Матрицы

ВВЕДЕНИЕ

Методы линейной алгебры во все большей степени  проникают в инженерную и вычислительную практику. Не является исключением  и экономическая наука и практика, в которых активно используются методы оптимизации, реализованные в современных комплексах программ экономического анализа, прогноза и оптимизации.

В данной теме мы рассмотрим:

- что такое матрица;

- некоторые действия над матрицами;

- умножение матриц;

- возведение матриц в квадрат;

- возведение матриц в куб и более высокую степень;

- умножение трёх  матриц;

- как найти определитель матрицы;

- как найти обратную матрицу;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица

Матрицей называют таблицу элементов, состоящую из m строк и n столбцов.

Матрица – это прямоугольная  таблица каких-либо элементов.  Элементы матрицы – это числа.

                                                                                                     

 

                           

 

 

 

Сами матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например,

А, В, С, ... , X, Y, Z ; элементы матрицы А обозначают a_ij, где первый индекс

i - номер строки, а j - номер  столбца, в котором стоит выбранный  элемент.

Если матрица содержит m строк и n столбцов, то говорят, что  матрица имеет размерность m x n. Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов.

Довольно часто имеют  дело с матрицами, у которых число  строк совпадает с числом столбцов. Такие матрицы называются квадратными. 

Если матрица содержит всего один столбец или одну строку, то такую матрицу называют векторами.

              Что нельзя делать с матрицами: числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе; переставлять числа внутри матрицы, менять местами в произвольном порядке.

 

 

 

 

Некоторые действия  над матрицами

Если в данной матрице  много отрицательных чисел  (это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей), то можно вынести минус за пределы матрицы. При этом надо сменить у каждого элемента матрицы знак на противоположный. Также можно внести минус матрицу, сменив у каждого элемента матрицы знак.

Число 0 не имеет знака  «+» или «-».

Чтобы умножить матрицу на число нужно каждый элемент матрицы  умножить на данное число.

Произведением матрицы А на число λ называется матрица С, каждый элемент которого с_ij = λа_ij, пример

Для матриц  и действительного числа  справедливо следующее свойство: 
. Вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце.

Вносить дробь в матрицу  не желательно, так как это затрудняет дальнейшие действия с матрицами, а  так же затрудняет проверку решения  преподавателем (особенно если это  является окончательным ответом  задания). Если все элементы матрицы можно умножить на дробь, чтобы получилось целое число, то тогда нужно выполнять это действие.

 

 

Умножение матриц

Произведением матриц А dim А=m*р и матрицы В dim В= р*n называется матрица С dim С= m* n, каждый элемент которой с_ij равен «произведению i-той строки матрицы А на каждый j-ый столбец матрицы В.»

                                                                                                                         

Из определения следует, что умножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Если число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй, то умножение выполнить невозможно.

 

Пример:

Умножить матрицу   на матрицу  

 

Пример:

Умножить матрицу   на матрицу

Формула:

- нулевая матрица.

!

Таким образом, матричное выражение некоммутативно (Коммутативность = Перестановочность).

Если умножить матрицу  на матрицу , то получится другое решение.

 

Пример: ( умножение матриц третьего порядка)

Умножить матрицу   на матрицу

 

 

Пример:

Умножить матрицы 

Решение: произведение существует, причём итоговая матрица состоит из 1-ой строки и 2-х столбцов: 

Ответ:

 

Пример:  
 
Ответ:

 

Пример:

Вычислить произведение 

Решение:  

(1) Согласно свойству   перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем  матричное умножение.

(4) Здесь можно  поделить каждое число 10, но  тогда среди элементов матрицы  появятся десятичные дроби, что  не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся  на 5, поэтому умножаем каждый  элемент на  .

Окончательный ответ  лучше оставить в виде , хотя, в принципе, годится и внесение дроби: .

Ответ:

 

 

 

Возведение матриц в квадрат

Операция определена только для квадратных матриц –  «два на два», «три на три» и т.д.

Возвести квадратную матрицу   в квадрат – это значит, умножить её саму на себя: 

Пример:

Возвести в  квадрат матрицу 

Решение:

Ответ:

 

 

 

 

 

Возведение матриц в куб и более высокую степень

Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу   в куб, нужно вычислить произведение: 

Фактически это  частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . Матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы:

Таким образом, получаем рабочую формулу:

То есть задание  выполняется в два шага: сначала  матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу   умножить на матрицу .

Пример:

Возвести матрицу   в куб.

Решение: сначала возведём матрицу в квадрат: 
 
Возведём матрицу в куб: 
 
Возведём матрицу в четвёртую степень двумя способами: 
 
 
Ответ:

 

Возведение матрицы  в четвёртую степень проводится закономерным образом: 

Используя ассоциативность  матричного умножения, выведем две  рабочие формулы.  Во-первых:  – это произведение трёх матриц.

1) . Иными словами, сначала находим , затем  умножаем его на В –  получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень.

2) Но существует  решение на шаг короче: . То есть, на первом шаге находим квадрат  и, минуя куб, выполняем умножение

Аналогично матрица  возводится в пятую и более  высокие степени.

 

 

 

Умножение трёх матриц

- алгебраическая структура относительно  её элементов. Если матричное  умножение осуществимо, то в  итоге тоже получится матрица. 

Произведение  трёх матриц  можно вычислить двумя способами:

1) найти  , а затем умножить на матрицу С: ;

2) либо сначала  найти  , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут. В теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения: 

Перемножить матрицы  двумя способами  

1) Используем  формулу 

Действие первое: 

Действие второе: 

2) Используем  формулу 

Действие первое: 

Действие второе: 

Ответ:

Первый способ решения  наиболее привычный и стандартный.

Свойство ассоциативности  умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц, в том случае если умножение  выполнить возможно.

Пример 7: Решение:  
1) Используем формулу  
 
2) Используем формулу  
 
Ответ:

 

 

 

Определитель  матрицы.

Определитель  можно вычислить только для квадратной матрицы. На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Если дана матрица  , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой  или греческой .

Вычислить определитель – это значит найти число.

Чтобы найти определитель второго порядка в матрице  «два на два», нужно воспользоваться  формулой .

Пример.

Определитель  матрицы третьего порядка «три на три» можно найти восьмью способами.

Первый способ – с  помощью формулы:

,

Если соединить  линиями, то получится две диагонали  и четыре треугольника.

Пример:

Второй способ – методом Саррюса или способом «параллельных полосок»:

Суть состоит  в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец  и аккуратно карандашом проводят линии:

 
Множители, находящиеся на «красных»  диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». 
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

С третьего по шестой способ. У определителя «три на три» три столбца и три строки. 
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу. 
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

В следующем примере  будем раскрывать определитель по первой строке. 
Для этого понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Итак, определитель «три на три» сводится к решению  трёх маленьких определителей, или  как их еще называют, миноров.

 

Элементы обычно рассматривают слева направо (или  сверху вниз, если был бы выбран столбец).

1) Из матрицы  знаков выписываем соответствующий  знак: 

2) Затем записываем  сам элемент: 

3) Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент: 

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется минором данного элемента (единицы).

4) Из матрицы  знаков выписываем соответствующий  знак:

5) Затем записываем  второй элемент: 

6) Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент: 
 
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 

8) Записываем  третий элемент: 

9) Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент: 
 
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Находим определитель по четвертому столбцу:

= 18.

 

 

 

Обратные матрицы

Найдём обратную матрицу  с помощью алгебраических дополнений.

Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу  можно найти по следующей формуле:

, где   – определитель матрицы ,  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обратная матрица обозначается надстрочным индексом .

Пример.

Найти обратную матрицу для матрицы 

1) Сначала находим определитель матрицы.

В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров  имеет такие же размеры, как и  матрица  , то есть в данном случае .  
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся  к матрице  , мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: 
 
Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в матрицу миноров:

 – матрица миноров соответствующих  элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров  нужно поменять знаки у двух чисел: 

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

Для того чтобы  транспонировать матрицу, нужно  ее строки записать в столбцы транспонированной  матрицы.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов  матрицы  .

5) Ответ.

Таким образом, обратная матрица: 

Чтобы проверить  решение необходимо выполнить матричное  умножение   либо

Если у квадратной матрицы   существует обратная матрица , то их умножение коммутативно: . Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно.

Проверка:  

Получена так  называемая единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах).

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Обратную матрицу  найдем по формуле: , где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

 
Здесь определитель раскрыт по первой строке.

– обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров  имеет размерность «три на три» ,

 
 – матрица миноров соответствующих  элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .