Автор работы: Пользователь скрыл имя, 13 Мая 2014 в 21:17, реферат
Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации древности - Египет и Месопотамия, или Междуречье. Именно там появились первые математические задачи, решения которых требовала повседневная жизнь. Ведь невозможно без расчётов построить здание, будь то величественный дворец или простой склад для зерна. И как поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами, найти правильный путь в пустыне или в море, если вы не знакомы с правилами счёта? Несколько тысячелетий культура Египта развивалась без каких бы то ни было внешних влияний, и именно этим объясняется её самобытность. Уровень древнеегипетской математики был довольно высок. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян. Вот как писал об этом в V в. до н. э. знаменитый греческий историк Геродот: «Они [египетские жрецы] говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого-нибудь надела река отнимала что-нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить, на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорциональный установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу».
1. Древний Египет 1
2. Фрагмент папируса Райнда 1
3. Первые ученики 2
4. Методы вычислений 3
5. Геометрия страны пирамид 4
6. О формуле площади четырехугольника 5
7. Как могло появиться первое приближение числа П. 6
8. Междуречье 7
9. Как вавилоняне решали квадратные уравнения 7
10. Как возникла шестидесятеричная система счисления 8
11. Какие задачи решали вавилоняне 9
12. Древний Китай 12
13. Арифметика 13
14. Алгебра и теория чисел 14
15. Геометрия 15
16. Задачи на теорему Пифагора 15
17.Список использованной литературы 16
В результате появились знаки для чисел 1,10, 60, 600, 3600. Это произошло около 5 тыс. лет назад. Знаки выдавливались тупым концом палочки для письма на глиняных табличках. Позднее они превратились в клинья и уголки.
Два писца переписывают дань из захваченного селения. Рельеф дворца Синакериба в Ниневии. 7век до н. э.
8
Какие задачи решали вавилоняне.
Среди вычислительных задач на клинописных табличках встречаются задачи на арифметические и геометрические прогрессии, представления о которых у вавилонян были более развиты, чем у египтян. Методы решения в основном опирались на идеи пропорциональной зависимости и среднего арифметического. Вавилонские писцы знали правило суммирования п членов арифметической прогрессии:
В клинописных текстах содержатся первые задачи на проценты - ведь Вавилон стоял на пересечении торговых путей, и здесь рано появились денежные знаки и кредит. Было у вавилонян и правило для приближённого вычисления квадратных корней. Большое число задач сводится к уравнениям или системам уравнений первой и второй степеней. Их записывали без символов, в своей особой терминологии. Разговорным языком вавилонян был аккадский, но в науке в качестве терминов они употребляли шумерские слова. Каждое из таких слов изображалось одним знаком и потому выделялось в общем тексте на фоне более позднего по происхождению слогового письма. Искусство решения уравнений достигло высокого уровня в XVIII в. до н. Э., В эпоху царя Хаммурапи. Обычно в задачах требовалось найти «длину» и «ширину» или «множимое» и «множитель», для которых были сформулированы различные условия. Произведение длины и ширины именовалось «площадью». В задачах, сводящихся к кубическим уравнениям, появлялось третье неизвестное «глубина», и произведение всех трёх величин называлось «объёмом».
Хотя терминология указывает на геометрическое происхождение задач, для вавилонян это были, прежде всего, просто числа, вот почему они свободно складывали длину с площадью и т. п. В древнегреческой математике (и ещё долгое время после) этого делать было нельзя. Существовал и другой тип задач, также требовавший развития алгебраических методов, неопределённые уравнения (так называются уравнения, в которых две или более неизвестные величины). Вот самый древний и знаменитый пример неопределённого уравнения:
Во многих клинописных текстах речь идёт о решении этого уравнения в рациональных числах (х, у, z) - позднее их стали называть «пифагоровыми тройками». Не совсем ясно, знали вавилоняне общие формулы его решения или нет, однако многие такие тройки им были известны, например (3, 4, 5), (5,12,13), (8, 15,17) и др. Сохранил ась даже таблица рациональных «пифагоровых троек», но каким образом она была получена, определённо сказать нельзя. Древние вавилоняне рассматривали ещё одно неопределённое уравнение: и2+ v2 = 2w
Его рациональные решения (и, v, w) образуют так называемые «вавилонские тройки». Это уравнение также имеет геометрическую природу. Оно возникло при решении
задачи, часто встречающейся в вавилонских текстах: рассечь данную трапецию на две равновеликие части прямой, параллельной основанию (рис. 1). Если обозначить нижнее основание буквой v, верхнее - и, а разделяющую прямую - w, то нетрудно
видеть, что для них и будет справедливо уравнение и2 + v2 _ 2w2 Вавилоняне умели находить бесконечно много решений этого уравнения. Они также знали, что решения этих уравнений связаны между собой: если (х, у, z) корни первого уравнения, то u = х-у, v = x + y, w = z- корни второго уравнения. Таковы достижения древних вавилонян в алгебре. Их успехи в геометрии были скромнее и относились в первую очередь к измерению простейших фигур. Наряду с теми фигурами, которые встречались в геометрических задачах египтян, - кубом, параллелепипедом, призмой, цилиндром - вавилоняне изучали некоторые правильные многоугольники, сегмент круга, усечённый конус. Вероятно, было известно правило для вычисления объёма усечённой пирамиды. Длину окружности рассчитывали, утраивая диаметр, т. е. для П брали значение 3. С тем же значеним П определяли площадь круга. Одним из самых замечательных геометрических открытий было появление, и притом для общего случая, теоремы, которую впоследствии стали называть теоремой Пифагора. Впервые она встречается в клинописных текстах времён царя Хаммурапи. Открытия, сделанные математиками Междуречья, поражают своим размахом. Именно здесь появилась первая позиционная система счисления. Здесь впервые была разработана алгебра линейных и квадратных уравнений и рассмотрены первые неопределённые уравнения, возникшие из геометрических задач. Такая тесная связь геометрических задач с алгеброй и теорией чисел - одна из особенностей вавилонской математики. Древние греки начинали свои исследования с тех проблем, которые занимали вавилонян. Вавилонские традиции можно про следить в работах Герона и Диофанта, а ещё позднее у аль-Хорезми и других основателей алгебраической школы стран арабского Востока. Преобразование математики из совокупности отдельных расчётов и правил в стройную логическую систему, в которой эти приёмы и правила получили строгое обоснование, стало главным делом античных учёных.
Глиняная табличка. Измерение территорий земельного участка в Уммве (Междуречье).
10
Вавилонская глиняная табличка, содержащая геометрические задачи. Начало II тысячелетия до н. э. Квадрат заданных размеров поделен на различные фигуры, площадь которых ученик должен вычислить.
11
Древний Китай.
Наиболее ранние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу 1 тысячелетия до н. э. Во II в. до н. э. были написаны математико-астрономический «Трактат об измерительном шесте» и «Математика в девяти книгах». Позднее, уже в VII в., оба сочинения вошли в сборник «Десять классических трактатов», который изучали в течение многих столетий. Сборник включал и другие труды: «Трактат о морском острове» Лю Хуэя (III в.) с задачами на определение расстояний до недоступных предметов и их размеров; «Математический трактат» Сунь-цзы (III в.), содержащий математические таблицы, арифметические и геометрические задачи, задачи на системы линейных уравнений; анонимный «Математический трактат пяти ведомств» с задачами практического содержания. Основным научным трудом была «Математика в девяти книгах». Она предназначалась для всех, кому требовались математические знания: для землемеров, инженеров, чиновников, торговцев. По существу, это сборник из 246 задач без вводных текстов и предварительных разъяснений. Каждый раз вначале формулируется задача, затем сообщается ответ и в сжатой форме указывается способ решения.
12
Арифметика.
С глубокой древности счёт в Китае вели десятками. Примерно с IV в. до н. э. стали считать с помощью специальных палочек. Они были в ходу на протяжении более полутора тысяч лет. Палочки раскладывали на счётной доске, которая, как полагают, была разлинована на строки и столбцы. Если какой-то разряд в числе отсутствовал, то соответствующая ячейка оставалась пустой. Так что китайская нумерация с помощью счётных палочек - древнейшая из десятичных позиционных систем. К III в. до н. э. установилась и другая форма обозначения чисел -иероглифическая. При записи числа, состоящего, например, из тысяч, сотен, десятков и единиц, сначала записывали число тысяч, затем справа или снизу иероглиф, обозначающий тысячу, число сотен, за ним - иероглиф, обозначающий сотню, число десятков, знак десяти и, наконец, число единиц. Таблицу умножения от 1 х 1 до 9 х 9 заучивали наизусть. Её декламировали или даже распевали на уроках. Были и другие числовые таблицы, включавшие произведения квадратов кубов и четвёртых степеней. Издавна в Китае были известны дроби. Некоторые имели даже свои названия. Половина называлась «бань», треть - «шао бань» («малая половина»), две трети - «тай бань» («большая половина»). Позднее появилось специальное наименование для четвёртой части - «слабая половина». Пользовались и десятичными дробями. При решении задач порой приходилось от меньшего количества отнимать большее. Так во II в. до н. э. появились отрицательные числа. На счётной доске их выделяли палочками другого цвета или формы, а в рукописи другими чернилами или косой чертой. Отрицательные числа назывались «фу», а положительные - «чжэн». Постепенно числа «фу» стали истолковывать как долг, недостаток. Введение отрицательных чисел и правил их сложения и вычитания можно считать одним из самых крупных открытий китайских учёных. В греческой математике это сделал Диофант в середине III в., и лишь в VII в. отрицательные числа появились в индийской математике.
13
Алгебра и теория чисел.
В трактате «Математика в девяти книгах» объясняется, как извлечь квадратный и кубический корни с помощью формулы квадрата и куба суммы двух чисел. Поскольку китайские математики вели счёт на доске, их способ имел некоторые особенности. Позже он был обобщён для случая любого корня и вообще для численного решения уравнения п-й степени. Метод получил название «тянь-юань» (буквально - «небесный элемент») - так китайцы обозначали неизвестную величину. Впоследствии метод «тянь-юань» развили и разработали китайские алгебраисты XIII -XIV вв. (В Европе в XIX в. он стал известен как метод Руффини-Горнера.) Для решения системы п линейных уравнений с п неизвестными применялся метод «фан чэн». Название означает «выстраивание чисел по клеткам» (разумеется, на счётной доске). Этот метод напоминает действия с матрицами и определителями. В Европе первый подход к решению системы линейных уравнений встречается у Леонардо Пизанского (1202 г.), а затем у Джероламо Кардано (1545 г.). Из задач, относящихся к теории чисел, следует упомянуть классическую задачу из последней книги «Математического трактата» Сунь-цзы: «Имеются вещи, число их неизвестно. Если считать их тройками, то остаток 2; если считать их пятёрками, то остаток 3; если считать их семёрками, то остаток 2. Спрашивается: сколько вещей?». Иными словами, требуется найти число, которое при делении на 3, 5 и 7 даёт соответственно остатки 2, 3 и 2. Искомое число - 23. Весьма возможно, что задача более древнего происхождения и в «Математику в девяти книгах» не попала потому, что не подошла ни к одной теме её разделов. И у Сунь-цзы задача такого типа - единственная. Кстати, она была широко известна в народе и благодаря совпадению имён служила примером особой мудрости полководца Сунь-цзы. Общее правило решения подобных задач сформулировано не было. Оно появляется лишь десять столетий спустя у Цинь Цзю-шао в его «Девяти книгах по математике» (XIII в.). Термины, введённые им, заимствованы из гадательной терминологии конфуцианской «Книги перемен» (VIII-VII вв. до н. э.). В основе гадания лежало предсказание судьбы по стеблям тысячелистника, которые раскладывались произвольным образом на отдельные груды. В результате манипуляций с этими палочками и возникла упомянутая теоретикочисловая задача, с которой Цинь Цзю-шао начинает своё сочинение, отдавая дань неоконфуцианству. (Остальные задачи из теории чисел уже не связаны с гаданиями; они возникали в основном при составлении календарей.) В Европе эта же задача приводится Леонардо Пизанским, встречается в одной византийской рукописи XIV в., в немецких рукописных арифметиках XV в. и в русских математических рукописях XVII в. Общий метод решения таких задач был вновь разработан Леонардом Эйлером в 1740 г. и Карлом Гауссом в 1801 г.
14
Геометрия.
Геометрия в Древнем Китае не развилась в самостоятельную науку, как это произошло в Древней Греции. В первой книге «Математики В девяти книгах» приводятся отдельные правила измерения площадей прямоугольника, треугольника, трапеции, кольца, круга, его сектора и сегмента. В пятой книге рассматриваются объёмы прямого параллелепипеда с квадратным основанием, прямые призмы с трапецеидальным и треугольным основаниями, пирамиды с квадратным и прямоугольным основаниями и другие геометрические фигуры. Согласно «Трактату об измерительном шесте», теорема Пифагора для частного случая прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, 5 - была известна за 1100 лет до н. Э., а для общего случая - в VI в. до н. э. Доказательство основывалось на разбиении квадрата, построенного на сумме катетов прямоугольного треугольника, на восемь треугольников, равных между собой, и на маленький квадрат со стороной, равной разности катетов.
Легко заметить, что большой квадрат на стороне а+Ь составлен из квадрата на стороне с и четырёх прямоугольных треугольников с катетами аиЬ,азначит, (а + Ь)2 =с2+2аЪ
С другой стороны, на этом же чертеже нетрудно разглядеть и доказательство известного во всех древних цивилизациях алгебраического тождества (а + b)2=a2+ 2ab + b2
откуда следует с2= a2 + b2 Этот вариант реконструкции доказательства принадлежит известному математику Б. Л. Вандер-Вердену.
Задачи на теорему Пифагора.
Вот задача 6 из девятой книги «Математики в девяти книгах»: «Имеется водоём со стороной В 1 чжан (=10 чи). В центре его растёт камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?».
Если обозначить глубину воды через х, то получим прямоугольный треугольник, один катет которого есть х, второй равен 5, а гипотенуза х+\. По теореме Пифагора легко вычислить, что глубина воды составляет 12 чи, а длина камыша - 13 чи.
Приведём задачу 13 из той же книги: «Имеется бамбук высотой в 1 чжан (=10 чи). Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня. Спрашивается: какова высота после сгибания!". Применяя к прямоугольному треугольнику теорему Пифагора, получим, что высота бамбука после сгибания равна 4l1/20 чи.
15
Список использованной литературы.