Матемтика теория вероятности

Соединениями называются группы предметов или событий (элементов), которые отличаются между собой самими элементами, порядком элементов или и тем и другим. Соединения бывают трех видов: размещения, перестановки и сочетания.

1. Размещения. Размещения – это такие соединения, из которых каждое содержит m элементов, взятых из данных n элементов, и которые отличаются одно от другого или самими элементами, или порядком элементов. Число всевозможных размещений из n по m можно вычислить по формуле:

 

2. Перестановки. Перестановки из m элементов – это такие соединения, каждое из которых содержит все m элементов и отличаются одно от другого по- рядком этих элементов. Число перестановок из m элементов вычисляется по формуле:

3.Сочетания. Сочетаниями из n элементов по m элементов m называются такие соединения, каждое из которых содержит m элементов, взятых из данных n элементов и отличающихся одно от другого хотя бы одним элементов (порядок элементов в сочетании роли не играет). Число сочетаний из n элементов по m элементов вычисляется по формуле:

Теория вероятности - это математическая дисциплина которая изучает закономарености появления однородных массовых случайных событий.

Испытания - это опыт, эксперимент, наблюдение. Например подбрасывание игральной кости, монеты, выстрел из винтовки и т д

Событие - это результат, исход испытания например выпадение герба или решки.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет.

Случайным называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. 

 

Виды случаемых событий:

1.Совместные испытания, такие испытания которые произойдут при одном исходе испытания

2.События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Полная группа несовместных событий - это несколько несовместных событий образующих полную группу если в результате испытания должно произойти 1 и только 1 из них.

 

Классическое определение вероятности

Всякий возможный исход испытания называется элементом исходом.

Исходы испытания при которых интересующие событие наступает называется – благоприятствующий исход.

Вероятностью события   называют отношение числа m исходов благоприятствующих этому событию к общему числу n равновозможных исходов, образующих полную группу.

где   — число элементарных исходов, благоприятствуюoих  ;   — число всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятностью события   называют отношение числа m исходов благоприятствующих этому событию к общему числу n равновозможных исходов, образующих полную группу.

 

Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

P(A)=m/n=1(m=n)

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

P(A)=0/n=0(m=0)

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний.

Таким образом, относительная частота события   определяется формулой

где   — число появлений события,   — общее число испытаний.

 

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

.      

На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события  , чем вероятность прямого события  . В этих случаях вычисляют   и находят  .

 

- формулой Бернулли

 

Случайная величина - величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное числовое значение, причем заранее неизвестно, какое именно.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные изолированные друг от друга значения.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового интервала. (конечного или бесконечного)

 

Законом распределения случайной величины  - называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения прерывной случайной величины Х может быть задан в следующих формах: 
• табличной; 
• аналитической; 
• графической.

Простейшей формой задания закона распределения прерывной случайной величины Х является таблица.

xi	x1	x2	…	xn
pi	p1	p2	…	pn

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины Х.

 Математическое  ожиданием –дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: 
M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Свойства математического ожидания

1.Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: 
2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: 
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: 
4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

 

Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания.

D(X)=x21p1+x22p2+…+x2n pn ; Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равно нулю: 
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: 
3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: 
4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: