Линейная алгебра

 

Решить систему означает найти  множество всех ее решений.

Две системы называются равносильными  (эквивалентными < = >) если они имеют  одно и то же множество решений.

Чтобы решить систему ее надо преобразовать  в более простые уравнения. Если вновь полученная система достаточно сложна, то ее надо вновь преобразовать  к еще более простому виду тем  или иным способом, и так действовать  до тех пор, пока не получим систему  простейшего вида, которая позволяет  найти все ее решения.

При таких преобразованиях систем лучше всего использовать только равносильные преобразования, т.е. преобразования, не приводящие ни к потере решений, ни к приобретению решений.

Ряд преобразований называемые элементарными  преобразованиями, которые являются равносильными.

 

Элементарные преобразования систем:

1. Перестановка уравнений
2. Умножение обеих частей любого уравнения на число не равное 0
3. Прибавление к обеим частям любого уравнения соответствующих частей другого уравнения умноженного на число не равно 0
4. Вычеркивание уравнений вида 0*X₁+0*X₂+ …+0*X_n=0

Если мы в процессе решения, какой либо системы получили уравнения вида 0*X₁+0*X₂+ …+0*X_n =b≠0 , то это означает, что данная система является противоречием и не имеет решений, и на этом процесс решения необходимо закончить.

 

Методы решения систем:

1. Метод Гаусса - универсальный и простой метод решения. Суть его в том, что он только для линейных уравнений, исходную систему сводим путем соответствующих элементарных преобразований к системе, где все коэффициенты равны 0.
2. Метод Крамера – основан и применяется только в том случае, если определитель матрицы данной системы  ≠0.

d=|A|≠0, m=n

X₁=d₁ / d;  X₂=d₂ / d и т.д. X_n=d_n / d

 Определитель  d₁ получается из определителя d подстановкой с конца свободных членов, аналогично определитель  d₂ получается из определителя d подстановкой вместо второго столбца свободных членов и т.д.

 

Элементы аналитической  геометрии

 

1. Прямые на плоскости:

Уравнения прямой на плоскости. Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания прямой соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Уравнение прямой линии, пересекающей ось   в точке   и образующей угол   с положительным направлением оси  :

Коэффициент   называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси 

 

  Общее уравнение прямой:

 где  ,   и   — произвольные постоянные, причем постоянные   и   не равны нулю одновременно. Вектор с координатами   называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой. При   прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде

     Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении:

Пусть прямая проходит через точку М (х₀;у₀) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Уравнение этой прямой можно записать в виде y=kx+b,  где b – пока неизвестная величина. Так как прямая проходит через точку М(х₀;у₀), то координаты точки удовлетворяют уравнению прямой: у₀=kx₀+b. Отсюда b=y₀ – kx₀. Подставляя значение  b в уравнение y=kx+b, получим искомое уравнение прямой y=kx + y₀ – kx₀,  т.е.  y – y₀ = k(x-x₀). Это уравнение с различными значениями k называют также уравнениями пучка прямых  с центром в точке М(х₀;у₀). Из этого пучка нельзя определить лишь прямую, параллельную оси О_у.

    Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пусть прямая проходит через точки   и 

Уравнение прямой проходящей через точку М₁,  имеет вид: 

y-y₁=k(x-x₁), где k – пока неизвестный коэффициент.

Так как прямая проходит через точку  , то координаты этой точки должны удовлетворять уравнению: y₂ - y₁=k(x₂ – х₁).Отсюда находим k= . Подставляя найденное значение  k в уравненение y-y₁=k(x-x₁), получим уравнение прямой, проходящей через точки М₁ и М₂:   . Предполагается, что в этом уравнении x₁ ≠ x₂, y₁≠ y₂.

Если  х₂ = х₁, то прямая проходящая через точки М₁ (х₁;у₁) и М₂ (х₂;у₂), параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид х=х₁.

Если у₂=у₁, то уравнение прямой может быть записано в виде у=у₁, прямая М₁М₂ параллельна оси абцисс.

 

 Уравнение прямой в отрезках:

 

Пусть дана прямая  . Если  , то, разделив на (-С).Имеем:  , или  .Обозначив  ,   , получим   – уравнение прямой в отрезках;   и   – отрезки, которые она отсекает на осях координат. 

 

 

Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору:

Пусть дана некоторая точка М₀ и вектор n. Проведем через точку М₀ прямую l перпендикулярно вектору п.

 

Пусть М — произвольная точка. Точка  М лежит на прямой l в том и только в том случае, когда вектор M₀M  перпендикулярен вектору n, а для этого необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение векторов п и M₀M равнялось нулю:

п • M₀M = 0.              (1)

Чтобы выразить последнее равенство в  координатах, введем прямоугольную  декартову систему координат. Пусть  точки М₀ и М имеют координаты (х₀ ; у₀ ) и (х; у).  
Тогда    M₀M = (х — х₀; у — у₀).   Обозначим координаты нормального вектора п через (А; В). Теперь равенство (1) можно записать так:

А(х — х₀) + В(у — у₀) = 0.    (2)

Уравнение (2) есть уравнение прямой l, проходящей через данную точку М₀(х₀ ; у₀ )  перпендикулярно данному вектору n = (А; В).

 

Полярное  уравнение прямой:

Найдем уравнение прямой в полярных координатах. Ее положение можно  определить, указав расстояние ρ от полюса О до данной прямой и угол α между полярной осью ОΡ и осью l, проходящей через полюс О перпендикулярно данной прямой.

Для любой точки   на данной прямой имеем: пр_ƖOM=p.

С другой стороны, np_Ɩ OM =|OM| * cos (a-φ)=r * cos(φ-a).

 

Следовательно, rcos(φ-a) = p.   

Полученное уравнение и есть уравнение прямой в полярных координатах.

 

    Нормальное уравнение  прямой:

 

Пусть прямая определяется заданием p и α. Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxy. Введем полярную систему, взяв O за полюс и Ox за полярную ось. Уравнение прямой можно записать в виде:

r *cos(φ – a)- p=0, т.е r*cosφ cosa+r sinφ sina – p=0.

Но, в силу формул, связывающих прямоугольные  и полярные координаты, имеем: r cosφ = x, r sinφ  = y. Следовательно, уравнение rcos(φ-a) = p прямой  в прямоугольной системе координат примет вид:

x * cosa + y * sina – p =0

Уравнение называется нормальным уравнением прямой.

множителем.  Согласно третьему  равенству     знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена С общего уравнения прямой.

 

 

Угол между двумя прямыми  и условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловыми коэффициентами y=k₁x+b₁  и y=k₂x+b₂

Требуется найти угол φ, на который  надо повернуть в положительное направлении прямую L₁ вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой L₂.

 

Решение: Имеем a₂=φ+a₁ (теорема о внешнем угле треугольника) или φ=a₂ – a₁. Если φ≠ π/2, то

Но tga₁=k₁, tga₂=k₂, поэтому 

         

откуда легко получим величину искомого угла.

Если требуется вычислить острый угол между прямыми, не учитывая, какая  прямая является первой, какая —  второй, то правая часть формулы берется по модулю, т. е.  .

 

Если прямые L₁ и L₂ параллельны, то φ = 0 и tgφ=0. Из формулы следует k₂-k₁=0, т. е. k₂=k₁. И обратно, если прямые L₁и L₂ таковы, что k₂=k₁, то tgφ=0, т. е. прямые параллельны. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов: k₁=k₂.

Если прямые L₁ и L₂  перпендикулярны, то φ= π/2. Следовательно,

ctgφ= 1+k₁*k₂/ k₂-k₁=0. Отсюда 1+k₁*k₂=0, т. е.k₁*k₂= -1   (или  ).

Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, условием перпендикулярности прямых является равенство k₁*k₂= -1.

 

Расстояние от точки до прямой:

 

Пусть заданы прямая L уравнением Ax+By+C=0 и точка M₀(x₀;y₀). Требуется найти расстояние от точки M₀ до прямой L.

Решение:  Расстояние d от точки M₀ до прямой L равно модулю проекции вектора M₁M₀, где M₁(x₁;y₁) - произвольная точка прямой L, на направлении нормального

вектора n=(A;B). Следовательно,

Так как точка M₁(x₁;y₁) принадлежит прямой L, то A_X1+B_Y1+C=0,

т. е. C= -A_X1 – B_Y1. Поэтому   , что и требовалось получить.

2. Прямые и плоскости в пространстве:

 

Уравнения плоскости в пространстве:

 

Получим сначала уравнение  плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору n = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору n, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0.                                                              (1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка  заданной плоскости – уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (1) в виде:                    

Ax + By + Cz + D = 0,                                                                        (2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости. 

 

 

 

 

Неполные уравнения плоскости.   

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (2) называют неполным.

Рассмотрим возможные  виды неполных уравнений:

1)       D = 0 – плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2)       А = 0 – n = {0,B,C} Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3)       В = 0 – плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4)       С = 0 – плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5)       А = В = 0 – плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6)       А = С = 0 – плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7)       B = C = 0 – плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8)       А = D = 0 – плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9)       B = D = 0 – плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10)    C = D = 0 -  плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11)    A = B = D = 0 – уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12)    A = C = D = 0 – получаем Ву = 0 – уравнение координатной плоскости Охz.

13)    B = C = D = 0 – плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение  плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен  нулю), его можно привести к виду:                      

                                                                                    (3)

называемому уравнением плоскости в отрезках. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях. 

 

Уравнения прямой в пространстве:

 

Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Первая возможность  составить уравнения прямой в  пространстве – представить эту  прямую как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0   и   A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны:  

 

 

                         A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0                                                                   (1)

 

 

                         A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

Однако при решении  многих задач удобнее пользоваться другими уравнениями прямой, содержащими  в явной форме некоторые ее геометрические характеристики.

Составим уравнения  прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a={l,m,n}.

Определение 1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.   

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:                         

                                                               (2)

называемые каноническими уравнениями  прямой в пространстве.

В частности, если требуется  получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ = {x₂ – x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения (2) принимают вид: