Математиканы оқытудың семиотикалық негіздері

ҚАЗАҚ МЕМЛЕКЕТТІК ҚЫЗДАР ПЕДАГОГИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ

МЕМЛЕКЕТТІК БІЛІМ МЕКЕМЕСІ

ФИЗИКА-МАТЕМАТИКА ФАКУЛЬТЕТІ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курстық жұмыс

 

Тақырыбы: Математиканы оқытудың семиотикалық негіздері

 

 

 

 

 

 

 

Жазған: Дауренбекова Ж.

3-курс, математика

Тексергендер: Елубаев С.,

 

 

 

 

 

Алматы, 2013

 

Жоспары:

1. КІРІСПЕ БӨЛІМ
2. НЕГІЗГІ БӨЛІМ

1. Семиотика сөзінің этимологиясы және жалпы түсінік
2. Математикалық таңбалардың шығу кезеңдері
3. Символикалық логика

3. ҚОРЫТЫНДЫ БӨЛІМ
4. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

 

Семиотика (гр. semeion -белгі, таңба) – таңбалық белгілер жүйесі туралы ғылым, адамзат қоғамына қызмет ететін салалардағы, табиғаттағы немесе адамның өз қызмет-қабілетіндегі (заттарды көру, есту арқылы қабылдау, логикалық пайымдау) ақпараттың сақталуы мен қабылдануына қатысты әр түрлі таңбалық жүйелердің құрылымы мен қызметінің жалпы мәселелерін зерттейтін ғылыми пән. "Таңбалар жайындағы ғылым" ретінде семиотиканың алғашқы негізгі ұстанымдары табиғи тілді байқауға байланысты Ч. С. Прис пен Ф. де Соссюрдің еңбектерінде айтылған.

Алғашқы математикалық таңбалар - сандар.

Ежелгі грек матемтиктері жұмыстарында: Евклидтің «Бастау» кесінділері мен басқа геометриялық объектілер әріптермен белгіленетін болды. Әріптік өрнектердің тарихы III ғасырдан басталады. Ол кезде Диафант белгісіз шамалар мен дәрежелерді әріптермен белгілеуін ұсынды.

VII ғасырда үнді математиктері әріптік өрнектерді пайдаланды.

XIV-XVII ғасыларды әріптік өрнектердің қарқынды дамуы байқалады.

XV ғасырда француздық Н. Шюке мен итальяндық Л. Пачолли қосу амалын деп, ал азайту амалын деп белгіледі; неміс математиктері қазіргі кездегі қолданып жүрген «+» мен «-» таңбаларын енгізді.

XVI ғасырда математиктер аралас жазбаларды пайдаланды. Ол жазбаларда сөздер мен таңбалар қатар пайдаланатын болды.

XVII ғасырдың басында «=»белгісі мен «[ ]» белгісін итальяндық математик Р. Бомбелли ұсынды.

Математикалық таңбалардың  шығу кезеңдері:

 

Таңба	Мағынасы	Кім енгізді	Қай жылы енгізілді
Нысан таңбалары
¥	шексіздік	Дж. Валлис	1655
p	шеңбер ұзындығы мен диаметр  ұзындығының қатынасы	Л. Эйлер	1706
x,y,z	айнымалы шамалар	Р. Декарт	1637
	вектор	О. Коши	1853
Амалдар таңбалары
+	қосу	Неміс математиктер	XV ғасырдың соңында
-	азайту	Неміс математиктер	XV ғасырдың соңында
x	көбейту	У. Оутред	1631
·	көбейту	Г. Лейбниц	1698
:	бөлу	Г. Лейбниц	1684
a2,a5,am	дәреже	Р. Декарт	1637
	түбірлер	Х. Рудольф А. Жирар	1525 1629
log	логарифм	И. Кеплер	1624
sin	синус	Б. Ковальери	1632
cos	косинус	Л. Эйлер	1748
tg	тангенс	Л. Эйлер	1753
arcsin	арксинус	Ж. Лагранж	1772
dx	дифференциал	Г. Лейбниц	1675
∫ydx	интеграл	Г. Лейбниц	1675
	туынды	Г. Лейбниц	1675
	анықталған интеграл	Ж. Фурье	1819-1822
S	қосынды	Л. Эйлер	1755
!	факториал	Х. Крамп	1808
j(x) f(x)	функция	И. Бернулли Л. Эйлер	1718 1734
Қатынас амалдар
=	тең	Р. Рекорд	1557
>	артық	Т. Гарриот	1631
<	кем	Т. Гарриот	1631
º	салыстару	К. Гаусс	1801
||	параллель	У. Оутред	1677
^	перпендикуляр	П. Эригон	1634

 

Семиотика термині алғашқы кезде формалды логика-математика саласы үшін қолданылған, ал оның заттық-мазмұндық жағы Еуропа дәстүрі бойынша семасиология деп аталған, кейін бұл екі термин синоним ретінде қолданылатын болды. Семиотиканың көлемді объектілерінің ішінде неғұрлым ортақ сипат тіл мен көркем әдебиеттің арасында айқын байкалады. Сол себепті тіл мен әдебиет семиотикасы гуманитарлық семиотиканың өзегі болып табылады. Семиотиканың тағы бір саласы формалды логика-математика деп аталады.

Тіл мен әдебиет семиотиканың негізін қалағандар 1920—30 жылдары Прага лингвистикалық мектебі мен Копенгаген лингвистикалық үйірмесінің өкілдері (Н. С. Трубецкой, Р. О. Якобсон, Л. Ельмслев, т.б.). 

Семиотика зандылықтары семиотикалық жүйелердің негізгі құрылымдық элементтерінің (фонэма, мофема, сөз, сөйлем, дауыс ырғағы) бір-біріне қарама-қарсы келуі арқылы анықталады. Ғылыми еңбектерде семиотиканың үш денгейде жіктелетіні көрсетілген:

1. Таңбалар арасындағы, сөз тізбегіндегі қарым-қатынасты білдіретін синтактика;
2. Таңба мен сол арқылы белгіленген заттың арасындағы қарым-қатынасты білдіретін семантика;
3. Таңба мен оны пайдаланушылардың арасындағы қарым-қатынасты білдіретін прагматика.

Синтактика (Syntactic) - таңбаның құрылу дұрыстығы жайындағы таңбалық жүйе.

Семантика (көне грекше: σημαντικός - танбалаушы, білдіруші) — тіл және тіл бірліктері (сөз, грамматикалық тұлға, сөз тіркесі, сөйлем) арқылы білдірілетін хабарды, заттар мен құбылыстардың мән-мазмұның зерттейтін тіл білімінің саласы.

Прагматика (грек. pragma - ілік септіктеp, pragmatosіс - әрекет) — семантика мен тіл біліміндегі тілдік танбалардын кызметін зерттейтін саласы.

Квантор (лат. quantum - қанша) –математикалық логиканың предикаттарын есептеуге қабылданған логикалық операторлардың жалпы атауы. Логикалық операторлар сөйлемнің ішкі логикалық құрамын, яғни субъекті мен предикаттың ара қатынасын және логикалық пікірдің сандық сипатын білдіреді. Кванторлардың екі түрі бар:жалпылық кванторы (“барлық”, “әрбір”, т.б. көздердің эквиваленті және оның белгісі х) және бар болу кванторы (“кейбір”, т.б. сөздердің эквиваленті және оның белгісі х). Мысалы, х жалпылық кванторы “барлық х үшін” дегенді, ал хбар болу кванторы “кейбір х үшін” дегенді білдіреді. “Квантор” терминін американдық математик, философ Ч.Пирс (1839 – 1914) енгізген.

Символикалық логика, математикалық логика — логикалық қорытындыларды қатаң символикалық тілдің негізіндегі логикалық есептеулер арқылы зерттейтін логиканың тармағы. Термин ретінде алғаш 1880 жылы Дж.Венн қолданған. Аристотельдің өзі өзгергіштерді әріптермен белгілеген. Бүкіл математика үшін әмбебап тіл жасау, сөйтіп, матем. дәлелдерді, тіпті кез келген пайымдауларды формалдау идеясын 17 ғасырда Лейбниц ұсынды. Бірақ 19 ғасырдың ортасында аристотельдік силлогистика сол кездегі ғылым дамуының сұраныстарына жауап бере алмайтыны белгілі болды. Бір жағынан, абстрактілі алгебраның жетістіктері алгебр. әдістерді ғылымның басқа салаларына көшіруге мүмкіндік берді. Бұны А. де Морган (1806 — 71), Е.Шредер сияқты математиктер өз зерттеулерінде қолданды. Екіншіден, Г.Фреге (1848 — 1925) және Ч.С. Пирс (1839 — 1914) 1879 және 1885 жылы логика алгебрасы тіліне предикаттарды, өзгергіштерді және кванторларды енгізді. Лейбництің идеясын іске асыруға тырысқан Фреге бірінші болып предикаттарды есептеуді кіргізді. Сонымен қатар, Фреге предикаттарды есептеу үшін қазіргі күні де қолданылып отырған “дәлелдеу” ұғымының анықтамасын берді. Қазіргі символикалық логиканың негізін италиялық математик Дж.Пеано (1858 — 1932) жасады. Оның 1894 — 1908 жылы шыққан әйгілі “Formulaіre de mathematіques” шығармасы математиканың бүтіндей дамуына бағытталған. Пеаноның логик. жазуын А.Н. Уайтхед пен Б.Рассел “Prіncіpіa Mathematіca” (1910 — 1913) деп аталатын 3 томдық кітабында, содан кейін Д.Гильберт қолданды. Сонымен теріске шығару, & — конъюнкция, V — дизъюнкция, импликация, жалпылық кванторы, өмір сүру кванторы сияқты логикалық белгілері бар бүкіл әлемде пайдаланылатын символикалық тіл қолданысқа енді. Мұндай жасанды тілдің пайда болуы 19 ғасыр ғылымының қажеттілігінен туындады. 20 ғасырдың басында символикалық логика дамуының негізгі ынталандырушысы математиканың негіздемелері мәселесі болды. К.Вайерштрасс, Р.Дедекинд және Г.Кантор бүкіл классикалық математиканың фундаменті ретінде бүтін сандар арифметикасын қарастыруға болатынын көрсетті. Дедекинд және Пеано арифметиканы аксиомаландырды, ал Фреге натурал санға барлық тең қуатты жиынтықтардың жиынтығы деп анықтама берді. Сөйтіп барлық математика жиынтықтар теориясына сайды. Бірақ 1902 жылы математика әлемін Рассел тапқан Фрегенің “Арифметика негіздері” (qrundqesetze der Arіthmetіk) кітабының 1-томындағы парадокстың қарапайымдығы мен тереңдігі таң қалдырды. Жиынтықтар теориясының осы және басқа да қисынсыздықтарына жауап ретінде математика негіздерінде 4 бағыт пайда болды: логицизм (бүкіл математиканы ешқандай арнайы ұғымдарды, мысалы, сан немесе жиынтық ұғымдарын пайдаланбай-ақ таза логикадан дедукциялауға болады), интуиционизм (жаңа логика қажет), жиынтықтың — теориялық платонизм (жиынтықтарды құрастыруға шек қою) және формализм (Гильберттің бағдарламасы). Қазіргі символикалық логика қызметінің аумақты өрісін рекурсия теориясы құрайды. Ал мұнда шығарылу мәселесі бірінші қатарда тұрғаны белгілі. Ондағы зерттеулер дәлелдеуді автоматик. іздеудің компьютерлік бағдарламаларын және алгоритдер теориясын жасауға әкелді. Сонымен қатар, қазіргі символикалық логикада модельдер теориясы маңызды орын алады. Ол жасанды тіл сөйлемдерінің синтаксистік қасиеттері мен олардың модельдерінің семантикалық қасиеттері арасындағы іргелі байланысты, модельдер мен теорияларды, модельдердің өзгеруін зерттейді. Қазіргі логиканың дамуы “символикалық логика” терминінің “математикалық логика” терминінен әлдеқайда кең екенін көрсетіп отыр. “Математикалық логика” ретінде математиктер қолданатын пайымдаулар типтерін зерттеу түсініледі. Символикалық логиканың ерекше қасиеті рефлексивті ғылым болуында. Ол өзінің тәсілдері мен логикалық құралдарын өзінің құрылымын түсіну және талдау үшін пайдаланады деген сөз. Ең алдымен, бұл Гедельдің (1930) таза логиканың, яғни предикаттар логикасының қайшылықсыздығы және толықтығы туралы қол жеткізген нәтижелері. Ол көптеген теориялардың негізінде жатыр. Бірақ бұл логиканың құралдары арқылы тек арифметиканы немесе оның бөлігін ғана кіргізетін кез келген теория толық болмайтыны, яғни онда не дәлелдеуге, не жоққа шығаруға болмайтын тұжырым бар екендігі дәлелденді. Бұндай теорияларды олардың қайшылықсыздығын дәлелдеу үшін толықтыруға болмайды. Бұл рефлексияның нәтижесінде математиканың өзінің статусы туралы сұрақ туады: ол терең жасырылған қайшылықтарға негізделе ала ма? Онымен қоймай, 20 ғасырдың cоңында таза логиканың рефлексиясы тығырыққа тіреліп, логиканың өз статусы туралы логика не деген сұрақты тудырды. Қазір классикплық емес логикалардың әр түрлі кластарының континуумдары белгілі болды. Барлық осы логикалардың иерархиясы туралы, өзара қатынастары және классификациясын жасау (оны жасау мүмкін емес) туралы мәселелер туындауда. Негізінде классик. логика жатқан қазіргі компьютерлер қандай құдіретті болса да, ешқашан компьютерді жасаған адамның логикасына жете алмайды. Бұл мәселелер 21 ғасыр мәселелері болып отыр. 1936 жылы символикалық логиканың Халықаралық Ассоциациясы құрылды. Сол жылдан бастап логика бойынша ең әйгілі “The Journal of Symbolіk Loqіs” журналында шыға бастады.

Ойлау элементінің негізі болатын ұғымның қалыптасуына әсерін тигізетін математика тілін меңгеру, дұрыс пайдалана алу математиканы мектепте оқытудың міндеттерінің бірі болып табылады.

Оқушылар мектеп табалдырығын аттағаннан бастап 1, 2, 3, ..., 9, 0 сияқты араб цифрларымен, олардың арасындағы қатысты көрсететін >, <, = - реттік, +, -, ·, : - операция және *, ( ), [ ], { }, …, ? сияқты қосымша таңбаларымен танысады. Бұл таңбалар мөлшерлік натурал сандар арасындағы түрлі тұжырымдарды жазуға мүмкіндік береді. Мысалы, 10>8 санды теңсіздігін қысқаша он артық сегізден, не толық түрде мөлшерлік натурал 10 саны мөлшерлік натурал 8 санынан артық деп оқимыз. Мектепте геометрия, алгебра және анализ бастамаларын оыту мұндай таныстықтың аясын кеңейте түседі. Түрлі математикалық таңбалар жиі ұшырасып, оқушылар олармен істес болады. Мысалы, y=ax+b теңдеуі түзу сызықты сипаттаса, формуласы ax²+bx+c=0 толық квадрат теңдеуінің шешімдерін табудың жалпы заңын сипаттайды. p таңбасы шеңбер ұзындығының өз диаметріне қатынасын білдіреді.

Физиканың, өндірісті автоматтандырудың, биологияның алуан түрлі мәселелері символдар тілінде сөйлейтін математкалық логиканың негізінде шешіледі. Олай болса математика тілін барлық маманды иелері игеруі қажет. Онсыз академик С. Л. Соболев айтқандай, «...математиканы білмейтіндер немесе шала білетіндер, заводта немесе траспортта жұмыс істей алмайтын болады». Мысалы, V=H(S₁+4S₂+S₃)/6 формуласымен жұмыс істей білуі, ауыл шаруашылығы маманына шөп, жем көлемдерін, қойма сыйымдылығын, таразыға тартпай-ақ тірілей малдың салмағын, тіпті мал жайылымдарының ауданын, түрлі ұзындықтарды табуға мүмкіндік туғызады. Демек, математиканың арнайы терминдерін, таңбаларын, өрнектерін, анықтамаларын, тұрақты сөз тіркестерін, формулаларын, графиктерін тани, қолдана әрі түсіне білу - әркімнің өмір қажеттігі.

Қазіргі ғылыми-техникалық революция тек ғылым мен техникаға емес, негізгі тұлғасы адам болып табылатын өндіргіш күштердің бүкіл тұтас жүйесіне түбірлі өзгерістер енгізуді көздейді. Экономистердің көптеген социологиялық зерттеулері еңбек өнімділігі мен еңбекшілер білімнің жалпы деңгейі арасында тығыз тәуелділік барлығын дәлелдейді. Осындай жағдайда оқушының математикалық мәдениетін қалыптастырудағы мұғалімнің еңбегі творчествалық көрініс тауып, методикалық жүйемен астарласып жатуы тиіс.

Білімнің материалдық формасы - тіл. Тіл арқылы ұғымдармен операция жасаймыз. Ойлау нәтижесі сөз арқылы бекітіледі.

Математикалық ойды білдіретін барлық негізгі құралдары математикалық  тіл деп түсінетін боламыз. Математикалық  тілдің құрамдас бөліктері болып: сөз, символ, формула, график, фразеология, логикалық предикаттар т.т табылады. Математикада негізінен алгебра мен геометрия тілі қолданылады.

Математикалық символика  деп математикалық ұғымдарды, сөйлемдерді  шартты түрде жазуды айтамыз. Ол математиканың  түрлі, маңызды әрі күрделі заңдары  мен қатыстарын қысқа, дәл және оңай байқалатындай етіп жазуға мүмкіндік береді. Сондай-ақ, жаңа математикалық сөйлемдерді шығарып алуға жәрдемдеседі. Бірыңғай қорытынды жасалынады, бірақ олардың көріністері түрліше болуы ықтимал. Сондықтан ол универсал тіл делінеді де.

Математика ережелері  грамматика ережелеріндей тез өзгермейді де өз қызметіне жақсы икемделген болады. Оның ескертуі де аз. Математика тарихына терең зер салсақ, оның теориясы риторикалық баяндаудан символикаға көшкенде ғана күрт дамығанын байқауға болады.

Бірнеше мысал келтірейік.

1. «Алгебралық символика дамымағандықтан гректер есепті теңдеу құрып шығару әдісін болмашы түрде пайдаланды»,-дейді                               П. С. Александров.
2. 1675 жылы Лейбниц енгізген дифференциалдың dx пен интегралдың ∫ydx таңбасы дифференциалдық және интегралық есептеудің негізі болып табылды.
3. «19 ғасырда пайда болған көптеген теориялар, мәселен тензорлық есептеме, лайықты символикасыз дами алмады».

Математика таңбаларының математиканың өзін және басқа ғылымдарды дамытудағы ролі  ерен екендігіне төмендегі  мысалдар да көз жеткізеді.

1. Француз физигі Поль Дирак теңдеу тілінде электронның  қозғалу заңын зерттей отырып, 1928 жылы массасы электрон массасына тең, заряды оған қарама-қарсы бөлшектің бар екендігін болжап айтты. Теориялық жағынан бұл антибөлшектің табылуын көрнекті совет физигі, академик        И. Е. Тамм: «Ғылым тарихындағы ғылыми танып-білудің тамаша табыстарының бірі»,-деп бағалады. Осы антибөлшек - позитрон 1932 жылы тәжірибелік жолмен ашылды.
2. 1976 жылы американ математикатері К. Аппель мен В. Хакен математикалық есептеу машинасының көмегімен өткен ғасырдың ортасында қойылған атақты төрт бояу проблемасын шешті. Проблема мәнісі картадағы әрбір көршілес екі ел әр түрлі түспен боялғанада кез келген картаны жасауға қажет ең аз, түсті бояулардың санын табу керек дегенге тіреледі.

Сөйтіп математика адамға практикалық, сол сияқты теориялық  проблеманы зерттеу мен дүниені  танудың қуатты құралын береді,-дейді талантты педагог, ғалым, профессор Л. Д. Кудрявцев.

Математикалық таңба оқушы  мен оқытушы арасындағы, сондай-ақ жеке оқушыға информацияны тиімді түрде тасымаладаушы ролін атқарады. Бұл туралы кезінде Н. И. Лобачевский математика таңбалары сөз байлығы сияқты біреудің қолы жеткен ұғымын, ашқан ақиқатын одан гөрі кемел, дәлірек, әрі анық түрде ойды байытып жеткізеді деген ді.