Логикалық есептерді шығарудың негізгі әдіс

Логикалық есептерді  шығарудың негізгі әдіс-тәсілдері

Логикалық есептерді  шығарудың бірнеше тәсілдері  белгілі. Оларды былайша сұрыптайық

• Ойлау, ой жүгірту әдісі;
• Кестелер әдісі;
• Графтар әдісі;
• Блок-схема әдісі;
• Бильярд әдісі;
• Эйлер дөңгелектері әдісі.

Олардың әрқайсысына жеке-жеке тоқталайық.

Ойлау, ой жүгірту әдісі

Ойлау тәсілі – ең қарадүрсін әдіс болып табылады. Бұл әдіспен ең оңай логикалық есептер шығарылады. Оның идеясы есептің шарттарын біртіндеп қолдана отырып, шешу болатын ой тұжырымға келу болып табылады. Мысал. Болат, Серік және Мерей әр түрлі шетел тілдерін оқып үйренуде: қытай, жапон және араб. Кім қай тілді оқиды деген сұраққа олардың біреуі  былай деп жауап қайырды: "Болат қытай тілін оқиды, Серік қытай тілін оқымайды, ал Мерей араб тілін оқымайды". Соңында бұл айтылғанның ішінде тек бір тұжырымның ғана дұрыс, ал қалған екеуі қате екендігі анықталады. Сонымен кім қай тілді оқиды?

Шешуі. Үш тұжырым бар. Егер бірінші тұжырым дұрыс болса, онда екіншісі де дұрыс. Себебі олар әр тілді оқиды. Ал бұл есеп шартына қайшы, сондықтан бірінші тұжырым дұрыс емес. Егер екінші тұжырым дұрыс болса, онда бірінші мен үшінші жалған болуы керек. Онда қытай тілін ешкім оқымайтын болып шығады. Ал бұл есеп шартына қайшы келеді. Сондықтан екінші тұжырым да жалған. Сонда қалғаны енді үшінші тұжырым дұрыс, ал бірінші мен екінші тұжырымдар жалған. Демек, Болат қытай тілін оқымайды, қытай тілін Серік оқиды.

Жауабы: Серік қытай  тілін, Мерей жапон тілін, Болат  араб тілін оқып үйренеді.

Екінші әдіс: Кестелер әдісі

Көп жағдайда логикалық есептерді шешу үшін кестелер кеңінен қолданылады. Әдіс идеясы: ой-тұжырымдардың нәтижесін кесте түрінде беру.

Әдістің артықшылығы:

• Көрнекілік.
• Ой-тұжырымдау үрдісін қадағалау мүмкіндігі.
• Кейбір логикалық тұжырымдарды формалдандыру.

 Мысал. Үш клоун Бим, Бам және Бом цирк аренасына қызыл, жасыл және көк жейдемен шықты. Олардың аяқ киімдерінің түсі жейде түстеріндей болып келген. Бимнің жейдесінің түсі мен аяқ киімінің түстері бірдей. Бомның аяқ киімі де, жейдесі де қызыл емес. Бамның аяқ киімі жасыл, жейдесі басқа түсті. Клоундар қалай киінген?

Шешуі. Жейде мен аяқ киімнің түстері берілген кесте құрастырайық. Бамның аяқ киімі жасыл, ал жейдесі жасыл емес. + таңбасын 2-жол мен 5-ші бағанның қиылысуына қоямыз. – таңбасын 2-ші жол мен 2-ші бағанның қиылысуына қоямыз. Демек, Бим мен Бомның аяқ қиімдері жасыл болуы мүмкін емес, ал Бамның аяқ киімі көк не қызыл болуы мүмкін емес.

Бомның жейдесі мен аяқ киімі қызыл емес, сәйкес тор көздерге – таңбасын қоямыз. Сонда қазірде толтырылған кесетеден қызыл аяқ киімнің тек Бимде болуы мүмкін екендігі, ал сонда Бомда – көк аяқ киім болғаны. Кестенің оң жақ бөлігі толтырылды. Бимнің жейдесінің түсі аяқ киімінікіндей, ендеше қызыл. Жасыл жейденің иесі - Бом. Сонда Бамның жейдесінің түсі көк екендігі шығады. Сонымен кесте толығымен толтырылды: Бим қызыл жейде мен қызыл аяқ киімде. Бам көк жейде мен жасыл аяқ киімде, Бом жасыл жейде мен көк аяқ киімде.

 

 

Блок-схема әдісі

Әдіс идеясы: Амалдардың орындалу тізбегін сипаттау, олардың  орындалу ретін анықтау және қалып-күйлерін бекіту.

Логикалық есептердің тағы бір түрін  қарастырайық. Сыйымдылығы белгілі  ыдыстардың көмегімен қандайда бір  өлшемді сұйықты құйып алу, таразыға салу арқылы өлшеу есептері болып  табылады. Бұл есептерді шешудің  қарапайым тәсілі мүмкін болатын  барлық нұсқаларды толығымен теріп шығу. Әрине мұның көп уақыт алатыны және аса тиімді емес екендігі белгілі.

Жүйелі түрде бұл «құю» есептерін  шешуге болк-схемаларды пайдалану қолайлы  болып табылады.  Бұл әдістің  мағынасы мынада: алдымен сұйықты  дәл өлшейтін амалдарды ажыратып аламыз. Бұл амалдар команда деп аталады. Одан кейін бөлектенген командалардың орындалу тізбегі, кезегі анықталады.  Тізбек сызба түрінде толтырылады.  Осыған ұқсас сызбалар блок-схемалар деп аталынады және олар бағдарламалауда жиі қолданылады. Құрастырылған блок-схема бағдарлама болып табылады. Ал оның орындалуы қойылған есептің шешіміне алып келеді. Ол үшін бағдарламаны құрған уақытта сұйықты қандай мөлшерде алу керектігін атап көрсетсе жеткілікті. Әдетте кесте толтырады.

Мысал. Екі ыдыс бар, олардың сыйымдылықтары — үш литр және бес литр. Осы ыдыстарды қолдана отырып, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 және 8 литр су құйып алу керек. Біздің құзырымызда су ағатын кран мен су құятын раковина бар.

Шешуі. Келесі белгілемелерді енгізейік: ҮТ — үлкен ыдысты су ағатын кран арқылы толтыру; ҚТ — ыдысты су ағатын кран арқылы толтыру, ҮБ — үлкен ыдыстағы сұйықты раковинаға құю арқылы босату; КБ — кіші ыдыстағы сұйықты раковинаға құю арқылы босату; Ү—К — үлкеннен кішіге құю; К—Ү — кішіден үлкенге құю. Аталған командалардың ішінен тек үшеуін қарастырамыз: ҮТ, Ү — К, КБ. Бұл үш командадан басқа қосымша екі команданы қарастырамыз: Ү = 0 ? — үлкен ыдыс босады ма? К = Т ? — кіші ыдыс толды ма?

Осы бақылаулардың қорытындысынан кейін  "иә" немесе  "жоқ" командаларының біріне көшеміз. Мұндай командалар бағдарламалауда "шартты көшу" деп аталынады.

Ү- К командасынан кейін  КБ орындаймыз, ал ҮТ командасын үлкен босатылғаннан  кейін әруақытта орындап отырамыз. Командалар тізбегін блок-схема түрінде  береміз. Бағдарламаны орындауға жібереміз, ал нәтижесін кесте түрінде береміз.

 

Әрі қарай бұл тізбек жалғаса береді. Кестеден көріп отырғанымыздай екі ыдыстағы сұйықтың мөлшері 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 және т.с. Сонымен, осы берілген схема арқылы 1 ден 7 литрге дейін құюға болады екен. 8 литр алу үшін әрине екі ыдысты да толтыру керек болады.

Мысал. Төрт тиынның ішіндегі біреуі жалған тиын. Ол өзгелерінен массасы арқылы ерекшеленеді, бірақ жеңіл не ауыр екендігі белгісіз. Шын тиынның массасы 5 г. Массасы 5 г кір тасы бар. Таразыға екі рет өлшеу арқылы жалған тиынды қалай анықтауға болады. Осы жағдайда оның ауыр не жеңіл екендігін анықтауға болады ма?

Шешуі. ml, m2, m3, m4 – берілген төрт тиынның массасы, ал Кт – кір тасының массасы болсын.Шешімді блок-схема түрінде берелік.  Бұл келтірілген блок-схема жалған тиынды тауып, оның жеңіл немесе ауыр екендігін анықтайды. Блок-схемада өлшеулер шартты көшу операторлары- төртбұрыштар сәйкестендірілген. Схемада көлденең сызықпен бірінші және екінші өлшеулер бөлектеніп келтірілген.

 

Блок-схеманың бір тармағымен жүріп шешудің жолын түсіндіре  кетелік. Сонымен, бірінші өлшеу ml + m2 < m3 + Кт. Бұл жалған тиынның алғашқы  үш  тиынның арасында екендігін, демек, төртінші тиын жалған емес, яғни m4 = 5.

Екінші өлшеу: m1+m3 >m4+Кт болсын. Онда жалған тиын ауырырақ (себебі, m4+Кт – екі жалған емес тиынның салмағы) және ол не бірінші, не үшінші тиын болып табылады. Бірақ бірінші өлшегендегі таразы көрсеткіштері бойынша (m1+m2 <m3+Кт) үшінші тиынның ауыр екендігін аламыз. Егер екінші өлшегенде таразының көрсеткіштері қарама-қайшы келген болса, онда жалған тиын жеңіл болатын еді, онда жалған тиын біріншісі болар еді. Ең соңында таразының екінші өлшемінен кейін таразы басы тең болса, онда үшінші мен бірінші тиынның жалған болуы мүмкін емес. Ендеше екінші монета жалған және оның салмағы 5 граммнан кем болады.

Төртінші әдіс: Математикалық  бильярд әдісі

Әдіс идеясы:

Бильярд столын салып, бильярд шарларының қозғалыстарын жеке кестеде жазу.

Әдістің артықшылығы:

• Көрнекілік;
• Бильярд идеясының тартымдылығы;
• Әдісті есептердің жалпыламасына кеңінен тарату мүмкіндігі.

Көлденең кез келген нысанды тор дорбасыз бильярд  үстелін көз алдарыңызға елестетіңіз. Үстел үстінде нүктелі шар  үстел жақтауларымен абсолютті  түрде қатты соқтығысып, үйкеліссіз қозғалады. Осы шариктің траекториясы қандай? Осы сұраққа жауап математикалық бильярд теориясының туындауына алып келді.

«Құю» есептерін математикалық  бильярд әдісімен параллелограмм нышанды  бильярд үстелі бетіндегі шардың лақтырылу траекториясы бойынша  жеңіл шешуге болады. Алдыңғы блок-схема әдісімен шығарылған есепті қарастырайық.

Мысал. Екі ыдыс бар, олардың сыйымдылықтары — үш литр және бес литр. Осы ыдыстарды қолдана отырып, 4 литр су құйып алу керек. Біздің құзырымызда су ағатын кран мен су құятын раковина бар.

Шешуі. Қарастырылып отырған есепте параллелограммның қабырғалары 3 және 5 бірлік болулары керек. Көлденеңінен 5-литрлік ыдыстағы суды литр өлшемімен, ал тігінен - 3-литрлік ыдыстағы суды литр өлшемімен белгілеп отырамыз. Параллелограмм бірдей тең қабырғалы үшбұрыштарға торланған.

Бильярд шары тек қана параллелограммда тор көз құрайтын түзулер бойымен орын ауыстыра алады. Параллелограммның қабырғасына соғылғаннан кейін ол екінші жағына қозғалады, сонымен қатар бұл соғылысы ыдыстардың әрқайсысында қанша сұйықтың бар екендігін көрсетеді.

Шар төменгі сол жақ  бұрыштан жоғарғы жақтың А нүктесіне  жеткенге дейін қозғала береді. Ал бұл кіші ыдыстың толғанын көрсетеді. Шар оңға қарай төмен жылжижы  дағы төменгі жақтаудың В нүктесінде соғылады, оның координаталары  көлденеңінен 3, тігінен 0. Ал бұл үлкен ыдыста 3 литр сұйық, ал кіші ыдыста сұйықтың жоқ екендігін білдіреді, яғни кіші ыдыстағы сұйықтың үлкен ыдысқа құйылғандығын білдіреді.

 

Шардың әрі қарайғы  қозғалысын қадағалай отырып, кесте  түрінде жаза келе, кіші ыдыста сұйық жоқ, ал үлкен ыдыста 4 литр сұйықтың бар екендігін көрсететін Н нүктесіне келеміз. Сонымен, 4 литр сұйықты құйып алу шешімі келтірілген жауапты алдық. Барлық  8 құюды өрнектейтін кесте келтірілді. Бұл ең қысқа жол ма? Жоқ, екінші тәсіл бар. Егер алдымен сұйықты бес литрлікке құйған уақытта пайда болатын жол. Егер шар О нүктесінен оңға қарай параллелограммның төменгі қабырғасымен жүріп, параллелограммның жоғарғы қабырғасындағы 2 нүктесіне және т.с.с. онда тиімді қысқа шешімді аламыз.

 Мысал. Симфониялық оркестр құрамына үш музыкант қабылданды:  Берік,  Серік және Ерік, олар қобызда, домбырада, сырнайда, жетігенде, дауылпазда және үскірікте ойнай алады.

•   Серік ең ұзыны;

•   қобызда ойнайтынның  бойы домбырада ойнайтынның бойынан  кіші;

•  қобызда ойнаушы, домбырада ойнаушы және Берік  палауды жақсы көреді;

•   жетігенші мен  үскірікшінің дауын Серік шешеді;

•   Берік үскірікте де сырнайда да ойнай алмайды.

Егер әр музыкантшының  екі аспапта ойнай алатынын ескерсек, музыкантшылар қандай аспапта ойнай алады?

Шешуі. Кесте құрып, онда сәйкес тор көздерді егер айтылған тұжырым дұрыс болмаса  0 және дұрыс болса 1 цифрларымен толтырамыз.  Музыканттардың үшеу, аспаптың алтау және әр музыканттың екі аспапта ғана ойнай алатынын ескереміз. Төртінші шарттан Серіктің жетіген пен үскірікте ойнамайтынығы, ал үшінші мен бесінші шарттардан Беріктің қобызда, домбырада, сырнайда, үскірікте ойнай алмайтыны белгілі болады. Ендеше Беріктің ойнайтын аспаптары — жетіген және дауылпаз.  Бұны кестеге енгізелік. Ол үшін "жетіген" және "дауылпаз" тор көздерінен басқасын нөлдермен толтырамыз:

 

 

Кестеден үскірікте  тек Ерік қана ойнай алатыны белгілі. 1 және 2 шарттардан Серік қобызшы  емес екендігі шығады. Қобызда Берік  те, Серік те ойнамайтын болғандықтан қобызшының Ерік екендігі белгілі болды. Сондықтан Ерік жолындағы басқа торкөздерді нөлмен толтырамыз.

 

 

Кестеден домбыра мен  сырнайда тек Серіктің ойнай алатыны  көрініп тұр.

 

 

Жауабы: Берік жетіген пен  дауылпазда, Серік — домбыра мен сырнайда, Ерік — қобыз бен үскірікте ойнайды.

 

Қорытынды 

 

Математикалық білімнің маңызды мәселесі оқушылардың жалпы  ойлау әдістерін, кеңістіктік елестету әдістерін игеруі, қойылған есептің  мағынасын түсініп, логикалық ой тұжырымдау қабілетінің дамуы, ойлаудың алгоритмдік машықтарын жақсы игеруі болып табылады. Әр оқушының фактінің гипотезадан айырмасын білуі, талдай алуы, екінші жағынан түйсікті (кеңістікте елестете алу, нәтижені алдын-ала көре білу, шығару жолын таба білу) дамыта білуі өте маңызды болып табылады. Бүгінде математика басқа ғылымдардың дамуына айтарлықтай әсер ететін ғылым болып табылады. Математиканы оқыту мен оқудың негізгі мақсаттарының бірі адамның ойлау, ой тұжырымдау қабілеттерін дамыту, абстрактілі нысандармен жұмыс істей білу қабілетін дамыту болып табылады.