Магические квадраты

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

 

 

 

Кафедра математики

 

 

 

Курсовая работа

по алгебре

на тему:

Магические квадраты

 

 

 

 

Выполнила:

 

Проверил:

преподаватель

 

 

 

 

 

 

2014

Оглавление

 

 

 

 

 

Введение

 

Магический квадрат — это квадратная таблица n×n, заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n2 + 1.

Магический квадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (около 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 0.1, а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату (рис. 0.1, б).

Рис. 0.1.

 а)таинственные иероглифы на панцире черепахи; б) магический квадрат.

В XI в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 0.2), изображенный на его знаменитой гравюре "Меланхолия I" [4].

Рис. 0.2.

 Магический квадрат А.Дюрера.

Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.

В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры [3].

 

 

 

 

§1.Элементарное построение магических квадратов при n = 3; 4

 

Построение магического квадрата при N = 3

Из чисел ряда подбираем группы. В каждой группе по n чисел (здесь по 3 числа). Сумма чисел каждой группы должна равняться  Σ0 (здесь  Σ0 = 15).

Готовые группы нужно так разместить в клетках квадрата, чтобы числа группы располагались прямыми рядами: по строкам, по столбцам и по диагоналям. Из 9 чисел натурального ряда можно составить только 8 групп:

1. 1 + 5 + 9 = 15 (в этой группе есть пара: 1 + 9 = σ = 10)
2. 1 + 6 + 8 = 15
3. 2 + 4 + 9 = 15
4. 2 + 5 + 8 = 15 (2 + 8 = σ)
5. 2 + 6 + 7 = 15
6. 3 + 4 + 8 = 15
7. 3 + 5 + 7 = 15 (3 + 7 = σ)
8. 4 + 5 + 6 = 15 (4 + 6 = σ)

Число 5 входит в 4 группы. Это значит, что клетка для числа 5 находится на пересечении четырех прямых рядов. В квадрате 3 × 3 клетки есть только одна такая клетка - средняя (рис. 1.1,а).

Рис. 1.1.

а)средняя клетка; б)угловая клетка; в)средняя клетка с края.

 Следовательно, число 5 должно находиться только в центре квадрата и нигде более. Каждые два числа, находящиеся в одной группе и в одном ряду с числом 5, составляют пару. Эти пары располагаются симметрично по отношению к центру квадрата. Поэтому внутренняя структура будет обладать полной центральной симметрией.

Каждое четное число ряда встречается в трех группах. Это значит, что четные числа находятся на пересечении трех прямых рядов, то есть в угловых клетках (рис.1.1, б). Каждое из четырех оставшихся нечетных чисел - 1, 3, 7, 9 - входит только в 2 группы. Их место - в средних клетках по краям квадрата (рис. 1.1, в).

Если для записи единицы из четырех пригодных клеток выбрать среднюю клетку верхней строки, то для числа 9 оказывается пригодной только одна клетка - средняя на нижней строке. Теперь можно заполнить всю первую строку: 6 + 1 + 8 или 8 + 1 + 6.  Это не два варианта, а только вариант и его невариант.

Числа в нижних угловых клетках определяются диагоналями:

6 + 5 + 4 и 8 + 5 + 2.

Последние два числа 7 и 3 занимают свои места так, как подсказывают группы «5» и «6» (рис. 1.2).

 

Рис. 1.2. Построение магического квадрата.

 

Построение магического квадрата при N = 4

Начнём построение магических квадратов 4 × 4 с преобразования немагического квадрата такого же размера, заполненного числами от 1 до 16 в их естественном порядке. Задача решается (в одном только варианте), если поменять местами числа четырех пар: 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 8 и 9 (рис. 1. 3).

 

Рис. 1.3. Построение магического квадрата.

Полученный таким способом квадрат оказывается магическим, а сам способ известен ещё со времён Дюрера [1].

 

 

 

§2. Линейный алгоритм построения магических квадратов нечетного порядка

 

Линейный метод построения магических квадратов порядка n имеет вид:

 

                                   (1)

Если и , то , где []- знак целой части, и (mod n).

Поэтому, формулы (1) можно записать в следующем виде:

 

 

Подставляя в равенства (2) числа , получаем координаты ряда клеток, часть из которых будет лежать вне основного квадрата. Затем в каждую клетку надо вписать соответствующее число z, заменяя одновременно клетки, лежащие вне основного квадрата, эквивалентными клетками этого квадрата. В результате получим некоторое заполнение клеток основного квадрата числами от 1 до , которое и будет магическим квадратом  [2]. 
§3.Классические алгоритмы построения магических квадратов 
нечетного порядка

 

Индийский (сиамский) метод

Правила построения магических квадратов произвольного нечетного порядка n=2m+1:

1. Числа от 1 до поочередно вписываются в клетки основного квадрата.
2. Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.
3. Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда.
4. Если число z вписано в клетку (x; y), то следующее число z+1 вписывается в клетку (x+1; y+1).
5. Если клетка (x+1; y+1) уже занята некоторым числом, то число z+1 вписывается в клетку (x; y-1).

Рассмотрим такой магический квадрат третьего порядка (рис.4.1). Число 1 вписано на основании правил 1 и 3, число 2- на основании правил 4 и 2, число 3- на основании правил 4 и 2, число 4- на основании правил 5 и 2, число 6- на основании правила 4, число 7- на основании правил 5 и 2, число 8-на основании правил 4 и 2, число 9- на основании правил 4 и 2.

	9	2	4
8	1	6	8
3	5	7	3
4	9	2

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.1.

Построение магического квадрата индийским методом.

 

 

Метод Москопула (метод коня)

Алгоритм последовательного заполнения клеток основного квадрата числами от 1 до :

1. Числа от 1 до поочередно вписываются в клетки основного квадрата.
2. Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.
3. Если n0 (mod 3), то начальная клетка, в которую вписывается число 1, выбирается произвольно; если же n≡0 (mod 3), то за эту клетку принимается средняя клетка нижнего горизонтального ряда.
4. Если некоторое число z вписано в клетку (x;y), то число z+1 вписывается в клетку (x+1;y+2) при условии, что эта клетка еще свободна от чисел.
5. Если клетка (x+1;y+2) уже занята некоторым числом, то число z+1вписывается в клетку (x;y+4).

Рассмотрим магический квадрат пятого порядка, построенный по данному методу (рис.4.2).

			21
	6
	12	25	8	16	4
	18		14	22	10
11	24	7	20	3
17	5	13	21	9	17
23	6	19	2	15	23
4	12	25	8	16
10	18	1	14	22

Рис. 4.2.

 Построение  магического квадрата методом  Москопула.

 

 

 

Метод альфила

Правила построения магического квадрата:

1. Числа от 1 до поочередно вписываются в клетки основного квадрата.
2. Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.
3. Число 1 вписывается в клетку (0;1).
4. Если число z вписано в клетку (x;y), то число z+1 вписывается в клетку (x+2;y+2)при условии, что эта клетка еще свободна от чисел.
5. Если клетка (x+2;y+2) уже занята, то число z+1 вписывается в клетку (x+1;y+3).

Пример построения магического квадрата пятого порядка (рис.4.3).

				6
		24	8	17		15
	21	10	19	3	12
23	7	16	5	14	23	7
9	18	2	11	25	9	18
20	4	13	22	6	20	4
1	15	24	8	17
12	21	10	19	3

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3.

Построение магического квадрата по методу альфила.