Математическая статистика и теория вероятности

 Математическая статистика и теория вероятности

 

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности, проявляющиеся при массовом повторении случайных событий.

Теория вероятностей не изучает  уникальные события.

Вероятность – количественная мера объективной оценки наступления некоторого события.

 

Раздел: Основы теории вероятностей.

 

1. «Основные понятия».

В теории вероятностей часто  встречается и используется следующая  пара понятий:

Событие (случайное) – возможный результат (исход) испытания, который нельзя наверняка предугадать до проведения самого испытания.

Испытание (опыт) – комплекс условий, при которых может произойти событие.

События обозначаются большими латинскими буквами.

 

Событие называется достоверным в данном испытании, если оно неизбежно произойдет в результате данного испытания или опыта (восход солнца).

Событие называется невозможным в данном испытании, если оно заведомо не произойдет в результате данного испытания (крайне низкий курс валюты).

Два события называются несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого.

Два события называются противоположными,  если они являются несовместными, причем одно из них должно обязательно произойти.

Обозначение противоположного события - Ā.

Событие А называется благоприятствующим событию В, если наступление события А неизбежно влечет наступление события В (А=>В).

Два события называются эквивалентными, если наступление каждого из них благоприятствует наступлению другого (А=В).

Невозможные события часто обозначаются ø.

 

2. «Пространство элементарных событий».

Пространство элементарных событий – совокупность всех существенных для данного испытания исходов (элементарных событий), являющихся попарно несовместными. Обозначение: Ω={.. , ..}.

 

3. «Классическое определение вероятности».

Пусть дано: Ω, состоящее из n элементарных событий, т.е. Ω={1,2,3.,..,n}. Элементарные события считаются равновозможными, т.е. не существует объективных оснований считать одно из них наступающим более часто, чем другое.

Вероятностью события А является отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию А к общему числу элементарных событий:

Р(А)=m/n

m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А.

 

Основные свойства вероятности:

1. 0≤(A)≤1
2. P(ø)=0 и P(Ω)=1
3. Р(А)+Р(Ā)=1
4. A=>B, P(A)≤P(B)

 

4. «Операции над событиями».

Суммой событий А и В называется событие, обозначаемое А+В и состоящее в наступлении хотя бы одного из двух событий А и В.

Произведением событий А и В называется событие, обозначаемое А*В и состоящее в наступлении каждого из двух событий.

 

5. «Теорема сложения вероятностей».

Частный случай: для несовместных событий А и В (АВ=ø) выполняется равенство:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Для ряда попарно несовместных событий  справедливо:

Р(А1+А2+...+Ак)=Р(А1)+Р(А2)+...+Р(Ак)

Общий случай: для произвольных событий А и В справедливо равенство:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

 

6. «Условная вероятность».

Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленное в предположении, что событие В наступило.

Обозначение: Р(А|B), Рв(А)

 

7. «Теорема умножения вероятностей».

Общий вид теоремы:

Р(А)*P(B|A)=P(AB)

m/n*k/m=k/n

 Пример 1:

A=(4,5,6)

B=Четное

P(A)=1/2

P(B)=1/2

P(A|B)=2/3

P(AB)=1/3

 

Пример 2:

В магазине имеется 10 партий товара, из которых 3 не сертифицированных. Ревизор проводит контроль 2-х партий. Какова вероятность обнаружить наличие не сертифицированного товара.

Пусть событие А состоит в  том, что первая отобранная пара оказалась сертифицированной. Аналогично событие В: вторая пара оказалась сертифицированной. Тогда АВ – событие, состоящее в том, что в результате проверки не сертифицированный товар не обнаружен.

Р(А)=7/10

Р(В|A)=6/9=2/3

P(AB)=7/10*2/3=14/30=7/15

Событие, вероятность которого требуется  рассчитать, является противоположным  событию Р.

Р=1-7/15=8/15

 

8. «Независимое событие».

Событие А не зависит от события В, если вероятность события А не меняется при наступлении события В.

Р(А)=Р(А|B)

m/n=k/l

l/n=n/m

P(B)=P(B|A)

Вывод: если А не зависит от В, то и В не зависит от А.

Для независимых событий А и В теорема умножения вероятностей обретает наиболее простую форму:

Р(A|B)=P(A)*P(B)

Вероятность произведения событий  равна произведению вероятностей.

Если событие А не зависит  от В, то и Ā не зависит от В.

 

Набор попарно независимых событий (А1,А2,...,Аk) – если любые два из них независимы.

Набор событий (А1,А2,...,Аk) – набор независимых совокупностей, если являются независимыми любое из этих событий и любое произведение событий из оставшихся.

Для независимых совокупностей  событий справедливо очевидное  обобщение – теорема умножения вероятностей:

Р(А1А2...Ак)=Р(А1)*Р(А2)*...*Р(Ак)

Вероятность наступления хотя бы одного события.

Пусть А1, А2,...,Ак – независимые  в совокупности события, причем Р(Аi)=pi, тогда А – событие состоящее из хотя бы одного события, Ā – когда не наступило не одно событие.

Ā-у

Ā=Ā1Ā2...Āк

Р(Ā)=Р(Ā1)Р(Ā2)...Р(Āк)=(1-p1)(1-p2)….(1-pk)

P(A)=1-P(Ā)=1-q1q2…qk

 

9. «Полная группа событий».

Набор событий H1+H2+…+Hk образует полную группу событий, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие:

1. Hi*Hj=ø (i≠j)
2. H1+H2+…+Hk=Ω

 

10. «Формула полной вероятности».

Пусть H1+H2+…+Hk – полная группа событий. Пусть А – некоторое событие, вероятность которого нас интересует.

Справедлива цепочка равенств:

А=АΩ=А(А1Н1+...+АкНк)

События попарно несовместны. Применима теорема сложения вероятностей в простейшей её форме:

Р(А)=Р(АН1)+Р(АН2)+...+Р(АНк)

По теореме умножения вероятностей:

Р(АНi)=P(А|H)* P(Hi), i=1,2...к

Получаем формулу полной вероятности:

          k

P(A)=Σ P(A|Hi)*P(Hi)

               i=1

 

P(A)=P(A|H1)*P(H1)+P(A|H2)*P(H2)+….+P(A|Hk)*P(Hk)

 

Формула полной вероятности справедлива  и в том случае, когда H1+H2+…+Hk попарно несовместны, но не составляют в сумме достоверного события Ω. Вместо этого должно выполняться условие:

А=˃ H1+H2+…+Hk

 

11. «Формула Байеса».

Р(Н1|A)*P(A)=P(A|H1)=P(A|H1)*P(H1)

 

Р(Hi|A)=P(A) / P(A|Hi)*P(Hi)

 

Формула Байеса справедлива при тех же условиях, что и формула полной вероятности. Формула Байеса позволяет уточнить вероятности гипотез H1+H2+…+Hk по результатам проведения опытов или экспериментов, связанных с наступлением события А.

 

12. «Пример решения простейшей задачи теории вероятности».

Условия задачи: монета брошена 2 раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

Решение:

1. Ω={ГГ, ГР, РГ, РР}

А – событие, заключающееся в выпадении хотя бы одного герба.

Р(А)=3/4

2. Переход к противоположному событию. Ā – событие, заключающееся в том, что ни одного герба не выпало. Р(Ā)=1/4

Р(А)=1-Р(Ā)=1-1/4=3/4

3. Применение теорем теории вероятности. А1 – событие, заключающееся в том, что при первом броске выпадает герб,  А2 – событие, заключающееся в том, что при втором броске выпадает герб.

А=А1А2+А1Ā2+Ā1А2

События попарно несовместны, следовательно  Р(А)+Р(А1А2) +Р(А1Ā2)+Р(Ā1А2)

Р(А1А2)=Р(А1)*Р(А2)=1/2*1/2=1/4

Р(А1Ā2)=Р(А1)* Р(Ā2)=1/2*1/2=1/4

Р(Ā1А2)=Р(Ā1)* Р(А2)=1/2*1/2=1/4

Р(А)=1/4+1/4=1/4=3/4

4. Применяем формулу полной вероятности. Определяем полную группу событий. Н1 – выпадение герба при первом бросании, Н2 – не выпадение герба при первом бросании.
5. Р(А)=Р(А|H1)*P(H1)+P(A|H2)*P(H2)=1/2+1/4=3/4

 

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу = 1.

 

13. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий свойства множеств с конечным числом элементов.

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, содержащее все n элементов.

Пример: пусть есть множество {1,2,3}. Строим перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (3,2,1), (2,1,3), (3,1,2)

Число перестановок из n элементов обозначается Pn и вычисляется по формуле:

Pn=n!

0!=1

n!=(n-1)! * n.

Факториал очень быстро возрастает при увеличении n. Это приводит к усложнению проведения практических вычислений.

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество, содержащее ровно m элементов (m<n).

Пример: {1,2,3} n=3. Строим размещения: m=1 (1), (2), (3). m=2 (1,2), (1,3), (2,3), (2,1), (3,1), (3,2). m=3 (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (3,2,1), (2,1,3), (3,1,2) – построено при рассмотрении перестановок. m=0 ø.

Число размещений из n по m обозначается А(nm) и вычисляется по формуле:

А(nm)=n!/(n-m)!

Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество без учета порядка, содержащее ровно m элементов.

Пример: {1,2,3} n=3. Строим сочетания: m=1 {1}, {2}, {3}. m=2 {1,2}, {1,3}, (2,3). m=3 {1,2,3}.

Число сочетаний обозначается С(nm) и вычисляется по формуле:

С(nm)=n!/m!(n-m)!

Общее соотношение между  рассмотренными характеристиками:

А(nm)=С(nm)*Рm

Основные свойства числа  сочетаний:

1 С(0m)= 1

C(1n) = n

C(nn) = 1

2 C(nm) = C(n n-m)

3 C(n0)+C(n1)+C(n2)+…+C(nn)=2n

4 (a+b)2==a2+2ab+b2

5 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Для произвольного значения n (см. тетр.): Бином Ньютона

,

где   

 

14. Пример решения задач.

Пример1:

В читальном зале имеется 6 учебников, из которых 3 – нового издания. Студент  берет 2 книжки. Найти вероятность  того, что оба учебника нового издания.

Решение:

1. Решение с использованием числа сочетаний. Р=m/n, C(6 2)=n, C(3 2)=m. P=3!/2!1! : 3!/4!2!= 1/5
2. Пусть А1 – событие, состоящее в том, что первая книга нового издания, А2 – событие, состоящее в том, что вторая книга нового издания. Интересующее нас событие А состоит в том, что обе книги нового издания. А=А1*А2: Р(А)=Р(А1)*Р(А2|А1)=1/2*2/5=0,2

       Пример2: имеется  N изделий, из которых n – сертифицированных. Случайно выбираются аудитором М изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных будет ровно m сертифицированных изделий. (n<N), (M<N), (m<M), (m<n).

 

15. Повторение испытаний.

Пусть проводится ряд однотипных опытов, в каждом из которых может наступить некоторое событие А. Опыты называются независимыми относительно события А, если вероятность наступления этого события не меняется в ходе проведения опытов. Обозначение Р(А) = р, Р(Ā) = 1-р = q.

Обозначим Рn,m вероятность того, что в серии n опытов событие А наступит ровно m раз. (m≤n).

Значение Рn,m может быть вычислено по формуле Бернулли:

Формула Бернулли представляет точное значение вероятности, однако, при больших значениях n и m практическое применение данной формулы вызывает большие сложности. Существуют простые обобщения данной формулы, дающие приближенное значение искомой вероятности.

Задача: в каждом из опытов может наступить событие А Найти вероятность того, что событие А наступит m-тый раз. Ответ: Р=рС(m-1)(n-1)р(m-1)q(n-m) – см. тетр.

 

Случайные величины.

1. Общие понятия.

Случайная величина – функция, которая  принимает свои значения в зависимости  от результатов некоторого опыта. Обозначение X, Y, Z.

Исчерпывающей характеристикой любой  случайной величины является её функция  распределения. Обычно обозначается F(x).

Функция распределения F(x) случайной величины X определяется равенством:

Общие свойства функции распределения:

1 D(f)=(-∞;∞+)

2 0≤F(x)≤1

3 F(x) монотонна и не убывает

4 Функция распределения непрерывна слева

5 limF(x)=F(x0), x -> x0-0

6 P(a≤X-b) = F(a)-F(b)

Пример: построим функцию распределения  для случайной величины х, равной 1 при выпадении орла и 0 при выпадении решки при однократном бросании монеты.

limF(x)=1

limF(x)=0

Существуют два основных класса случайных величин: дискретные и непрерывные.

 

2. Дискретные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное число значений или бесконечное число изолированных, отделенных друг от друга значений.

Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения, содержащим все значения, принимаемые случайной величиной и вероятности с которыми эти значения принимаются.

Вид рядов распределения:

X	x1, x2,…,xn
P	p1, p2,…,pn

Сумма вероятностей из ряда распределения  равна единице.

P1+P2+….+Pn=1

Пример: построим ряд распределения  случайно величины равной числу гербов, выпадающих при двукратном бросании монеты.

Х     0   1   2

0      ¼  ½ ¼ 

 

3. Непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения во всех точках прямой, кроме конечного числа непрерывна и имеет непрерывную производную (функция распределения непрерывна везде).

Производная функции распределения  – плотность распределения, обозначается f(x):

f(x)=F’(x)

Основные свойства плотности распределения: