Магические квадраты

Рис. 7

 

 

3. Каждое число, находящееся вне центрального квадрата, перенесено внутрь - к его противоположной стороне, сдвигаясь при этом на 5 клеток.

                                 Магический квадрат готов (Рис. 8)

11	24	7	20	3
4	12	25	8	16
17	5	13	21	9
10	18	1	14	22
23	6	19	2	15

Рис 8.Магический квадрат нечётного  порядка. Метод Баше.

 

Я поясняю метод де Лялубера на примере построения квадрата 5-го порядка. Если поместить число 1 в центральную клетку верхней строки. Остальные натуральные числа расположить в порядке возрастания циклически по диагонали снизу вверх и справа налево.

Рис. 9

Дойдя до верхнего края квадрата,  заполнить диагональ, начинающуюся в нижней клетке следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата, перейти к диагонали, выходящей из левой клетки строкой выше. Дойдя до уже заполненной или до угловой клетки, опуститься на одну клетку вниз и продолжить процесс заполнения. В последней клетке будет число 25.

В результате получится магический квадрат, изображенный на рис. 9.

 

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

 

Рис. 9 Магический квадрат нечётного порядка. Метод Лялубера.

 

 

 

 

Построение  магического квадрата четного порядка

 

Я рассмотрела простой метод построения магического квадрата n-го порядка, где n=2, k>2.

Рассмотрела его на примере магического квадрата 8- го порядка, составленного из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующие шаги.

1.Разделила исходный квадрат на квадраты 4-го порядка. В каждом из них закрасила все клетки, лежащие на обеих диагоналях.

2. Заполнила клетки построчно данными числами, двигаясь слева направо и сверху вниз, пропуская при этом те из них, что соответствует закрашенным клеткам (рис.10).

 

	2	3			6	7
9			12	13			16
17			20	21			24
	26	27			30	31
	34	35			38	39
41			44	45			48
49			52	53			56
	58	59			62	63

Рис. 10

3 Выделенные на первом шаге клетки заполним пропущенными числами в порядке возрастания, двигаясь, справа налево и снизу вверх.

Магический квадрат  построен (Рис. 11)

 

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

Рис. 11

 

Я построила магический квадрат 4-го порядка, пользуясь простым методом построения магического квадрата четного порядка (Рис. 12).

 

16	2	3	13
5	11	10	8
9	7	6	12
4	14	15	1

Рис. 12

 

Дьявольские квадраты

 

Кроме уже перечисленных  магических квадратов существуют магические квадраты, которые можно назвать удивительными. Например «Дьявольский квадрат». Если его верхнюю строку переставить вниз или наоборот нижнюю строку поместить наверх, а так же если вычеркнуть последний столбец справа или слева и приписать его к квадрату с противоположенной стороны, то он все равно останется «Дьявольским». Если из одинаковых дьявольских квадратов выложить мозаику (каждый квадрат должен вплотную примыкать к своим соседям) то получится нечто вроде паркета, в котором числа стоящие в любой группе клеток 4х4 будут образовывать дьявольский квадрат. Числа в четырёх клетках, следующих последовательно одна за другой, как бы они ни были расположены по вертикали, по горизонтали или по диагонали,- в сумме всегда дают постоянную квадрата (Рис.13 а, б).

Рис.13, а

7	12	1	14
2	13	8	11
16	3	10	5
9	6	15	4

 
Рис.13, б

1	8	13	12
14	11	2	7
4	5	16	9
15	10	3	6

 

 

 

 

 

 

 

 

Великолепная  семёрка

Кроме «Дьявольского  квадрата» удивительным можно назвать  магический квадрат «Великолепная  семерка. Он имеет размер 7x7 и содержит в себе магический квадрат размером 5x5. А магический квадрат 5x5 содержит в себе магический квадрат размером 3х3. Все эти квадраты имеют общее центральное число – 3407. В квадрат размером 7х7 входят 49 чисел. Все они оканчиваются цифрой 7 и все простые. Сумма цифр в верхнем

«треугольнике» равна  сумме цифр в нижнем «треугольнике» (Рис.14).

 

1847	6257	6197	3677	1307	1877	2687
2267	1427	5987	5927	1667	2027	4547
2897	947	2357	4517	3347	5867	3917
3557	4157	4397	3407	2417	2657	3257
4337	5717	3467	2297	4457	1097	2477
4817	4767	827	887	5147	5387	1997
4127	557	617	3137	5507	4937	4967

Рис.14

 

 

 

 

Гимнастика для ума

А теперь предлагаю несколько  задач на исследование и построение магических фигур.

 

 

Головоломка Оксфордского студента

Когда молчаливого и задумчивого Оксфордского студента убедили задать головоломку своим товарищам по путешествию, он сказал:

- Я тут как-то размышлял над охраняющимися от чумы и прочих зол таинственными талисманами, в которых замешаны магические квадраты.

Глубока тайна подобных вещей, а числа таких квадратов воистину можно назвать великими. Но та небольшая загадка, которую я придумал накануне для всей компании, не столько трудна, чтобы ее нельзя было решить, вооружившись ненадолго терпением.

Затем студент изобразил квадрат (Рис. 15) и сказал, что его надо разделить на четыре части (вдоль прямых), из которых можно было бы сложить магический квадрат.

 

 

 

 

 

 

 

1	15	5	12
8	10	4	9
11	6	16	2
14	3	13	7

Рис. 15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

Решение показано на рисунке 16 а,б

 

1	15	5	12
8	10	4	9
11	6	16	2
14	3	13	7

1	11	6	16
8	14	3	9
15	5	12	2
10	4	13	7

 

Рис. 16 а                                                                             Рис 16 б.