Линейные уравнения

 

Целые и дробные рациональные уравнения

 

Рациональные уравнения – это уравнения, в которых и левая, и правая части являются рациональными выражениями.

(Напомним: рациональными выражениями  называют целые и дробные выражения  без радикалов, включающие действия  сложения, вычитания, умножения или  деления - например: 6x;  (m – n)²; x/3y и т.п.) 

 

Рациональное уравнение называется целым, или алгебраическим, если в нем нет деления на выражение, содержащее переменную.

Примеры целого рационального уравнения:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x 
— = 2x – 10 
4

Если в рациональном уравнении есть деление на выражение, содержащее переменную (x), то уравнение называется дробно-рациональным.

Пример дробного рационального  уравнения:     

15 
x + — = 5x – 17 
       x

 
Дробные рациональные уравнения обычно решаются следующим образом:

1) находят общий знаменатель  дробей и умножают на него  обе части уравнения; 2) решают получившееся целое  уравнение; 3) исключают из его корней  те, которые обращают в ноль  общий знаменатель дробей.

 

 

Примеры решения целых и дробных рациональных уравнений.

Пример 1. Решим целое уравнение

x – 1      2x        5x 
—— + —— = ——. 
   2         3           6

Решение:

Находим наименьший общий знаменатель. Это 6. Делим 6 на знаменатель и полученный результат умножаем на числитель  каждой дроби. Получим уравнение, равносильное данному:

3(x – 1) + 4x          5х 
—————— = —— 
            6                 6

Поскольку в левой и правой частях одинаковый знаменатель, его можно  опустить. Тогда у нас получится  более простое уравнение:

3(x – 1) + 4x = 5х.

Решаем его, раскрыв скобки и сведя подобные члены:

3х – 3 + 4х = 5х

3х + 4х – 5х = 3

2х = 3

х = 3:2

x = 1,5.

Пример решен. 

 

Пример 2. Решим дробное рациональное уравнение

x – 3     1        x + 5 
—— + — = ———. 
x – 5     x       x(x – 5)

Решение:

Находим общий знаменатель. Это x(x – 5). Итак: 

x² – 3х         x – 5            x + 5 
———   +  ———    =  ——— 
 x(x – 5)      x(x – 5)         x(x – 5)

Теперь снова освобождаемся  от знаменателя, поскольку он одинаковый для всех выражений. Сводим подобные члены, приравниваем уравнение к нулю и получаем квадратное уравнение:

x² – 3x + x – 5 = x + 5

x² – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x² – 3x – 10 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем его  корни: –2 и 5.

Проверим, являются ли эти числа  корнями исходного уравнения.

При  x = –2 общий знаменатель x(x – 5) не обращается в нуль. Значит, –2 является корнем исходного уравнения.

При x = 5 общий знаменатель обращается в нуль, и два выражения из трех теряют смысл. Значит, число 5 не является корнем исходного уравнения.

Ответ: x = –2 

 

 

 

 

 

 

 

Простейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

 
Особо отметим некоторые частные  случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул: 
, 
, 
; 
, 
, 
. 
Каждая из функций и определена на отрезке [-1; 1] и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: . 
Функции и определены на всей числовой прямой и

Функция является нечетной, то есть . Функция не является ни четной, ни нечетной: .  
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.  
Пример. Решить уравнение

(1)

Решение. 
Исходное уравнение равносильно совокупности

Решением первого уравнения  этой совокупности является семейство  , а второго – семейство . Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде . 
Ответ: 

 

Решение тригонометрических уравнений  разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

То всякое решение уравнения

(1)

Является решением совокупности уравнений 

(2)

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции . 
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений. 
 
Пример. Решить уравнение

(3)

Решение. 
Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде

 ^↔ 

↔

(4)

 
Грубой ошибкой, которую часто  допускают при решении, является сокращение левой и правой части  уравнения (4) на , так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

 ^↔ 
↔ 

 
Ответ:   

 

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие  тригонометрические тождества:

 
 

Пример. Решить уравнение

(1)

Решение. 
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену , тогда уравнение (1) примет вид

Введем подстановку  , тогда получим квадратное уравнение

Решая его, находим корни  . Затем осуществляя обратную подстановку или , получаем решение исходного уравнения. 
Ответ:   

 

 

 

Решение уравнений с помощью  введения вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение 

(1)

Разделим левую и правую часть  уравнения (1) на :

Так как 

то существует угол φ такой, что

при этом

Тогда уравнение (1) примет вид 

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор и выбор будут не всегда равносильны.  
Пример. Решить уравнение

(2)

Решение. 
Разделим левую и правую часть уравнения на . Тогда получим

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив  получим  
Ответ: 

 

Решение уравнений с применением  формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

 

Пример. Решить уравнение

Решение. 
Применив формулу понижения степени, получим

 
 
 

Последнее уравнение равносильно  совокупности трех уравнений

которые имеют соответственно следующие множества решений

Решение из множества  при содержаться в множестве ( ), а при в множестве  
Ответ: