Линейное программирование

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение 4

1. ОБЩАЯ ЧАСТЬ 5

1.1 Общая задача линейного программирования, применение её для решения различных типов вычислительных задач. 5

1.2.Применение процессора Microsoft Excel для расчета задач линейного программирования 10

1.3. Использование технических и программных средств для решения задач линейного программирования 16

1.3.1.Microsoft Visual Basic 6.0 22

1.3.2 Microsoft Office 24

1.4. Алгоритм нахождения оптимального решения задач линейного программирования 26

2. СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ 27

2.1. Задание для курсового проекта 27

2.1.1.Приведение задачи к каноническому виду 28

2.2. Нахождение начального опорного решения (НОР) 29

2.3. Нахождение оптимального решения 30

2.4. Алгоритмы и их описание 33

2.5. Описание программы 42

2.6. Описание процесса отладки программы  обработка ошибок программы 44

2.7. Инструкция пользователю 48

3.Заключение 50

4. Приложения 51

Приложение №1. Внешний вид форм 51

Приложение №2. Программный код 54

Приложение№ 3.Таблицы Excel 66

Приложение № 4.Таблицы Excel с формулами 67

Список используемой литературы: 71

 

Введение

Данный курсовой проект предназначен для решения задач линейного  программирования.  Для этого  было необходимо произвести расчеты, используя  ручной метод решения задачи симплекс методом,  табличный процессор  MS Excel из пакета программ Microsoft Office, а также необходимо было написать программу в среде Microsoft Visual Basic.

Для решения задач линейного  программирования симплекс методом  в любом из вышеперечисленных  способов возникает ряд неудобств, например: при решении задачи вручную  при подсчетах таблиц можно ошибиться  и неправильно решить задачу, при  решении задачи в табличном процессоре Microsoft Excel существует необходимость переписывать формулы при составлении новой таблицы,  написание программы в среде Microsoft Visual Basic очень утомительное и занимает слишком много времени.

Данный курсовой проект предполагает решение индивидуального задания  тремя различными способами, а конечный результат должен привести нас к  выбору самого оптимального решения  задачи.

 

1. ОБЩАЯ  ЧАСТЬ

1.1 Общая  задача линейного программирования, применение её для решения  различных типов вычислительных  задач.

Существует множество форм деятельности предприятий, которые связаны с  распределением ресурсов. Эти ресурсы  включают труд, сырье, оборудование и  денежные средства. Иногда процесс  распределения ресурсов называют программированием. Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы. Если компания выпускает  продукцию нескольких видов с  использованием одного и того же оборудования и трудовых ресурсов, то ее администрация  должна решить, какое количество продукции  каждого вида производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации. Администрация  может задать цель наладить производство таким образом, чтобы максимизировать  общий выпуск продукции за месяц, максимизировать время использования  оборудования за неделю или минимизировать еженедельные затраты труда. Переменные решения — это количество продукции  каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени.

Аналогично, если компания обладает определенным капиталом для инвестирования ряда проектов, распределение денежных сумм по каждому проекту будет подчинено  некоторой цели. Она может заключаться  в минимизации риска или максимизации темпов роста капитала. Переменные решения в данном случае — это  денежные суммы, помещаемые в каждый проект.

В общем случае цель состоит в  определении наиболее эффективного метода такого распределения ресурсов по соответствующим переменным, которое оптимизирует некоторый результат функционирования системы. Очень часто полезным инструментом в процессе распределения ресурсов являются методы моделирования. Математическим программированием называется использование математических моделей и методов для решения проблем программирования. Существует ряд различных методов, основанных на идеях математического программирования, однако мы рассмотрим только один из них, который нашел наиболее широкое применение — линейное программирование.

Линейное программирование является подходящим методом для моделирования  распределения ресурсов, если цель и ограничения на ресурсы можно  выразить количественно в форме  линейных взаимосвязей между переменными. Этот метод включает в себя ряд  шагов:

1. Необходимо осуществить математическую формализацию задачи линейного программирования. Это означает, что нужно идентифицировать управляемые переменные и цель задачи. Затем с помощью этих переменных цель и ограничения на ресурсы описываются в форме линейных соотношений.
2. После завершения формулировки задачи линейного программирования рассматриваются все допустимые сочетания переменных. Из них выбирается то, которое оптимизирует целевую функцию задачи. Если исследуемая задача содержит только две переменные, ее можно решить графически. Однако в случае исследования задачи со многими переменными необходимо прибегнуть к одному из алгебраических методов решения задач линейного программирования, для использования которых существуют пакеты прикладных программ.
3. Когда оптимальное решение получено, производится его оценка. Она включает в себя анализ задачи на чувствительность.

Решение задачи линейного программирования, как и любой иной математический инструмент, применяемый в теории принятия решений, является лишь одним  из факторов, влияющих на конечное решение, принимаемое администрацией. Рассмотрение линейного программирования начинается с формулировки задачи.

Основная процедура является общей  для формулирования всех задач линейного  программирования:

Шаг 1. Определение переменных задачи, значения которых нужно получить в пределах существующих ограничений.

Шаг 2. Определение цели и ограничений на ресурсы.

Шаг 3. Описание цели через переменные задачи.

Шаг 4. Описание ограничений через переменные задачи

В своем курсовом проекте я рассчитывал  задачу симплекс методом, о котором  я расскажу далее.

Если задача линейного  программирования содержит более двух переменных, то ее решение требует  применения некоторого алгебраического  метода. Принцип, лежащий в основе решения задачи с множеством переменных, достаточно прост. Предполагается, что  оптимальному решению соответствует  одна из крайних точек допустимого  множества. Следовательно, необходимо провести оценку значений целевой функции  во всех крайних точках допустимого  множества и выбрать ту из них, в которой достигается оптимальное  значение целевой функции. Мной используются методы матричной алгебры и такой  алгоритм перехода от одной крайней  точки допустимого множества  к другой, при котором переход  осуществляется только в случае, когда значение целевой функции улучшается. Если оказывается, что некоторое базисное решение улучшить уже нельзя, то оно является оптимальным планом задачи. Этот алгоритм получил название симплекс-метода. Нет необходимости вдаваться в детали алгоритма симплекс-метода, поскольку для решения задач линейного программирования с множеством переменных используется, как правило, один из компьютерных пакетов прикладных программ, которые общедоступны и широко применяются для этих целей. Однако для более полной интерпретации и всесторонней оценки решения задачи линейного программирования, полученного с использованием пакета прикладных программ, с основными принципами этого метода полезно ознакомиться.

В обычном симплекс-методе принимается  предпосылка о максимизации целевой  функции задачи линейного программирования в условиях системы ограничений  со знаком " ". Это означает, что при реализации данного алгоритма в качестве начальной крайней точки может быть выбрано начало координат. Поиск оптимального решения всегда начинается со значения целевой функции, равного нулю.

Симплекс-метод можно применять  также и в решении задач  минимизации, и в решении задач, система ограничений которых  содержит ограничения со знаком " " или уравнения. Эта процедура предусматривает введение в задачу искусственных, а также избыточных и остаточных переменных.

Базовую модель, с которой я работал  в дальнейшем, формально можно  представить следующим образом:

Максимизировать Z = с₁х₁ + с₂x₂ + ... + с_nх_n.

Здесь с_i - константы. Данная функция максимизируется в условиях системы m линейных ограничений:

a₁₁х₁ + а₁₂x₂ + а₁₃x₃ + … + a_1nx_n b₁

a₂₁х₁ + а₂₂x₂ + а₂₃x₃ + … + a_2nx_n b₂

a₃₁х₁ + а₃₂x₂ + а₃₃x₃ + … + a_3nx_n b₃

a_m1х₁ + а_m2x₂ + а_m3x₃ + … + a_mnx_n b_m

x₁ 0

Данная система содержит n переменных и m ограничений. Первая цифра  двойных индексов коэффициентов  в левой части системы ограничений  соответствует номеру ограничения, вторая — номеру переменной. Например, a₃₂ принадлежит ограничению 3 и является коэффициентом при переменной х₂.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2.Применение  процессора Microsoft Excel для расчета задач линейного программирования

Microsoft Excel — одна из программ  пакета Microsoft Office, представляющая собой  программируемый табличный калькулятор.

Область применения Excel широка:

• благодаря тому, что лист Excel представляет собой готовую таблицу, Excel часто используют для создания документов без всяческих расчётов, просто имеющих табличное представление (прайс-листы в магазинах, расписания);
• в Excel легко можно создавать различные виды графиков и диаграмм, которые берут данные для построения из ячеек таблиц (график снижения продаж на предприятии за указанный период);
• его могут использовать обычные пользователи для элементарных расчетов (сколько потратил за этот месяц, что/кому/когда дал/взял);
• Excel содержит многие математические и статистические функции, благодаря чему его могут использовать школьники и студенты для расчетов курсовых, лабораторных работ;
• Excel интенсивно используется в бухгалтерии - во многих фирмах это основной инструмент для оформления документов, расчётов и создания диаграмм. Естественно, он имеет в себе соответствующие функции;
• Excel может также работать как база данных.

Минимальные системные  требования:

• Операционная система Microsoft® Windows® 95/98/Me/2000/XP/Vista/Seven
• Процессор Pentium® 200 МГц MMX
• 16 МБ оперативной памяти
• Разрешение экрана 800х600 с глубиной цвета 16 бит
• 16-битное звуковое устройство
• 8-скоростное устройство для чтения компакт-дисков или DVD-дисков

Excel - программируемый табличный калькулятор. Все расчеты в Excel выполняют формулы. Формулой Excel считает все, что начинается со знака «=». Если в ячейке написать просто «1+1», Excel не будет вычислять это выражение. Однако если написать «=1+1» и нажать Enter, в ячейке появится результат вычисления выражения - число 2. После нажатия Enter формула не пропадает, ее можно увидеть снова, если сделать двойной щелчок по ячейке, или если выделить ее и нажать F2 или просто нажать Ctrl + «Апостроф». Также ее можно увидеть в панели инструментов «Строка формул», если опять же выделить ячейку. После двойного щелчка, нажатия F2 или после щелчка в строке формул, можно изменить формулу, и для завершения нажать клавишу Enter.

В формуле можно использовать различные  типы операторов (арифметические и  т. п.), текст, ссылки на ячейку или диапазон ячеек, круглые скобки, именованные  диапазоны. Естественно, в формулах соблюдается приоритет выполнения операций, (умножение выполняется  раньше сложения и т. п.). Для изменения  порядка выполнения операций используются круглые скобки.

Ниже я представлю пример решения  задачи линейного программирования в Microsoft Excel с использованием модуля «Поиск решения»

MS Excel содержит модуль «Поиск  решения» позволяющий осуществлять  поиск оптимальных решений, в  том числе решение задач линейного,  целочисленного, нелинейного и стохастического  программирования.

Постановка задачи осуществляется посредством задания ячеек для  переменных и записи формул с использованием этих ячеек для целевой функции  и системы ограничений. Например, на рис 1.1 приведена постановка задачи линейного программирования с целочисленным  решением.

Математическая модель этой задачи, записанная в обычной математической форме:

Целевая функция 

S = 60*x1+70*x2+120*x3+130*x4         → max

 

Система ограничений

1*x1+1*x2+1*x3+1*x4 ≤ 16

 

6*x1+5*x2+4*x3+3*x4 ≤ 110

 

4*x1+6*x2+10*x3+13*x4 ≤ 150

 

x1, x2, x3, x4 ≥ 0 - целые

 

В Excel математическая модель может  быть представлена, в лучшем случае, в виде таблицы чисел. Размещение данных в Excel оформляется в свободном  порядке, формы ввода не предусмотрены.

 

Рис 1 Модуль «Поиск решения» программы MS Excel

Далее, переходим к решению. Выбираем в меню «Сервис | Поиск решения». Открывается диалоговое окно «Поиск решения». Здесь указывается ячейки целевой функции, переменных и устанавливаются  ограничения исходя из системы ограничений. Можно начать решение, или установить «параметры» решения (рис.1.2).