Логарифмическая функция

Логарифмическая  функция

Содержание

 

1. Понятие логарифма.

2. Графики логарифмических функций.

3. Свойства логарифмов.

4. Решение логарифмических уравнений.

5. Решение логарифмический неравенств.

Логарифмом  положительного  числа  b  по   положительному  и отличному от 1 основанию а  называют показатель степени, в  которую необходимо возвести  число а, чтобы получить число b.

 

Пример:

В зависимости от  значения основания приняты два  обозначения

 

0. Если основанием является 10, то вместо log10 x пишут   lg x.
1. Для введения следующего определения стоит понимать что за число e. 
   Число е есть предел, к которому стремится              при неограниченном возрастании n. Т.е 
    
    
    
   Вместо loge x принято писать ln x.

 

 

 

Можно выделить три  формулы

 

Из определения логарифма  следует следующее тождество:

 

Примеры:

Графики логарифмических  функции

 

1. y = lg x

2. y = ln x

3. y = loga x, a>1

4. y = loga x, 0<a<1

5. Свойства функции.

График функции y=lg x

График функции y=ln x

График функции y=loga x

 

a>1

График функции y=loga x

 

0<a<1

Свойства f(x)=loga x

 

0. D(f)=(0;+∞);
1. Не является ни четной, ни нечетной;
2. При a>1 функция возрастающая, при 0<a<1 функция убывающая;
3. Не ограничена;
4. Не имеет ни максимального, ни минимального значения;
5. Непрерывна;
6. E(f)=(- ∞;+ ∞);
7. Асимптота х=0;
8. Выпукла вверх при a>1, выпукла вниз при 0<a<1 
   

           Стоит заметить, что график проходит  через точки (1;0) и (а;1)

Свойства логарифмов

 

1. Логарифм произведения.

2. Логарифм частного.

3. Логарифм степени.

4. Логарифм корня.

5. Переход от одного показателя к другому.

6. Свойства натуральных логарифмов.

1. Логарифм произведения  равен сумме логарифмов множителей:

 

2. Логарифм частного  равен логарифмов делимого без  логарифма делителя:

3. Логарифм степени  равен произведению показателя  степени на логарифм ее основания:

 

4. Логарифм  корня  равен отношению логарифма подкоренного  выражения  и показателя корня:

5. Переход от одного  основания к другому

Свойства натуральных  логарифмов

 

Чтобы по известному  десятичному логарифму числа  х найти его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм  числа х на десятичный логарифм  числа е:

 

Чтобы по известному  натуральному логарифму числа  х найти его десятичный логарифм, нужно умножить натуральный логарифм  числа х на десятичный логарифм  числа е:

 

Число lg e=0.43429 называется  модулем десятичных логарифмов  и обозначается через М.

Решения логарифмических  уравнений

Решить уравнение:

 

Значит,

Решение логарифмических  неравенств

Решите неравенство: