Математика Древней Руси

Пример: запишем число 365 на абаке и удвоим его.

 Абак состоял из  вертикальных колонок, в которых  камешками и другими мелкими  предметами можно было в нечетных  колонках выразить единицы разрядов: от 1 до 4, а в четных – одним  счетным предметом сразу пять  разрядов.

В первой колонке нет косточек, во второй – положена одна косточка, что обозначает число 5. В третьей колонке лежит одна косточка, она обозначает один десяток; в четвертой также одна косточка, но она выражает сразу пять десятков, поскольку четвертая колонка – четная. Значит, этими двумя косточками в третьей и четвертой колонках обозначается число 60. В пятой колонке указаны три косточки, каждая из которых выражает 100, т.е. вместе 300. Т.о. на модели шестью косточками обозначено число 365.

Пусть требуется узнать, сколько будет стоить в гривнах 365 коров по цене в 2 гривны и 365 баранов по 10 резан.

Отложим число а = 365 на абаке. И разделим колонки схемы поперечной чертой. Удвоенный результат 2а = 730 расположим в верхней части модели. Это стоимость коров в гривнах. Для определения стоимости баранов в гривнах необходимо кроме удвоения сместить разрядные значения влево на одну пару колонок. Тогда получится, что 365 баранов стоят 73 гривны.

На этом примере видно, что вычисление стоимости коров по цене 2 гривны, отнесенное к 1-й группе сложности, и вычисление стоимости баранов по 10 рязан, отнесенное ко второй группе сложности, на модели абака выполняются аналогично: посредством операции удвоения. Разница состоит в различном прочтении результата. В первом случае результат читается в соответствии со способом записи числа а. Во втором случае разрядные значения смещаются на одну пару колонок: сотни читаются как десятки, а десятки как единицы.

Модель абака

 

Меры Древней Руси

С древности, мерой длины и веса всегда был человек: на сколько он протянет руку, сколько сможет поднять на плечи и т.д.

В Древней Руси была принята русская система мер (она использовалась до 1899 г.). 

Меры длины: 

1 миля (старорусская) = 7 вёрст = 7,4676 км. 
1 верста = 500 саженей = 1066,8 м. 
1 сажень = 3 аршина = 7 футов = 12 пядей = 48 вершков = 84 дюйма = 100 соток = 2,1336 м. 
1 аршин = 4 четверти = 28 дюймов = 16 вершков = 71,12 см. 
1 фут = 12 дюймам = 304,8 мм. 
1 четверть (пядь) = 1/12 сажени = 1/4 аршина = 4 вершка = 7 дюймов = 177,8 мм. 
1 вершок = 1,75 дюйма = 44,45 мм. 
1 дюйм = 10 линиям = 25,4 мм. 
1 сотка = 1/100 сажени = 84 точкам = 21,336 мм. 
1 линия = 10 точкам = 2,54 мм. 
1 точка = 1/100 дюйма = 1/10 линии = 0,254 мм.

 

Меры площади:

1 кв. верста = 250 000 кв. саженям = 1,1381 км². 
1 десятина = 2400 кв. саженям = 10 925,4 м² = 1,0925 га. 
1 четь = 1/2 десятины = 1200 кв. саженям = 5462,7 м² = 0,54627 га. 
1 осьминник = 1/8 десятины = 300 кв. саженям = 1365,675 м² ≈ 0,137 га. 
1 кв. сажень = 9 кв. аршинам = 49 кв. футам = 4,55225 м². 
1 кв. аршин = 256 кв. вершкам = 0,505805 м². 
1 кв. вершок = 19,758 см². 
1 кв. фут = 144 кв. дюймам = 0,092903 м². 
1 кв. дюйм = 100 кв. линиям = 0,00064516 м².

 

Меры объема:

1 куб. сажень = 27 куб. аршинам = 343 куб. футам = 9,7127 м³ 
1 куб. аршин = 4096 куб. вершкам = 21 952 куб. дюймам = 359,7288 дм³ 
1 куб. вершок = 5,3594 куб. дюймам = 87,8244 см³ 
1 куб. фут = 1728 куб. дюймам = 28,3168 дм³ 
1 куб. дюйм = 1000 куб. линий = 16,3871 см³ 
1 куб. линия = 1/1000 куб. дюйма = 16,3871 мм³

 

Меры сыпучих тел:

1 цебр = 26—30 четвертям. 
1 кадка (кадь, оков) = 2 половникам = 4 четвертям = 8 осьминам = 839,69 л (= 14 пудам ржи = 229,32 кг). 
1 куль: ржи — 9 пудов + 10 фунтов = 151,52 кг; овса — 6 пудов + 5 фунтов = 100,33 кг 
1 полокова, половник = 419,84 л (= 7 пудам ржи = 114,66 кг). 
1 четверть, четь (для сыпучих тел) = 2 осьминам (получетвертям) = 4 полуосьминам = 8 четверикам = 64 гарнцам. 
(= 209,912 л (дм³) 1902 г.). (= 209,66 л 1835 г.). 
1 осьмина = 4 четверикам = 104,95 л (=1¾ пуда ржи = 28,665 кг). 
1 полосьмины = 52,48 л. 
1 четверик = 1 мере[3] = 1⁄8 четверти = 8 гарнцам = 26,2387 л. 
(= 26,239 дм³ (л) (1902 г.)). (= 64 фунтам воды = 26,208 л (1835 г)). 
1 получетверик = 13,12 л. 
1 четвёрка = 6,56 л. 
1 гарнец, малый четверик = ¼ ведра = 1⁄8 четверика = 12 стаканам = 3,2798 л. 
(= 3,28 дм³ (л) (1902 г.)). (=3,276 л (1835 г.)). 
1 полугарнец (пол-малый четверик) = 1 штоф = 6 стаканам = 1,64 л. 
(Пол-пол-малый четверик = 0,82 л, Пол-пол-пол-малый четверик = 0,41 л). 
1 стакан = 0,273 л.

 

Меры жидких тел:

1 бочка = 40 вёдрам = 491,976 л (491,96 л). 
1 корчага = 2 ведра (около 25 л.). 
1 ведро = 4 четвертям ведра = 10 штофам = 1/40 бочки = 12,29941 л (на 1902 г.). 
1 четверть (ведра) = 1 гарнец = 2,5 штофа = 4 бутылкам для вина = 5 водочным бутылкам = 3,0748 л. 
1 гарнец = 1/4 ведра = 12 стаканам. 
1 штоф (кружка) = 3 фунтам чистой воды = 1/10 ведра = 2 водочным бутылкам = 10 чаркам = 20 шкаликам = 1,2299 л (1,2285 л). 
1 винная бутылка = 1/16 ведра = 1/4 гарнца = 3 стаканам = 0,68; 0,77 л; 0,7687 л. 
1 водочная (пивная) бутылка = 1/20 ведра = 5 чаркам = 0,615; 0,60 л. 
1 бутылка = 3/40 ведра (Указ от 16 сентября 1744 года). 
1 косушка = 1/40 ведра = 1/4 кружки = 1/4 штофа = 1/2 полуштофа = 1/2 водочной бутылки = 5 шкаликам = 0,307475 л. 
1 стакан = 0,273 л. 
1 четушка = 1/50 ведра = 245,98 мл. 
1 чарка = 1/100 ведра = 2 шкаликам = 122,99 мл. 
1 шкалик = 1/200 ведра = 61,5 мл.

 

Меры веса:

1 ласт = 6 четвертям = 72 пудам = 1179,36 кг. 
1 четверть вощаная = 12 пудам = 196,56 кг. 
1 берковец = 10 пудам = 400 гривнам (большим гривенкам, фунтам) = 800 гривенкам = 163,8 кг. 
1 контарь = 40,95 кг. 
1 пуд = 40 большим гривенкам или 40 фунтам = 80 малым гривенкам = 16 безменам = 1280 лотам = 16,380496 кг. 
1 полпуда = 8,19 кг. 
1 батман = 10 фунтам = 4,095 кг. 
1 безмен = 5 малым гривенкам = 1/16 пуда = 1,022 кг. 
1 полубезмен = 0,511 кг. 
1 большая гривенка, гривна, (позднее — фунт) = 1/40 пуда = 2 малым гривенкам = 4 полугривенкам = 32 лотам = 96 золотникам = 9216 долям = 409,5 г (11—15 вв.). 
1 фунт = 0,4095124 кг (с 1899 года). 
1 гривенка малая = 2 полугривенкам = 48 золотникам = 1200 почкам = 4800 пирогам = 204,8 г. 
1 полугривенка = 102,4 г.

 

 

Кирк Новгородец

Кирик Новгородец (1110 – не ранее 1156/1158) – средневековый новгородский мыслитель, диакон и доместник Антипова монастыря в Новгороде, автор «Учения о числах» (1136), математик, церковный писатель, летописец,музыкант.

Произведение Кирка начинается без авторского вступления. Материал разбит на небольшие разделы размером от 4 до 18 строк; они занумерованы, номера (в древнерусской нумерации) вынесены на поля листов.

В первых пяти параграфах идет речь о том, сколько прошло времени в различных единицах от «сотворения мира». До момента написания трактата, а именно: 1) в годах, 2) в месяцах, 3) в неделях, 4) в днях, 5) в часах. Каждый параграф содержит цифровой материал, связанный с числом 6644, как количество лет, которое прошло за указанный период. Это число точно датирует написание первых пяти пунктов 1136 годом. Пятый параграф завершается сентенцией, смысл которой таков: «ведь понемногу создается город и делается большим, так и знание понемногу растет».

В следующих пунктах говориться о теоретических основах календарных вычислений: об индикте, о солнечном и лунном «кругах», о тысячелетиях, о так называемых обновлениях неба, земли, моря, воды, о високосных годах, о «великом круге». В каждом параграфе материал так или иначе связан с датой 6644г.

В идущих далее пунктах говориться о числе месяцев, недель и дней в году с учетов високосных дней. Здесь материал не связан с 6644 г.

Затем говорится о количестве часов в году и дне. Следующие параграфы посвящены так называемым дробным делениям числа. Эти параграфы так же не связаны с датой 6644г.

К последнему параграфу примыкает, не имея самостоятельного номер, заключительный текст, в котором автор трактата указывает свое имя, год написания сочинения, ряд хронологических сведений и биографических данных о себе.

Таким образом, в этом «Учении» выделяются следующие разделы:

1. О единицах счета времени (§ 1 – 5)
2. О теоретических основах календаря (§ 6 – 18)
3. О дробных делениях числа (§ 19 – 27)

Заключительный текст (Заключение).

Сочинение Кирка – особого характера по форме, назначению и предмету изложения. Более всего соответствует жанру современной научно-популярной литературы.

Заключение

Итог изложения данных об облике древнерусской арифметической культуры X – первой половины XIII вв. в рамках данного доклада сводится к следующему.

Знания способов записи чисел в архаичной (кириллической) системе нумерации использовали многие слои общества: ремесленники, зодчие, переписчики книг, духовенство, чиновники, «профессиональные» вычислители и другие. Обучение цифровой символике велось параллельно с обучением письму, основными учебными пособиями служили особые «цифровые алфавиты», подобные буквенным.

Формирование древнерусской происходило как смешение византийской нумерации с кириллическим письмом с сохранением близости к греческому оригиналу. Цифровой византийский «язык» на русской почве изменился, но не настолько, чтобы не была понятна греческая математическая «речь». Это было важно для обеспечения поступления и усвоения математической информации из Византии.

На цифровом фундаменте основывались знания о производстве вычислительных операций с использованием наглядно-инструментального приспособления типа абака. Эти сведения были достоянием более узкого круга лиц – хронологов, чиновников административно-хозяйственного аппарата: волостей, тиунов и др.

Можно представить себе в следующем виде древнерусского вычислителя за работой. Его инструментами были: маленький мешочек с вишневыми и сливовыми косточками, дощечка для писания по воску («цера») и «писало» - металлическая или костяная палочка, имевшая с одной стороны заострение, а с другой – лопаточку. 

На дальнейшее развитие математической культуры Древней Руси повлияло татаро-монгольское иго, которое отбросило славян на несколько столетий назад в развитии математической науки в частности.

Почти триста лет длилось монгольское иго. За это время наука Западной Европы сделала большой шаг вперёд: народы Европы ознакомились с замечательной математикой арабов и индийцев. А в задавленной захватчиками и отрезанной от всего культурного мира России математика стала отставать от науки Западной Европы.

Для того чтобы потом, после свержения монгольского ига, снова выйти в ряды мировой науки, ей понадобилось несколько столетий. В XVI веке, при Иоанне Грозном, на Руси появляются первые рукописные учебники по математике, а немного позже — печатные книги о применении математики для разных практических нужд; таковы, например, «Книга сошного письма» и «Устав ратных, пушечных и иных дел, касающихся до воинской науки».

В 1682 году в Москве вышла книга: «Считание удобное, которым всякий человек, купующий и продающий, зело удобно изыскати может число всякия вещи». Это была первая в России не рукописная, а напечатанная в типографии книга по математике, которая должна была помогать решению разных практических задач. Была в ней таблица умножения (до 100×100), записанная славянскими цифрами.

Особенно важную роль в развитии русской науки сыграла книга «Арифметика, или наука числительная», написанная Леонтием Филипповичем Магницким - hotcooltop.com. «Арифметика» Магницкого была издана при Петре I, в 1703 году, и долгое время была настольной книгой всех образованных русских людей. Великий русский учёный Михаил Васильевич Ломоносов знал её наизусть и называл её вместе с учебником грамматики «вратами своей учёности».

Книга Магницкого называлась «Арифметика», но, кроме арифметики, там были начала алгебры, геометрии, тригонометрии и даже немного мореходной астрономии. Это была настоящая энциклопедия по математике, в которой каждое правило, каждый приём подробно разъяснялся и подкреплялся решением примеров и практических задач - hotcooltop.com. Замечательной книгой Магницкого закончилась многовековая история древнерусской математики.

 

Список использованной литературы:

1. Р. А. Симонов – математическая мысль Древней Руси, М.: Наука, 1997г., 120с.
2. http://hotcooltop.com/article210.html
3. http://rus.ans4.com/27706153/kakaya-sistema-mer-byla-v-drevney-rusi/