Математичні моделі деяких ситуацій і процесів

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

МАШИНОБУДІВНИЙ КОЛЕДЖ

ДОНБАСЬКОЇ ДЕРЖАВНОЇ МАШИНОБУДІВНОЇ АКАДЕМІЇ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доклад

з дисципліни Вища математика

на  тему:

«Математичні моделі деяких ситуацій і процесів»

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

 

ВСТУП

 

Багато ситуацій та процесів мають математичний опис у вигляді  рівняння, що містить шукану функцію  та її похідні або диференціали.

Якщо невідома функція  залежить лише від однієї змінної, то методи розв'язування таких рівнянь  викладені в теорії звичайних диференціальних рівнянь.

Випадки, коли шукана функція  залежить від декількох змінних  і рівняння містить її частинні похідні, розглядаються в курсі математичної фізики.

 

1. Звичайні диференціальні  рівняння

 

Звичайними диференціальними рівняннями називають такі рівняння, які містять шукану функцію однієї змінної та її похідні або диференціали.

Це означення у загальному вигляді математично можна записати так

Найвищий порядок похідної, що містить диференціальне рівняння, називають порядком диференціального рівняння.

Загальним розв'язком  диференціального рівняння n-го порядку називають функцію у, яка залежить від аргумента х та n довільних сталих С₁, С₂,...,С_n, тобто має вигляд яка, при її підстановці у рівняння, перетворює рівняння у тотожність.

Загальний розв'язок диференціального ріининня може бути і не розв'язаним відносно у, тобто мати вигляд Ф(х, у, С₁,С₂,…,С_n) = 0. У цьому випадку його називають загальним інтегралом диференціального рівняння.

Якщо у загальному розв'язку (інтегралі) диференціального рівняння замість довільних сталих записати фіксовані постійні числа, то одержаний розв'язок називають  частинним розв'язком цього рівняння.

Найчастіше сталі С₁, С₂,...,С_n обирають не довільно, а так, щоб розв'язок рівняння задовольняв деяким початковим умовам. Для знаходження n довільних сталих треба задати n початкових умов.

Сумісне завдання диференціального рівняння та відповідної кількості  початкових умов називають задачею Коші.

Наприклад, для диференціального рівняння першого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

Для диференціального рівняння другого порядку задачу Коші можна записати у вигляді

У дослідженнях різноманітних  життєвих та економічних проблем найчастіше використовують диференціальні рівняння першого та другого порядків певних типів та відповідні їм задачі Коші.

В теорії звичайних диференціальних  рівнянь можна виділити дві основні  задачі:

1) знаходження диференціального  рівняння та початкових умов, які описують ситуацію або процес, який досліджують;

2) розв'язування заданої  задачі Коші або знаходження загального розв'язку заданого диференціального рівняння.

 

2. Математичні моделі деяких ситуацій та процесів

2.1. Закон природного зростання.

 

Законом природного зростання  називають такий закон, за яким швидкість  зростання речовини пропорційна  кількості речовини. Треба знайти формулу для визначення кількості  речовини у будь-який момент часу, якщо відомо, що у початковий момент часу, тобто при t = 0, кількість речовини дорівнювала у₀.

Розв'язування.

Позначимо через y(t) шукану кількість речовини в момент t. Тоді швидкість зростання речовини є швидкість зміни функції у. Згідно з механічним змістом похідної та умовою задачі закон природного зростання речовини можна записати у вигляді

,

(1)

де де а>0 — коефіцієнт пропорційності.

За умовою задачі повинна  виконуватись рівність

|t=0 y0

(2)

Отже, математична модель закону природного зростання речовини задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку вигляду (1) з початковою умовою вигляду (2).

Рівняння (1) досить просте, тому можна знайти його загальний розв'язок.

Дійсно, рівняння (1) можна записати у вигляді

  або  

Якщо диференціали двох функцій рівні, то функції можуть відрізнятись лише довільною сталою, тобто 

lny = at + С

Звідси, потенціюванням знаходимо

(3)

Формула (3) дає вираз  для кількості речовини як функції  часу. Вона містить довільну сталу  С, яка може приймати довільні числові  значення. Тому формула (3) дає не один, а нескінченну кількість розв'язків  задачі.

Використовуючи початкові  умови (2), одержимо:

Отже, формула (3) тепер  буде мати вигляд

(4)

Це і є шукана формула.

За законом природного зростання (4) зростає кількість живих  клітин, кристалів, населення.

2.2. Закон радіоактивного розпаду

 

Відомо, що радіоактивний розпад речовини здійснюється так: швидкість розпаду речовини у будь-який момент часу пропорційна кількості речовини, що не розпалась.

Треба знайти формулу, за якою можна визначити кількість  речовини у, яка ще не розпалась, у  будь-який момент часу t при початковій кількості речовини у₀.

Розв 'язування.

Використовуючи механічний зміст похідної та умову задачі, закон радіоактивного розпаду речовини можна записати у вигляді

,

(5)

де коефіцієнт (- а) від'ємний тому, що функція y(t) спадає і її похідна від'ємна.

Рівняння (5) аналогічне рівнянню (1) і тому можна записати шукану формулу  у вигляді

(6)

2.3. Рівняння руху.

 

Нехай матеріальна точка М (х, у, z) масою m рухається в просторі. Радіус-вектор цієї точки позначимо . Координати точки М є і координатами радіус-вектора . Для математичного опису руху матеріальної точки треба знайти вираз або його координат х, у, z у вигляді функції часу t.

Розв'язування.

Згідно з механічним змістом похідних першого та другого  порядків, вектор

є швидкість, а вектор

є прискоренням руху точки М.

За законом Ньютона

,

(7)

де сила = (X,Y,Z).

Рівняння (7) називають  основним рівнянням механіки. Це рівняння еквівалентне трьом рівнянням у  координатній формі

; ;

(8)

Отже, одержали, що математична модель руху є диференціальне рівняння другого порядку (7) або система диференціальних рівнянь (8).

2.4. Зростання інвестицій.

 

Економісти встановили, що швидкість зростання інвестованого капіталу у будь-який момент часу t пропорційна величині капіталу із коефіцієнтом пропорційності рівним узгодженому відсотку R неперервного зростання капіталу. Треба знайти закон зростання інвестованого капіталу, врахуючи величину початкової (t = 0) інвестиції К₀.

Розв'язування.

Спочатку побудуємо  математичну модель цієї задачі. Позначимо: K(t) — величина інвестованого капіталу у момент t (шукана функція).

Тоді  — швидкість зміни величини інвестиції, .

За умовою задачі маємо:

(9)

Одержали задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку аналогічного рівнянню (1).

Тому запільним розв'язком  диференціального рівняння буде функція

(10)

Згідно з початковою умовою при t = 0 маємо

Отже, розв'язком задачі Коші (9) буде функція

(11)

Це означає, що при  умовах задачі інвестиції з часом  зростають за експотенціальним законом.

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів. — Київ:ЦУЛ, 2002. — 400 с. — Серія: Математичні науки.
2. Васильченко І.П. В19 Вища математика для економістів: Підручник. — 2-ге випр. — К.: Знання, 2004. — 454 с.
3. Шелобаев СИ. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учеб. пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 367 с.
4. Долгіх, В. М. Вища математика для економістів. Ч. 1. Алгебра та математичний аналіз [Текст] : навч. посібник для самостійного вивчення дисципліни : у 2 ч. - Суми : ДВНЗ “УАБС НБУ”, 2009. - 97 с.