Моделирование винескоро и пуассоновского процесса в delphi 7

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. Введение………………………………………………………….ст. 3
2. Процесс пуассона............………………………………………..ст. 4-7
3. Винеровский процесс.....………………………………………..ст. 8-12
4. Программирование на Delphi ……………………………….….ст. 13-20
5. Код и интерфейс программы «Пуассоновский процесс» …....ст. 20-24
6. Код и интерфейс программы «Винеровский процесс».............ст. 25-26
7. Заключение………………………………………………………ст. 27
8. Список используемой литературы……………………………..ст. 28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Моделирование случайных процессов на ЭВМ открывает  широкие возможности для изучения поведения и взаимодействия реальных биологический, технических, социальных или иных систем, без необходимости долгого их изужения и наблюдения за ними так сказать "в живую". Так же модели на ЭВМ позволяют легко менять любые свои параметры и наблюдать как это отразится на всей системе в целом или каком то отдельном ее компоненте. Большим плюсом также является возможность моделировать процесс на очень больших или наоборот очень малый промежутках времени, что без применения ЭВМ было бы не возможно.

Но для  того что бы моделировать сложные  системы необходимо сначала разобраться  с тем как смоделировать их главную составляющую конкретный случайный  процесс. В этой работе будет рассказано о моделировании винеровского и пуассоновского процесса на ЭВМ, о теоретической части работы и о практической реализации при помощи среды программирования Delphi 7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОЦЕСС ПУАССОНА

 

Процесс Пуассона — поток однородных событий, для которого число событий в интервале А не зависит от чисел событий в любых интервалах, не пересекающихся с А, и имеет экспоненциальное распределение с параметром Λ(А). В теории случайных процессов описывает количество наступивших случайных событий, происходящих с постоянной интенсивностью. Вероятностные свойства потока Пуассона полностью характеризуются функцией Λ(А), равной приращению в интервале А некоторой убывающей функции. Чаще всего поток Пуассона имеет мгновенное значение параметра λ(t) — функцию, в точках непрерывности которой вероятность события потока в интервале [t,t+dt] равна λ(t)dt. Если А — отрезок [a,b], то

 

      (1)

 

Поток Пуассона, для которого λ(t) равна постоянной λ, называется простейшим потоком с параметром λ.

Потоки  Пуассона определяются для многомерного и вообще любого абстрактного пространства, в котором можно ввести меру Λ(А). Стационарный поток Пуассона в многомерном пространстве характеризуется пространственной плотностью λ. При этом Λ(А) равна объему области А, умноженному на λ.

Для пуассоновского процесса (также как и для винеровского) существует много различных определений. Мы рассмотрим здесь лишь простые в рамках мартингальной терминологии. Пуассоновский процесс относится к классу точечных (считающих) процессов.

 

Определение 1. Точечным (считающим) процессом на некотором стохастическом базисе = называется неубывающий процесс с , кусочно-постоянными траекториями, допускающий только единичные скачки , и, следовательно, принимающий значения только из .

 

Очевидно, согласно этому определению, рассмотренный  в предыдущем параграфе процесс  с одним скачком является простейшим примером точечного процесса. Также  очевидно, что интегрируемые точечные процессы являются субмартингалами, и поэтому допускают разложение Дуба-Мейера.

 

Определение 2. Пуассоновским (с некоторой интенсивностью ) на стохастическом базисе = называется точечный процесс с нулевым начальным значением , допускающий разложение Дуба-Мейера

,     (2.1)

где -локально квадратично-интегрируемый мартингал на базисе с квадратичной характеристикой равной

      (2.2)

 

Из этого  определения вытекают следующие  свойства пуассоновского процесса:

1) ;

2) ;

3) ;

4) момент  остановки  - момент первого скачка процесса , имеет показательное распределение с функцией распределения , равной

5) случайные  величины  , «отделяющие» моменты -х скачков процесса (равные для всех ) имеют показательное распределение с ф. р. , совпадающей с ф. р. момента ;

6) является процессом с независимыми приращениями, и случайные величины независимы;

7) для каждого  момента времени  случайная величина имеет распределение Пуассона

.     (2.3)

Заметим, что свойства 1) – 3) вытекают непосредственно  из определения, а вот для доказательства свойств 4) - 7) необходимо привлечение  теоремы Деллашери (достаточно очевидное, что мы оставляем читателям в качестве упражнения).

Точечные  процессы , заданные на стохастическом базисе , представляют собой субмартингалы с кусочно-постоянными траекториями, допускающими только единичные скачки . В разложении Дуба-Мейера (где компенсатор и локально квадратично-интегрируемый мартингал имеют нулевые начальные значения) процесс является неубывающим, локально интегрируемым, предсказуемым и имеет скачки . Этот процесс и определяет распределение процесса . Так в частном случае - дифференцируемости компенсатора - представим в виде

=        (2.4)

с некоторым неотрицательным процессом  , , на стохастическом базисе . В этом случае величина играет роль условной вероятности скачка процесса за время . В инфинитезимальном представлении это имеет вид:

.    (2.5)

Заметим, что именно представление (5) позволяет  осуществлять достаточно легкую имитационную генерацию моделей процессов  по заданным непосредственно либо же в виде неких функциональных зависимостей реализаций (например, от того же процесса до момента : ).

Интересной  особенностью точечных процессов (вытекающей из того, что траектории их кусочно-постоянны, а моменты скачков не образуют точек накопления) оказывается возможность построения интегралов по ним (еще до рассмотрения общего интегрирования Ито) - непосредственно как траекторных интегралов Лебега-Стилтьеса. Это также позволяет предварить рассмотрение формулы Ито для настоящего частного случая. Приведем простой частный пример.

Пусть на стохастическом базисе - случайный процесс с

= ,       (2.6)

где пуассоновский  процесс  задан представлением (1). Тогда из тождества, справедливого для произвольного разбиения интервала точками при 

= = +

вытекает  равенство

= + ,     

где интеграл рассматривается как обычный  траекторный интеграл Лебега-Стилтьеса (т.е. здесь – сумма  ). Поскольку, очевидно, = для всех , а процесс равен сумме всех своих скачков до момента , то

= + .     (2.7)

Эту формулу  можно преобразовывать в зависимости  от дальнейших задач. Например,

= + = =    

= + ,    

где первое слагаемое в правой части –  компенсатор, а второе – мартингал  в разложении Дуба-Мейера процесса (а интеграл по мартингалу здесь – разность интегралов с интеграндами и , имеющая нулевое среднее). Заметим, что отсюда, следует способ вычислений математических ожиданий такого рода процессов:

= + =   

= ,      

что очевидно приводит к ответу.

 

 

 

 

ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС

 

 

Существуют  различные определения винеровского процесса. Некоторые из них включают в себя перечисления свойств, но эквивалентны друг другу, иные же определения отвечают процессам из весьма различных классов. Так, в качестве винеровского процесса в литературе могут встретиться и гауссовские непрерывные процессы с независимыми приращениями и дисперсией с - произвольной неубывающей непрерывной функцией, и даже компенсированный пуассоновский процесс . Здесь же мы предполагаем непрерывность траекторий, условную независимость приращений винеровского процесса при (т.е. существенным является мартингальное свойство на данном базисе ) и линейный рост треугольной скобки. Заметим, что так определенный винеровский процесс может оказаться невинеровским на более широком базисе. Подобные конструкции оказываются плодотворными и единственно возможными, например, при рассмотрении схемы Калмана.

Определение 3 . Винеровским процессом на стохастическом базисе называется согласованный гауссовский непрерывный мартингал с .

Процесс с такими свойствами еще иногда называют стандартным винеровским процессом. Эквивалентным является следующее определение винеровского процесса:

 

Определение 3*. Процесс , заданный на стохастическом базисе ,называется винеровским, если

а) - непрерывный процесс с ;

б) - квадратично интегрируемый мартингал (т.е. и );

в) .

 

Понятно, что каждое из определений может  служить в качестве набора свойств процесса при альтернативном определении. Заметим, что нетривиальным оказывается не только доказательство эквивалентности определений (или что, то же самое, выведение свойств), но и сам факт существования такого процесса. В каком-то смысле, исходной, обосновывающей существование этого процесса следует полагать следующую конструкцию (впрочем,  не приспособленную для семимартингальных исследований):

Теорема 1. Пусть - независимые гауссовские случайные величины на , такие, что Тогда для некоторой целочисленной последовательности функции

  (3.1)

сходятся равномерно по и их ( - п.н. непрерывный) предел является винеровским процессом на базисе с - потоком - алгебр ₌ , порожденных .

Доказательство  см. в [2, стр.11].

 

В прикладных задачах, возникающих в связи  с моделями на ЭВМ полезным является следующее приближение: пусть  - независимые одинаково распределенные случайные величины с и, следовательно, , . Рассмотрим при процессы с

     (3.2)

где [.] – целая часть числа. Заметим, что _.

 

Из центральной  предельной теоремы следует, что  при каждом фиксированном  распределения случайных величин слабо сходятся при к распределению гауссовской случайной величины с нулевым средним и дисперсией . Заметим, что в силу того, что скачки процесса сходятся по вероятности к нулю при

 (3.3)

и является мартингалом в минимальном представлении с квадратичной характеристикой

_. (3.4)

Имеет место  слабая сходимость распределений (см. [5]) процессов к процессу, удовлетворяющему свойствам определения 3 (т.е. винеровскому). Таким образом, при больших могут служить приближением винеровского процесса. Однако доказательство этого общего факта выходит за рамки настоящего пособия.

 

Перечислим  некоторые свойства винеровского процесса , вытекающие из его определения 3:

1. ;

2. , и при _;

3. ;

4. Если  и - два независимых винеровских процесса (т.е. выполняется равенство = для любых борелевских подмножеств и пространства непрерывных функций ), то при всех

 (3.5)

5. Закон повторного  логарифма (А.Я. Хинчин)

_; (3.6)

 

_. (3.7)

 

6. Локальный  закон повторного логарифма: 

_; (3.8)

 

_. (3.9)

 

7. Распределение  максимума: при

 (3.10)

 

8. Закон арксинуса:  при

 (3.11)

 

Свойство 1 следует из того, что  - мартингал с по теореме 1. Свойство 2 следует из мартингальности и того, что (и ) следует

_.    

_{Соответственно, получаем}

 _.  

Свойства 3 и 4 следуют из сходимостей при

 (3.12)

по разбиениям , диаметр которых стремится к 0 при .

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА DELPHI