Лекция по "Высшей математике"

 

Наглядное изображение  эллипсоида находится на следующей  странице.

 

 

 

Эллипсоид .

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Гиперболоиды.

Ä  1°. Однополостный гиперболоид. Обратимся к каноническому

уравнению (4) однополостного гиперболоида

 

 

 

Из уравнения (4) вытекает, что координатные плоскости являются плоскостями симметрии, а начало координат — центром симметрии однополостного гиперболоида.

 

 

 

Ä  2°. Двуполостный гиперболоид. 
 
 
                           
 
 
Из канонического уравнения (5) двуполостного гиперболоида вытекает, что координатные плоскости являются его плоскостями симметрии, а начало координат — его центром симметрии.

 

3. Параболоиды.

Ä  1°. Эллиптический параболоид. Обращаясь к каноническому уравнению (14) эллиптического параболоида

 

 

мы видим, что для  него Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz, представляющая линию пересечения этих плоскостей, называется осью эллиптического параболоида.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ä  2°. Гиперболический параболоид.   Из   канонического уравнения (15)  
 
 
 
 
гиперболического параболоида вытекает, что плоскости Oxz и Оуz являются плоскостями симметрии. Ось Oz называется осью гиперболического пaраболоида.

 

Прим.: получение «карты высот» для гиперболического пaраболоида несколько отличается от аналогичной процедуры для вышеприведенных поверхностей 2-го порядка, поэтому я также включил его в свой реферат.

 

Линии z=h пересечения гиперболического параболоида плоскостями z=h представляют собой при h>0 гиперболы

 

с полуосями

а при h < 0 —сопряженные гиперболы для гипербол (24)

 

 

 

  с полуосями

 

Используя формулы (24)—(27), легко построить  «карту» гиперболического параболоида. Отметим еще, плоскость z=0 пересекает гиперболический параболоид по двум прямым :

 

Из формул (25) и (27) вытекает, что прямые (28) являются асимптотами гипербол (24) и (26). 
Карта гиперболического параболоида дает представление о его пространственной форме. Как и в случае эллиптического параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Oxz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сечением параболоида плоскостью Oyz (Oxz).

Прим.: Изображение гиперболического пaраболоида дано на следующей странице.

 

 

 

 

Гиперболический параболоид.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Конус  и цилиндры второго порядка.

Ä  1°.  Конус второго порядка 
 

 
Убедимся, что вещественный конус S образован прямыми линиями, проходящими через начало О координат. Естественно называть точку О вершиной конуса.

Для доказательства сформулированного  утверждения, очевидно, достаточно установить, что прямая L, соединяющая произвольную, отличную от начала координат точку  
М₀(х₀, у₀, z₀) конуса (6) и начало координат О , целиком располагается на конусе, т. е. координаты (х, у, z) любой точки М прямой L удовлетворяют уравнению (6).

Так как точка М₀(х₀, у₀, z₀) лежит на конусе (6), то :

Координаты (х, у, z) любой точки М прямой L равны соответственно tx₀ , ty₀ , tz₀ , где t—некоторое число. Подставляя эти значения для х, у и z в левую часть (6), вынося затем t² за скобку и учитывая (29), мы убедимся в том, что М лежит на конусе. Таким образом, утверждение доказано. Представление о форме конуса может быть получено методом сечений. Легко убедиться, что сечения конуса плоскостями z = h представляют собой эллипсы с полуосями :

 

Ä  2°. Эллиптический цилиндр.

 
 
 
Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz . 

Ä  3°. Гиперболический цилиндр. 

 
 
 
Состоит из прямых линий, параллельных оси Oz . 
 
 
 
 
 
 

Ä  4°. Параболический цилиндр. 
 
a₃₃ z² + 2q´y  = 0                                (19) 
Путем переименования осей координат и простых арифметических операций из уравнения, (19) мы получим новое, компактное уравнение параболического цилиндра.

 

 

 

Список использованной литературы.

 
  
 
1.   «Аналитическая геометрия»      В.А. Ильин, Э.Г. Позняк