли расставить числа в квадратной таблице 5 х 5 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была положительной, а в каждом столбце отрицательной?

Решение. Допустим, что можно. Найдём сумму всех чисел. Если считать её по строкам, то сумма будет положительной, а если по столбцам – то отрицательной. Противоречие. Значит, так расставить числа нельзя.

 

Пример 2. В классе 27 человек. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка – с пятью мальчиками. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек?

Решение. Пусть m – число мальчиков, d – число девочек. Найдём общее количество «дружб» двумя способами. Поскольку каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, то это число равно 4m, с другой стороны, каждая девочка дружит с пятью мальчиками, значит это число равно 5d. Получаем уравнение 4m = 5d. Поскольку m + d = 27, то m = 15, d = 12.

Ответ: 15 мальчиков, 12 девочек.

 

Пример 3. Найдите сумму геометрической прогрессии  S = 1 + 3 + 9 +…+ 3n.

Решение. Заметим, что следующую сумму можно получить двумя способами: либо добавить 3n, либо умножить все слагаемые на 3, а потом прибавить 1. Получаем уравнение: S + 3n = 3*S + 1. Отсюда S = (3n – 1)/2.

 

Пример 4. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Решение. Пусть в треугольнике ABC проведены две медианы: АА1 и СС1, их точка пересечения О. Проведём отрезки ВО и ОВ1. Воспользуемся тем, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника. Действительно, у этих треугольников равны основания и общая высота. Отметим пары равновеликих треугольников: OAC1 и ОВС1, ОВА1 и ОСА1, ОАВ1 и ОСВ1. Кроме того треугольники ОАС1 и ОСА1 равновелики, поскольку площадь каждого из них составляет половину площади исходного треугольника АВС. Значит, равновеликими являются треугольники АОС1 и СОА1, поскольку их можно получить из треугольников ОАС1 и ОСА1 выбрасыванием общей части. Отсюда следует, что равны площади четырёхугольников АВОВ1 и СВОВ1. С другой стороны, медиана ВВ1 тоже делит АВС на две равновеликие части, поэтому точка О должна лежать на отрезке ВВ1.

 

Задачи

1. Можно ли соединить 5 городов дорогами так, чтобы каждый город был соединён с тремя другими?
2. В каждой клетке прямоугольной таблицы размером m x k клеток написано число. Сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце равна 1. Докажите, что m = k.
3. Существует ли выпуклый 1978-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?
4. Найдите сумму коэффициентов многочлена (x3 – x + 1)100.
5. Докажите, что не существует многогранника, у которого 
   а) все грани – шестиугольники; 
   б) в каждой вершине сходятся 6 граней.
6. Треугольник разрезали на выпуклые четырёхугольники. Докажите, что хотя бы у одного четырёхугольника есть угол не меньше 1200.
7. В городе отличников от каждой площади отходит ровно 5 улиц. Докажите, что число площадей чётно, а число улиц делится на 5 (улицы соединяют площади).
8. В квадрате со стороной единица поместили несколько отрезков, параллельных сторонам квадрата (квадрату принадлежит граница, а отрезкам принадлежат концы). Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма их длин равна 18. Докажите, что среди частей, на которые квадрат разбит объединением отрезков, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01. 
   Указание. Оцените двумя способами сумму периметров частей. Чем меньше площадь, тем относительно больший периметр на неё приходится.