Мир больших чисел

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Санкт – Петербургский  государственный университет сервиса  и экономики»

Старорусский  филиал

 

Институт Региональной экономики и управления

Направление 080100«Экономика »

 

Сообщение

по дисциплине: Математический анализ

на тему: «Мир больших чисел»

 

 

 

                                                               Выполнила:

                                                                              Студентка  1 курса

                                                                             Очного отделения

                                                                                        Специальность 080100

                                                                      Смурова И.Н.

                                                                    Проверила: Дектеренко А.И.

                                  

 

 

г. Старая Русса, 2013г.

Мир больших чисел

Интересные факты о больших числах

 «Какое число является  самым большим?" – это один  из первых вопросов, которые задают  дети относительно чисел. Этот  вопрос является важным шагом  в процессе понимания мира  абстрактных понятий. Ответ на  этот вопрос, как правило, ограничивается  утверждением, что большие числа  считаются бесконечными. Однако  в определённый момент выясняется, что числа могут быть такими  большими, что их практическое  применение в реальной жизни  и невозможно, и бессмысленно, и  единственное, что оправдывает их  существование — это факт их  формального существования.

 

«Короткая» и  «длинная» шкала

История современной системы  наименования больших чисел ведёт  начало с середины XV века, когда в Италии стали пользоваться словами «миллион» (дословно — большая тысяча) для тысячи в квадрате, «бимиллион» для миллиона в квадрате и «тримиллион» для миллиона в кубе. Об этой системе мы знаем благодаря французскому математику Николя Шюке (Nicolas Chuquet, ок. 1450 – ок. 1500): в своём трактате «Наука о числах» (Triparty en la science des nombres, 1484) он развил эту идею, предложив дальше воспользоваться латинскими количественными числительными (см. таблицу), добавляя их к окончанию «-иллион». Так, «бимиллион» у Шюке превратился в биллион, «тримиллионом» в триллион, а миллион в четвёртой степени стал «квадриллионом».

В системе Шюке число 10⁹, находившееся между миллионом и биллионом, не имело собственного названия и называлось просто «тысяча миллионов», аналогично 10¹⁵ называлось «тысяча биллионов», 10²¹ — «тысяча триллионов» и т.д. Это было не очень удобно, и в 1549 году французский писатель и учёный Жак Пелетье (Jacques Peletier du Mans, 1517–1582) предложил поименовать такие «промежуточные» числа при помощи тех же латинских префиксов, но окончания «-иллиард». Так, 10⁹стало называться «миллиардом», 10¹⁵ — «биллиардом», 10²¹ — «триллиардом» и т.д.

Система Шюке-Пелетье постепенно стала популярна и ей стали пользоваться по всей Европе. Однако в XVII веке возникла неожиданная проблема. Оказалось, что некоторые учёные почему-то стали путаться и называть число 10⁹ не «миллиардом» или «тысячей миллионов», а «биллионом». Вскоре эта ошибка быстро распространилась, и возникла парадоксальная ситуация — «биллион» стал одновременно синонимом «миллиарда» (10⁹) и «миллиона миллионов» (10¹⁸).

Эта путаница продолжалась достаточно долго и привела к  тому, что в США создали свою систему наименования больших чисел. По американской системе названия чисел  строятся так же, как в системе  Шюке, — латинский префикс и окончание «иллион». Однако величины этих чисел отличаются. Если в системе Шюке названия с окончанием «иллион» получали числа, которые являлись степенями миллиона, то в американской системе окончание «-иллион» получили степени тысячи. То есть тысяча миллионов (1000³ = 10⁹) стала называться «биллионом», 1000⁴ (10¹²) — «триллионом», 1000⁵ (10¹⁵) — «квадриллионом» и т.д.

Старая же система наименования больших чисел продолжала использоваться в консервативнойВеликобритании и стала во всём мире называться «британской», несмотря на то, что она была придумана французами Шюке и Пелетье. Однако в 1970-х годах Великобритания официально перешла на «американскую систему», что привело к тому, что называть одну систему американской, а другую британской стало как-то странно. В результате, сейчас американскую систему обычно называют «короткой шкалой», а британскую систему или систему Шюке-Пелетье — «длинной шкалой».

Чтобы не запутаться, подведём промежуточный итог:

Название числа Значение по «короткой  шкале» Значение по «длинной шкале» Миллион 106 106 Миллиард 109 109 Биллион 1012 Биллиард — 1015 Триллион 1012 1018 Триллиард — 1021 Квадриллион 1015 1024 Квадриллиард — 1027 Квинтиллион 1018 1030 Квинтиллиард — 1033 Секстиллион 1021 1036 Секстиллиард — 1039 Септиллион 1024 1042 Септиллиард — 1045 Октиллион 1027 1048 Октиллиард — 1051 Нониллион 1030 1054 Нониллиард — 1057 Дециллион 1033 1060 Дециллиард — 1063

Короткая шкала  наименования используется сейчас в США, Великобритании, Канаде, Ирландии, Австралии, Бразилии и Пуэрто-Рико. В России, Дании, Турции и Болгарии также используется короткая шкала, за исключением того, что число 10⁹ называется не «биллион», а «миллиард». Длинная же шкала в настоящее время продолжает использоваться в большинстве остальных стран.

Вернемся к поиску самого большого числа. Если же мы обратимся к латинской грамматике, то обнаружим, что несоставных названий для чисел больше десяти у римлян было всего три: viginti — «двадцать», centum — «сто» и mille — «тысяча». Для чисел больше, чем «тысяча», собственных названий у римлян не имелось. Например, миллион (1 000 000) римляне называли «decies centena milia», то есть «десять раз по сотне тысяч». По правилу Шюке, эти три оставшихся латинских числительных дают нам такие названия для чисел как «вигинтиллион», «центиллион» и «миллеиллион».

Название числа Значение по «короткой шкале» Значение по «длинной шкале» Вигинтиллион 1063 10120 Вигинтиллиард — 10123 Центиллион 10303 10600 Центиллиард — 10603 Миллеиллион 103003 106000 Миллеиллиард — 106003

Итак, мы выяснили, что по «короткой шкале» максимальное число, которое имеет собственное  название и не является составным  из меньших чисел — это «миллеиллион» (10³⁰⁰³). Если бы в России была бы принята «длинная шкала» наименования чисел, то самым большим числом с собственным названием оказался бы «миллеиллиард» (10⁶⁰⁰³).

Однако существуют названия и для ещё больших чисел.

Числа вне системы

До XVII века на Руси применялась  собственная система наименования чисел. Десятки тысяч назывались «тьмами», сотни тысяч — «легионами», миллионы — «леодрами», десятки миллионов — «воронами», а сотни миллионов — «колодами». Этот счёт до сотен миллионов назывался «малым счётом», а в некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счёт», в котором употреблялись те же названия для больших чисел, но уже с другим смыслом. Так, «тьма» означала уже не десять тысяч, а тысячу тысяч (10⁶), «легион» — тьму тем (10¹²); «леодр» — легион легионов (10²⁴), «ворон» — леодр леодров (10⁴⁸). «Колодой» же в великом славянском счёте почему-то называли не «ворон воронов» (10⁹⁶), а лишь десять «воронов», то есть 10⁴⁹ (см. таблицу).

Название числа Значение в  «малом счёте» Значение в  «великом счёте» Обозначение Тьма 104 106 Легион 105 1012 Леодр 106 1024 Ворон (вран) 107 1048 Колода 108 1049

Число 10¹⁰⁰ также имеет собственное название и придумал его девятилетний мальчик. А дело было так. В 1938 году американский математик Эдвард Кэснер (Edward Kasner, 1878–1955) гулял по парку с двумя своими племянниками и обсуждал с ними большие числа. В ходе разговора зашла речь о числе со ста нулями, у которого не было собственного названия. Один из племянников, девятилетний Милтон Сиротта (Milton Sirott), предложил назвать это число «гуголом» (googol). В 1940 году Эдвард Кэснер совместно с Джеймсом Ньюманом написал научно-популярную книгу «Математика и воображение», где и рассказал любителям математики о числе гугол. Еще более широкую известность гугол получил в конце 1990-х, благодаря названной в честь него поисковой машине Google.

Название для ещё большего числа, чем гугол, возникло в 1950 году благодаря отцу информатики Клоду Шеннону (Claude Elwood Shannon, 1916–2001). В своей статье «Программирование компьютера для игры в шахматы» он попытался оценить количество возможных вариантов шахматной игры. Согласно ему, каждая игра длится в среднем 40 ходов и на каждом ходе игрок делает выбор в среднем из 30 вариантов, что соответствует 900⁴⁰ (примерно равное 10¹¹⁸) вариантам игры. Эта работа стала широко известной, и данное число стало называться «числом Шеннона».

Девятилетний Милтон Сиротта вошёл в историю математики не только тем, что придумал число гугол, но и тем, что одновременно с ним предложил ещё одно число — «гуголплекс», которое равно 10 в степени «гугол», то есть единице с гуголом нулей.

 

Бесконечность

Все люди знают это число, и постоянно используют для преувеличения  – например, как число «зиллион» (zillion – англ. несуществующее числительное, используемое в англоязычной среде для описания невообразимо крупных размеров, аналог в русском языке – сто тысяч миллиардов). Однако бесконечность не такое простое понятие, как кажется на первый взгляд. Это самое странное и противоречивое из всех чисел.

Согласно правилам бесконечности, существует бесконечное  число, как четных, так и нечетных чисел. Тем не менее, нечетных чисел  будет ровно половина от общего количества чисел. Бесконечность плюс единица  равняется бесконечность, если отнять единицу получаем бесконечность, сложив две бесконечности получим бесконечность, а бесконечность поделённая на два равняется бесконечности, а если вычесть бесконечность из бесконечности, то результат не вполне ясен, а вот бесконечность поделённая на бесконечность, скорее всего, равняется единице.

Как называются большие  числа?

Общий список чисел используемых в России (и в квадратных скобках - соответствующих приставок СИ) представлен ниже:

• 10¹ - десять [дека-, деци-]
• 10² - сто [гекто-, санти-]
• 10³ - тысяча [кило-, милли-]
• 10⁶ - миллион [мега-, микро-]
• 10⁹ - миллиард (биллион) [гига-, нано-]
• 10¹² - триллион [тера-, пико-]
• 10¹⁵ - квадриллион [пета-, фемто-]
• 10¹⁸ - квинтиллион [экса-, атто-]
• 10²¹ - секстиллион [зетта-, цепто-]
• 10²⁴ - септиллион [йотта-, йокто-]
• 10²⁷ - октиллион [неа-, сито-]
• 10³⁰ - нониллион [деа-, тредо-]
• 10³³ - дециллион [уна-, рево-]

Произношение чисел, идущих далее, часто различается.

• 10³⁶ - андециллион
• 10³⁹ - дуодециллион
• 10⁴² - тредециллион
• 10⁴⁵ - кваттордециллион
• 10⁴⁸ - квиндециллион
• 10⁵¹ - сексдециллион
• 10⁵⁴ - септемдециллион
• 10⁵⁷ - октодециллион
• 10⁶⁰ - новемдециллион
• 10⁶³ - вигинтиллион
• 10⁶⁶ - анвигинтиллион
• 10⁶⁹ - дуовигинтиллион
• 10⁷² - тревигинтиллион
• 10⁷⁵ - кватторвигинтиллион
• 10⁷⁸ - квинвигинтиллион
• 10⁸¹ - сексвигинтиллион
• 10⁸⁴ - септемвигинтиллион
• 10⁸⁷ - октовигинтиллион
• 10⁹⁰ - новемвигинтиллион
• 10⁹³ - тригинтиллион
• 10⁹⁶ - антригинтиллион
• 10¹⁰⁰ - гугол (кстати, название одного популярного поискового сервера)
• 10¹²³ - квадрагинтиллион
• 10¹⁵³ - квинквагинтиллион
• 10¹⁸³ - сексагинтиллион
• 10²¹³ - септуагинтиллион
• 10²⁴³ - октогинтиллион
• 10²⁷³ - нонагинтиллион
• 10³⁰³ - центиллион