Линейные уравнения и обобщенные обращения матриц

         ФГБОУ ВПО Рязанский агротехнологический университет им. П.А.Костычева

 

 

                                      КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

 

 

                        Курсовая работа 

                                 на тему:

      «Линейные  уравнения и обобщенные         

                   обращения матриц»

 

Выполнил:

Студент 22 группы

Специальности «финансы и  кредит»

Семаева Ю.Ю

Проверил:

Балашова О.В.

 

 

 

 

 

 

                                                    Рязань 2012 г

 

                                                  Содержание.

Введение.

1.Линейные уравнения.

2.Обобщенные обратные  матрицы.

3.Решение уравнений с  помощью обобщенных обратных  матриц.

4.Прямоугольные матрицы.

Заключение.

Литература.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Линейные  уравнения.

Линейное уравнение        

уравнение, в которое неизвестные  входят в 1-й степени (т. е. линейно) и  отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно одних и тех же неизвестных  образуют систему Л. у. Решением системы  Л. у. называют набор чисел c₁, c₂, ..., c_n, обращающих все уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных. Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).         

 Чаще всего встречается  случай, когда число уравнений  совпадает с числом неизвестных.  Одно Л. у. с одним неизвестным  имеет вид:        

 ax = b;        

 решением его при а ≠ 0 будет число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:        

        

(1)        

 где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂— какие-либо числа. Решение системы (1) можно получить с помощью определителей:        

        

,        

        

;        

 здесь предполагается, что стоящий в знаменателе  определитель  D заменой в нём одного столбца столбцом свободных членов b₁, b₂; в выражении для первого неизвестного x₁ заменяется первый столбец, а в выражении для второго неизвестного x₂ — второй.        

 Аналогичное правило  применимо и при решении любой  системы и Л. у. с n неизвестными, т. е. системы вида:        

        

(2)        

 здесь a_ij и b_i (i, j = 1, 2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты; числа b₁, b₂, ..., b_n называют обычно свободными членами. Если определитель D = ∣a_ij∣ системы (2), составленный из коэффициентов a_ij при неизвестных, отличен от нуля, то решение получается следующим образом: k-e (k = 1, 2, ..., n) неизвестное x_k равно дроби, в знаменателе которой стоит определитель D, а в числителе — определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов при отыскиваемом неизвестном (к-го столбца) столбцом свободных членов b₁, b₂, ..., b_n. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения, либо имеет бесконечное множество решений.        

 Если все b_i = 0 (систему Л. у. называют в этом случае однородной), то при D ≠ 0 решение системы (2) будет нулевым (т. е. все x_k = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:        

          

 Решение такой системы  неоднозначно; из неё, как правило,  можно найти только отношение  неизвестных:        

 x₁ : x₂ : ... : x_n = D₁ : D₂ : ... : D_n,        

 где D_n — умноженный на ( — 1)^k определитель, полученный из матрицы коэффициентов a_ij системы (3) вычёркиванием какого-то столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей D_i отличен от 0).        

 Впервые решение систем (2) было получено Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носит до сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у. было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.        

 Общая система m Л. у. с n неизвестными имеет вид:        

        

(4)        

 Вопрос о совместности  системы Л. у. (4), т. е. вопрос  о существовании решения, решается  сравнением рангов матриц        

        

 и        

        

 Если ранги совпадают,  то система совместна; если  ранг матрицы В больше ранга матрицы Л, то система несовместна (теорема Кронекера — Капелли). В случае совместности системы, её решения можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор наибольшего порядка г, отбрасывают m — r уравнений, коэффициенты которых не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся, и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят направо те неизвестные, коэффициенты которых не вошли в выбранный минор (свободные неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают систему из r уравнений с r неизвестными, которую можно решить по правилу Крамера. Найденные значения r неизвестных вместе со значениями свободных неизвестных дадут некоторое частное (т. е. одно из многих возможных) решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений, непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается общее решение, т. е. решение, в котором неизвестные выражены через параметры; давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные решения системы.        

 Однородные системы  Л. у. можно решать таким  же способом. Решения их обладают  тем свойством, что сумма, разность  и вообще любая линейная комбинация  решений (рассматриваемых как  n-мерные векторы) также будет  решением системы. Другими словами:  совокупность всех решений однородной  системы Л. у. образует линейное  подпространство n-мерного векторного пространства. Систему решений, которые сами линейно независимы и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации (т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой решений однородной системы Л. у.        

 Между решениями системы  Л. у. (4) и соответствующей однородной  системы Л. у. (т. е. уравнений  с теми же коэффициентами при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения однородной системы прибавлением к нему какого-либо частного решения неоднородной системы Л. у.        

 Большой наглядности  изложения в теории Л. у.  можно добиться, используя геометрический  язык. Привлекая при этом к  рассмотрению линейные операторы  в векторных пространствах (рассматривая  уравнения вида Ax = b, А — линейный оператор, х и b — векторы), легко установить связь рассматриваемых алгебраических Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах (системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в функциональных пространствах, например:линейные дифференциальные уравнения, линейные интегральные уравнения и др.         

 Применение правила  Крамера при практическом решении большого числа Л. у. может встретить значительные трудности, т. к. нахождение определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями. Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения систем Л. у.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Обобщенные  обратные матрицы.

Во многих приложениях (линейная алгебра, математическая статистика, теория управления, математическое программирование и др.) используются следующие специальные  линейные и нелинейные матричные  алгебраические уравнения с заданными  матрицами A и B полного или неполного  строчного (столбцового) ранга:

·     AX=XAT, X=XT (матрица X – правый симметризатор матрицы A),

·     XA=ATX, X=XT (X – левый симметриза- тор A),

·     AX=B, X=XT (симметричная прокрустова задача),

·     AX=B, X-1=XT (ортогональная прокрустова задача),

·     AX=B, XXT=E (несбалансированная ортогональная прокрустова задача; A и B имеют разное число столбцов, E – единичная матрица),

·     AX+XAT=C (уравнение Ляпунова; C и X – симметричные),

·     AX+XB=C (уравнение Сильвестра; X – прямоугольная).

Решение подобных уравнений  сопряжено со сложными вычислительными  проблемами [1-3], в связи с чем предлагается унифицированный подход, основанный на использовании параметризованных обобщенных обратных матриц [4].

В настоящее время получили широкое применение различные типы обобщенных обратных (псевдообратных, квазиобратных) матриц (ООМ) [5,6]. Для расчета основных  типов ООМ, и в первую очередь ООМ Мура–Пенроуза [5], имеются теоретически обоснованные надежные вычислительные алгоритмы и высокоэффективные программные модули, их реализующие.

В специальной литературе проблемы использования ООМ связываются  обычно с решением систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с прямоугольными матрицами неполного строчного  или столбцового ранга.

Известное соотношение для  получения общего решения матричного уравнения вида AX=B с прямоугольной  матрицей A размера n на m (n<m) полного (n=k) или неполного (k<n) строчного ранга (k=rank A)

X=A+B+(Em–A+A)Y

связывает исходную матрицу A, ее конкретную ООМ A+ и частное решение X0=A+B со свободными параметрами в  виде матрицы Y того же размера, что  и X, то есть является сверхпараметризованным (Em – единичная матрица порядка m).

В практических задачах возникает  проблема использования минимального числа свободных параметров, то есть проблема минимальной параметризации A+ и X, в частности для уменьшения вычислительной сложности алгоритмов. Минимальные и аппроксимирующие параметризации ООМ и решений  СЛАУ открывают также и новые  возможности решения многих задач  оптимизации и управления [4].

Предложенное единое параметризованное  представление ряда известных типов  ООМ

полученное для исходной матрицы A с помощью преобразования ее к виду

(диагональная редукция [6], S и Q – обратимые матрицы), позволило  разработать унифицированную схему  вычисления ООМ и решений СЛАУ  Xp=Ap+B с минимальным или заданным аппроксимирующим числом свободных параметров [4].

Рассмотрим проблемы нахождения точных или параметризованных МНК–решений  перечисленных выше уравнений и  возможности предлагаемого подхода  с использованием параметризованных  ООМ и решений СЛАУ на конкретных примерах, приведенных в [1-3].

Нахождение симметризаторов [1]. Симметризаторы используются при преобразовании задачи на собственные значения для несимметричных матриц в аналогичную задачу для симметричных матриц, которая решается на порядок проще, и в других приложениях, в частности в статистической теории оценивания. Известен ряд сложных алгоритмов нахождения точных симметризаторов, использующих соответственно кронекеровское произведение и специальную матрицу связи, сингулярное разложение, p – адическую арифметику или арифметику остатков по составному модулю.

На основе предлагаемого  в [1] подхода для примера с матрицей A вида

получено параметризованное  решение 

дающее при при конкретных значениях свободных параметров a, b и c все приведенные в [1] левые симметризаторы X.

Несбалансированная ортогональная  прокрустова задача [2]. Подобные задачи возникают в математической статистике (факторный анализ), в теории управления и в других приложениях. Известные  алгоритмы решения данной задачи весьма сложны и используют рекурсивно сингулярное разложение произведения двух матриц и поиск глобального  экстремума вспомогательной функции, аргументами которой являются значения элементов заданной строки X. С использованием параметризованной ООМ для матрицы A из [2] получено параметризованное представление Xp

а из системы нелинейных уравнений XTX=E найдены значения параметров a=0 и b=Ö3, определяющих точное решение X.

Уравнение Сильвестра [3]. Если матрицы A и B – вырожденные, то точного решения данного уравнения не существует (несовместное вырожденное уравнение), а приближенное решение обычно минимизирует одну из известных матричных норм для разности D=AX+XB–C. Для получения МНК–решения в [3] используется сумма кронекеровских произведений M=E°A+BT°E, вычисляются проекторы M+M и MM+ и осуществляются преобразования матриц к форме Хессенберга, а далее решается ряд вспомогательных СЛАУ и применяется один из известных численных методов решения невырожденного уравнения Сильвестра [7]. Использование параметризованных ООМ для матриц A и B позволило уменьшить вычислительную сложность решаемой задачи и получить качественно новые результаты в виде параметризованного представления решения X.

Для примера из [3] с матрицами