Лекция по "Математике"

Надёжность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортирования

Безотказность – свойство объекта непрерывно сохранять работоспособное состояние в течение некоторой наработки

Долговечность – свойство объекта сохранять работоспособное состояние до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта.

Ремонтопригодность – свой-ство объекта, заключающееся в приспособленности к предупреж-дению и обнаружению причин возникновения отказов и повреж-дений, поддержанию и восста-новлению работоспособного сос-тояния путём проведения техни-ческого обслуживания и ремонтов.

Сохраняемость – свой-ство объекта сохранять значения показателей бе-зотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и (или) транспортирования.

При нарушении функциональной надёжности применение ДЛА по назначению обычно невозможно. Примерами таких нарушений  могут быть разрушения деталей и  элементов ДЛА, разгерметизация  его полостей. Мерой функциональной надёжности является вероятность Рпарам(t) нахождения в заданных пределах на отрезке времени [t0,t] всех параметров, определяющих состояние изделия.

Рпарам(t)=p{Y(τ) Є Ω; τ Є [t0,t]},

где p{.} – вероятность случайного события, описание которого дано в фигурных скобках;

       Y(τ) – вектор определяющих параметров;

       Ω – многомерная область предельных значений определяющих параметров.

При нарушении параметрической  надёжности из-за незначительных отклонений от установленных техничес-ким заданием пределов не исключает применения ДЛА по назначению для решения ЛА части задач. Примером может служить повышение удельного расхода топлива ГТД в полёте, когда потребуется необходимость посадки самолёта на близкорасположенный запасной аэродром ввиду уменьшения аэронавигационного запаса топлива.

Они происходят постоянно вокруг нас. Но необходимо дать определение этому  понятию:

это возможные результаты или исходы опыта.

Событие, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта или испытания в одних и тех же условиях протекает всякий раз несколько по иному и в различные моменты времени, называется случайным.

Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируется частота этого события, т.е. отношение числа испы-таний, в которых появилось данное событие, к общему числу испытаний.

     Вероятность появления  события А лежит в предел.ах

 

Событие, - вероятность которого равна 1, называется достоверным событием ― P(A)=1;

- вероятность которого равна 0, называется невозможным событием ―P(A)=0.

     Полной группой событий

называется несколько событий, из которых при каждом испытании  обязательно наступает хотя бы одно.

• Законом распределения

случайной величины называют соотношение, позволяющее определять вероятность появления случайной  величины в любом интервале её возможных значений.

     Функцией распределения  случайной величины Х называется функция аргумента Xi, равная вероятности того, что случайная величина примет любое значение или меньшее Х:

Функция распределения  имеет следующие основные свойства: 1. Функция распределения F(x) –                      , т.е. неотрицательная функция, заключённая между 0 и 1.

      2. Вероятность  появления случайной величины  в интервале (α-β), полузамкнутой  слева (включая α и исключая  β), равна разности значений функции  распределения в концах интервала  , т.е.

3. Функция распределения  случайной величины – неубывающая,  т.е. 

                            если β>α, то F(x=β)≥F(x=α).

     4. При x= -∞ функция распределения = 0, а при x= ∞ функция распределения =1, т.е.

                                   F(-∞)=0; F(∞)=1.

     5. Функция распределения  в точке разрыва непрерывна  слева, т.е. значение F (x) в точке разрыва определяется при подходе к этой точке слева по оси OX.

      6. Величина  скачка функции в точке разрыва  равна вероятности появления  случайной величины в этой  точке: 

                             P(X=x)=F(X+0)-F(x).

• Графическое изображение скачка Плотностью распределения называется
• предел отношения вероятности попадания непрерывной случайной величины на элементарный участок от x до x+Δx к длине этого участка Δx, когда Δx стремиться к 0.

Аналитическое отображение плотности  распределения

 

     Т.о., плотность распределения  f(x) равна производной от функции распределения F(x), и её смысл состоит в том, что она указывает, как часто появляется случайная величина в малой окрестности x при повторении событий.

     Некоторые свойства  плотности распределения:

     1. Плотность распределения  неотрицательна, т.е. f(x)≥0.

     2. Функция распределения случайной  величины Х равна интегралу  от плотности распределения в  интервале от -∞ до x, т.е.

3. Вероятность  попадания непрерывной случайной  величины Х на участок α-β  равна интегралу от плотности  распределения, взятому по этому  участку:

 

 

     4. Интеграл в бесконечных  пределах от плотности распределения  равен единице: 

    

5. Плотность распределения имеет  размерность, обратную размерности  случайной величины :

Математическим ожиданием или  средним значением случайной  величины называется постоянное число, около которого с ростом числа испытаний устойчиво колеблется среднее арифметическое значение случайной величины, найденное по опытным данным.

     Математическое ожидание произвольной случайной величины Х с функцией распределения F(x) определяется как интеграл:

В случае, если Х – дискретная случайная  величина, то согласно свойству интеграла  Стилтьеса предыдущее выражение  сводится к виду

                                  

                                                                                 

Если Х - непрерывная случайная  величина, то

                                                          

Тогда математическое ожидание случайной  величины определяется интегралом                           

 Дисперсией случайной величины

называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Дисперсия всегда больше 0.

Дисперсия случайной величины вычисляется  как следующий интеграл:

                                          

Формулы для вычисления дисперсии

     Для дискретной величины  дисперсия вычисляется как сумма: 

 

     Для непрерывной случайной  величины дисперсия вычисляется  при помощи интеграла

   

     Для большего удобства  вместо дисперсии используют  только её положительный квадратный  корень. Эта величина называется средним квадратичным отклонением. Для большего удобства вместо дисперсии используют только её положительный квадратный корень. Эта величина называется средним квадратичным отклонением.

Формула для среднего квадратичного отклонения

Для  случайной величины Х 

     Рассеивание в относительных  единицах (в частности, в процентах)  выражается коэффициентом вариации 

•                      v

     Он может принимать  различные положительные и отрицательные  значения. Например, при M(x)=0  v(x)=∞.

Медиана Ме Медианой Me случайной величины Х называется такое её возможное значение, относительного которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины, т.е.

Понятие моды дискретной случайной  величины

      Модой          дискретной случайной величины  называется её наиболее вероятное  значение.

                            а                                                                  б

Мода случайной величины:

 а - дискретной, б  – непрерывной 

      Для непрерывной  случайной величины мода есть  такое значение случайной величины, которому отвечает наибольшее  значение плотности распределения,  т.е. 

 

Плотность нормального  распределения

Плотность нормального распределения  определяется формулой

 

              Графики плотности распределения для нормального закона:

а – m_x=const,σ_x=var; б – m_x=var,σ_x=const

Нормальное усечённое  распределение

Главная особенность нормального  закона распределения состоит в  том, что оно является предельным распределением, к которому при стремлении к бесконечности числа испытаний  приближаются другие законы распределения. 

Усечённое нормальное распределение  случайной величины, получают из нормального  путём ограничения интервала  изменения этой величины.

                                              где множитель С находится из условия

 

График плотности усечённого нормального  распределения

Понятие квантиля

Величины F₀(X) обычно вычисляются для удобных при проведении анализа значений Х, например 0,8; 0,9; 0,95; 0,98; 0,99; 0,999 и т.д.

      Если поступить  наоборот, т.е. выписать принятые  для анализа значений F₀(x), равные α_1, α₂, …, α_n и определить соответствующие им значения х=u_α, то такие значения u_α называются квантилями.

      Например: F₀(x)= F₀(u_α)=α, где α принятые значения функции F₀(x), в этом случае u_α – квантиль.

      Если X, Y, Z являются случайными величинами, то их сумма U=X+Y+Z тоже будет случайной величиной и её плотность распределения вероятностей будет f(u).

      Закон распределения  величины u называется

       композицией законов распределения величин

       X, Y, Z.

Общие свойства композиции распределения

1. Математическое ожидание  композиции распределения равно  сумме математических ожиданий  независимых случайных величин,  образующих рассматриваемую сложную  случайную величину:

 M(u)=M(X)+M(Y)+M(Z)+…

2.Дисперсия композиции  распределения равна сумме дисперсий  независимых случайных величин,  составляющих данную сложную  случайную величину:

     D(u)=D(X)+D(Y)+D(Z)+…

 σ²(u)= σ²(X)+ σ²(Y)+ σ²(Z)+…

 

1.3 Место надёжности  в системе  эффективности А и РКТ

Эффективность - это сово-куность свойств, характери-зующих возможность получе-ния от применения изделия какого – либо  эффекта

Качество персонала – совокупность свойств, характеризующих возмож-ность персонала работать по назначению

• Квалификация – степень обучен-ности.
• Исполнительность – способность человека выполнять работу качественно и быстро.
• Качество изделия – совокупность свойств, характеризующих возможность использования изделия по назначению.

Качество изделия характеризуется  параметрами технического совершенства и надёжности.

• Параметры технического совершенства точечные, т.е. в данный момент времени.
• Параметры надёжности зависят от времени (наработки).
• Техническое совершенство – совокупность свойств, характеризующих перспективность его параметров определяемых:

1. конструктивно – силовой схемой;

2. применяемыми материалами;
3. экономичностью;
4. перспективным уровнем установленных ТЗ параметров;
5. экологическими характеристиками;
6. эргономикой (наука о взаимодействии человека с машиной);
7. патентной защищённостью;
8. эстетичностью.
9. Поломка – событие, связанное с разрушением элемента, работоспособность которого может быть восстановлена заменой или ремонтом.
10. Авария – событие, в результате которого изделие снижается с дальнейшей эксплуатации и списывается, так как его работоспособность восстановить уже невозможно.
11. Катастрофа – событие, в результате которого наступает смерть людей в летательном аппарате или на земле в течение 11 суток после его начала.
12. Безопасность – свойство изделия не причинять вреда здоровью человека при эксплуатации.
13. Живучесть – свойство изделия сохранять работоспособность в течение некоторого времени при возникновении нештатной ситуации.
14. Штатная (нештатная) ситуация- это ситуация, на которую изделие отраба-тывается (не отрабатывается) при создании.
15. Все летательные аппараты разрабатываются согласно нормам лётной годности (НЛГ), в которых изложены требования безопасности, живучести и готовности.
16. Готовность – это свойство изделия быть готовым к применению в любой момент времени, кроме тех, которые запрещают эксплуатацию изделия: гроза, град, сильный боковой ветер, обледенение взлетно-посадочной полосы.
17. По НЛГ самолёт должен выполнить задачу при отказе до 50% двигателей (при трёх двигателях – при отказе одного или двух двигателей).