Лекция по "Математике"

Тема3.2.1:  Методика изучения линейных уравнений

 

Цели: Знать методику изучения линейных уравнений, требования к овладению алгоритмом решения уравнений.

 

Лекция. В курсе  средней школы рассматриваются различные классы уравнений и неравенств, расположенных по мере их усложнения. К ним относятся:

-    линейные;

-    квадратные;

-    дробно-рациональные;

-    показательные;

-    логарифмические;

-    иррациональные;

-    тригонометрические.

Первым классом уравнений  в курсе алгебры являются уравнения  с одним неизвестным.

При изучении этого класса уравнений  уделяется внимание формированию общего понятия об уравнении.

Первая методическая задача, с которой  учитель сталкивается – выделение  формальной части понятия уравнения  из той ситуации, в которой оно  возникает.  Обычно такой ситуацией является текстовая задача, решение которой алгебраическим способом приводит к составлению уравнения первой степени с одним неизвестным.

Основной метод для  решения задачи – переход к  её алгебраической модели, общий вид  которой f(x) = q(x), где f и q – некоторые выражения, содержащие неизвестную х.

Анализируя полученную формулу, учитель приводит формулировку общего понятия уравнения и вводит связанные с ним термины: левая  и правая части, неизвестная, корень уравнения, коэффициент.

В разных учебниках трактуются разные термины, важно применять только термины из действующего учебника.

Уравнения вида ах = в, где  х – переменная; а, в – числа  называются линейными с одной  переменной.

Этот узкий класс  уравнений выполняет свою роль:

а) они просто решаются;

б)  запись уравнений  этого класса играет роль образца, к  которому можно с помощью преобразований свести уравнения других видов.

В итоге тематического  изучения первого класса уравнений  учащиеся должны овладеть

-    алгоритмом  решения уравнений данного класса;

-  умением  применять   результаты  исследований  при  решении уравнений данного класса;

- применением уравнений  данного класса к решению задач.

 

 Итог занятия.

 

Тема 3.2.2: Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными  (1 лекция).

Цели: Знать методику введения уравнения с двумя переменными; уметь выражать одну переменную через другую, строить график уравнения с двумя переменными.

 

 Лекция. С помощью линейных уравнений с одной неизвестной решаются многочисленные задачи, в которых имеется или одно неизвестное, или «ведущее», главенствующее неизвестное, через которое выражаются остальные. Часто в задачах встречаются несколько равноправных ситуаций, для разрешения которых существует класс систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Перед введением понятия  о системе уравнений, изучается  тема «Уравнение с двумя неизвестными»  и в связи с этим рассматриваются  2 важных вопроса:

1)  выражение одной  переменной через другую;

2)  график уравнения  с двумя переменными.

Существенно новым представлением для учащихся является то, что решением уравнения с двумя неизвестными служит не число, а упорядоченная пара чисел.

Вторым представлением, расширяющим кругозор учащихся, служит то, что множество решений уравнения  с двумя неизвестными бесконечно, и что на плоскости это множество точек – линия.

Изучение темы тесно  связано с понятием функции; уравнение, в котором одна переменная выражена через другую, напоминает формулу  функции, а график функции и график уравнения представляет собой одну линию.

Деталью изучается тема «Линейные уравнения с двумя неизвестными». Вырабатываются навыки перехода от линейного уравнения ах + ву = с, где а 0, в 0 к уравнению у = кх + в, или х = k₁y₁ + в₁.

Усваивается    факт,    что    графиком    линейного    уравнения    с    двумя переменными является прямая и вырабатывается навык построения этих прямых.

 

Тема 3.2.2: Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными  (2 лекция).

Цели: Знать необходимость введения систем уравнений; уметь ввести систему линейных уравнений, знать методику решения систем различными способами.

 

Лекция. Переход к изучению систем целесообразен при помощи текстовой задачи с двумя равноправными ситуациями. Существенно то, что в ответе получается пара чисел.

Например: На турбазе имеются палатки  и домики, вместе их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в палатке – 2. Сколько на турбазе палаток  и сколько домиков, если турбаза  рассчитана на 70 человек?

   х + у = 25

   4х + 2у = 70          х = 10; у = 15

 

Основное содержание рассматриваемой темы состоит в  изучении двух алгебраических способов решения - подстановки и сложения,  и графического способа решения.

Алгоритм решения систем линейных уравнений намного сложнее  алгоритма решения линейного  уравнения с одной неизвестной. Поэтому при их изучении учитель должен четко указывать последовательность операций, а также провести изучение каждого действия.

 

1)     2у –  4х = 15            Решить графически.

         у – х = 1

 

Алгоритм:

1. Выразить в обоих  уравнениях у через х.

2. Построить графики уравнений.

3. Вычислить координаты точки  пересечения.

4. Записать в ответ пару чисел.

Изучаются замечания:

Если k₁ k₂, то графики пересекаются; система имеет одно решение.

Если k₁ = k₂, a b₁ b₂ то графики параллельны, система не имеет решений.

Если k₁ = k₂, a b₁= b₂ то графики совпадают, система имеет множество решений.

У перпендикулярных прямых k₁ ∙ k₂ = –1.

Если b₁ =b₂, то графики пересекаются в точке (0, b).

2.      Решить способом подстановки.

    2у – Зх = 4         

                3у – 5х = 6

Алгоритм:

а) Выразить в первом уравнении  х через у.

б) Подставить полученное выражение вместо х во второе уравнение.

в) Решить второе уравнение  относительно х.

г) Подставить найденное значение х в первое уравнение и вычислить у.

д) Записать ответ.

3. Решить способом  сложения.

х + у = 3    

х – у = 5

Алгоритм:

а) Путем  умножения  на  число  получить  противоположные  коэффициенты при х(у).

б) Сложить два уравнения  системы и записать первым полученное уравнение.

в) Записать вторым любое  уравнение системы.

г) Решить первое уравнение.

д) Подставить найденную  в первом уравнении переменную во второе уравнение системы и вычислить  другую переменную.

е) Записать в ответе пару чисел (пары).

Итог занятия.

 

Вопросы для  самопроверки:

1. Дать определение линейного уравнения.
2. Рассказать методику решения линейных уравнения.
3. Линейные уравнения с двумя неизвестными и их график.
4. Системы линейных уравнений с двумя неизвестными.
5. Алгоритмы решения систем способом подстановки, сложения, графическим способом.

 

 

Тема3.2.3: Методика изучения квадратного уравнения

                     (2 лекции)

  Цели: Знать методику введения квадратных уравнений, план их изучения, уметь пользоваться теоремой Виета и выводить формулы корней квадратного уравнения.

 

Лекция. Тема «Квадратные уравнения» занимает особое положение в линии уравнений и неравенств, так как для нее характерна большая глубина изложения, множество устанавливаемых с ее помощью связей.

Именно на этих уравнениях осуществляется обобщение знаний по теме «Уравнения». К этому времени уже накоплен достаточный опыт в изучении алгебры.

Понятие «квадратные  уравнения» вводится посредством явного определения и требует усвоения формальных признаков квадратного уравнения.

Уравнение вида ах² + вх + с = 0 называется квадратным; а, в, с – числа, х – переменная; если а = 1, уравнение приведенное.

Знание этих признаков  необходимо при построении теории квадратных уравнений, при выводе теоремы Виета.

Вывод формулы корней квадратного уравнения может быть получен сразу для полного или для приведенного квадратного уравнения, но во всех случаях используется выделение полного квадрата в трехчлене

ах² + вх + с, сводящее уравнение к двучленному.

Последовательность шагов, приводящих к решению квадратного уравнения, показывается на конкретных примерах.

Вывод формул для нахождения корней квадратного уравнения:

Если Д > 0         уравнение имеет 2 корня.

Если Д = 0         уравнение имеет 2 одинаковых корня.

Если Д < 0         уравнение не имеет корней.

При решении выписывают а, в, с, находят Д, исследуют на наличие  корней и вычисляют корни.

Исследование    –    необходимый    этап    при    решении    квадратного уравнения.

План решения уравнения:

1) вычисление Д

2) сравнение Д с 0

3) применение формул, если Д  0

Кроме основной формулы для решения квадратных уравнений целесообразно познакомить учащихся с формулой для уравнений с четным в.

Такие формулы упрощают вычисление.

         четное  число

Вывод:  

При изучении данной темы рассматриваются неполные квадратные уравнения. Они изучаются перед выводом корней как частные случаи решения квадратных уравнений.

Хотя они имеют разные алгоритмы  решения, полезно показать, что общие  формулы подходят и в этих случаях.

1) с = 0                                   2) в = 0   

    ах² + х = 0                               ах² + с = 0

    х(ах + в) = 0                            ах² = – с

    х = 0 ах = – в                           х² =

    х₁ = 0; х₂ =                   х =

Важным моментом в  изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, в которой  выражена зависимость между корнями  и коэффициентами квадратного уравнения.

Т. прямая. Сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, деленному на а с противоположным знаком, а их произведение равно с деленное на а.

Т. обратная. Если сумма  чисел х₁ и х₂ = , а их произведение равно , то х₁ и х₂ являются корнями квадратного уравнения ах² + вх + с = 0.

 

Выводы: а) Т. Виета (пр.)

________________________

 

б) Т. Виета (обр.) Дано:

_____________

Доказать:

Общий вид квадратного  уравнения ах² + вх + с + 0. Решаем систему уравнений.

ах₂² + вх₂ +с = 0 => х₂ является корнем уравнения. Аналогично, х₁ тоже корень уравнения.

Теорема сложна для усвоения, так как учащиеся путают прямую и  обратную формулировки. Корни находят по обратной теореме в основном для приведенных квадратных уравнений.

Владение теорией квадратных уравнений  расширяет возможности решения  уравнений других видов; путем сведения к квадратному.

К квадратным сводятся дробно-рациональные уравнения вида , биквадратные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие.

Рациональные уравнения, левая или правая части которых  являются дробными выражениями, называются дробно-рациональными.

При решении дробно-рациональных уравнений обычно поступают следующим образом:

1) находят общий знаменатель  дробей, входящих в уравнение; 
2) заменяют данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3)решают полученное целое уравнение; 
4) делают проверку, исключая те корни целого уравнения, которые обращают в нуль общий знаменатель исходного уравнения (т.е. которые не входят в ОДЗ исходного уравнения).

Решение дробно-рациональных уравнений

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений
Переносим все в левую часть	1.
Раскладываем каждый знаменатель  на множители	2.
1)  записываем общий знаменатель 2)  дополнительный множитель в пункте 2 3)  запишите новый числитель	3.
Область допустимых значений	4. О.Д.З.
Числитель равен нулю
Решаем полученное уравнение	Д = 25 - 24 = 1 х = 3        х =2
Проверяем, принадлежат ли корни  О.Д.З.
Ответ	Ответ: 3.