Лекции по "Математике"

Элементы комбинаторики.

Комбинаторика- это наука об общих законах  комбинирования и образования различных  конфигураций объекта.

Различают 3 вида комбинации которые состоят из некоторого числа различных между собой элементов:

1)перестановки - возьмем n различных элементов и будем переставлять эти элементы всевозможными способами оставляя неизменным их число меняя только их порядок, каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой.

2)размещение-составим из n различных элементов группы по m элементов в каждой, распологая взятые m элементов в различном порядке , получающиеся при этом комбинации называют размещениями из n элементов по m.

3) сочетание- из n различных элементов будем составлять группы по m элементов в каждой, не обращая внимание на порядок элементов в группе, получающиеся при этом комбинации называются сочетаниями из n элементов по m.

 

Элементы теории вероятности .

 

Основная  цель теории вероятности - это подсчет  вероятностей сложных событий для  данной вероятностных моделей.

Испытание- это  физический процесс существующий реально или специально созданный, протекающий при некотором комплексе начальных условий.

Событие –  это всякий возможный исход испытаний. Обозначается заглавными большими буквами.

Вероятность события – это число характеризующее объективную возможность наступления события в данном испытании.

Элементарное  событие – это единичный факт испытания.

 

 

 

Формула полной вероятности

Теорема – вероятность события которое может наступить лишь при условии появления одного из не совместных событий образующих полную группу равна сумме произведений  вероятности каждого из этих событий на соответствующие условные вероятности события.

 Формула: P(A)=P(B1) Pb1(A) + P(B2) Pb2(A) + P(Bn) * PBn(A)

 

 

 

Формула Бейеса (гипотеза)

Имеется полная группа несовместных событий  называемыми  гипотезами. Известны доопытные вероятности этих событий и условные вероятности событий , которое может наступить лишь при условии наступления одной из гипотез.

 

Повторение независимых испытаний

Схема  Бернулли

Пусть произведено  n независимых испытаний и вероятность события А в каждом испытании постоянно u=P, вероятность не наступления события А также постоянно u=q

Схема испытания  Бернули используется если кол-во испытаний n не больше 10.

Формула Бернули: P_n(m)=*p*q^n-m

 

Если производится несколько испытаний причем вероятность  события А в каждом испытании не зависит от исхода в других испытаниях то такие испытания называют независимыми относительно события А.

 

Схема испытаний Пуассона

Пусть производится n испытаний , причем вероятность событий А может быть как постоянна так и различна, тогда вероятность того что событие А появится в испытании ровно m раз определяется формулой Пуассона P_n(k)=, a=n-p

 

Локальная теорема Лапласа

Эта теорема  позволяет приближенно найти  вероятность проявления события  m раз в n испытаниях если число испытаний достаточно велико.

Теорема: если вероятность события А в каждом испытании постоянно и отлично от 0 и 1  то вероятность того  что событие А появилось в n испытаниях ровно m раз приближенно равна значению функции y=**e в степе ни=* фи(x) при x=

 

 

 

Интегральная теорема Лапласса-это теорема позволяет вычислить вероятность того что событие А появится в n испытаниях  не менее K₁ и не более K₂

Теорема: Если вероятность p наступления события А постоянно  и отлично от 0 и 1  то вероятность Pⁿ (k₁k₂) того что событие А появится в n испытаниях от k₁до k₂ раз приближенно равна P (k₁k₂)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК СОБЫТИЙ

Потоком событий называют последовательность событий которые наступают в случайные моменты времени.

Свойства:

1 свойство  стационарности – характеризуется  тем, что вероятность появление К событий на любом промежутке времени зависит только от числа К и от длительности т промежутка t. И не зависит от начала его отсчета.  При этом промежутке времени предполагаются не пересекающиеся.

Если поток  обладает свойством стационарности, то вероятность появления К событий за промежуток времени длительностью t  есть функция зависящая только от К и т.

2 отсутствие  последействия – характеризуется   тем, что вероятность появления К событий на любом промежутке времени не зависит от того, появилось или не появилось событие в моменты времени предшествующие началу рассматриваемого промежутка. Если поток обладает этим свойством то имеет место взаимная независимость  того или иного числа событий  в непересекающиеся промежутки времени.

3 свойство  ординарности -  характеризуется  тем, что появление 2х и более  событий за малый промежуток  времени практически невозможно. Если поток обладает этим свойством , то за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более 1го события.

Простейшим называют поток событий, который обладает выше указанными свойствами. 

Интенсивностью потока лямбда называют среднее число событий  которое появляется в единицу времени. Доказано что  если постоянная интенсивность потока известна, то  вероятность появления K событий простейшего потока за время длительности t определяется формулой Пуассона. P_t(k)=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

CЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Случайной называют величину которая в результате испытания  принимает одно и только одно возможное  значение наперед неизвестное и  зависящее от случайных причин которые заранее не могут быть учтены.

 

Дискретные и непрерывные случайные  величины.

 

Дискретной называют случайную величину которая принимает отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями , число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным,.

Непрерывной называют случайную величину которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Законом распределения вероятностей дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями .

Этот закон можно задать таблично , графически и аналитически.

1. Таблично это где 1ая строка содержит возможные значения , 2ая соответствующие им вероятности.

В одном испытании случайная величина принимает одно значение , следовательно события x1,x2…xn образуют полную группу + сумма всех вероятностей значений=1

2. Чтобы изобразить графически  нужно в прямоугольной системе коорд инат строить точки xi pi а затем соединять их отрезками прямых, полученную фигуру называют прямоугольником распределения
3. Аналитический- выражающая вероятность того что x-большое примет значение меньшее чем x-малое

Функция распределения является универсальным  законом распространения т.е. может задавать как непрерывную так и дискретную случайную величину. 

 

Биноминальный закон распределения.

Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины x-числа появлений событий в n независимых испытаниях в каждом из которых вероятность появления событий =p. Вероятность возможных значений X=m вычисляется по формуле Бернули Pn(m)= *p*→Pn(m)C^m_n *p^m * , если число испытаний велико а вероятность p появления в каждом испытании мала то используют формулу Пуассона Pn(k)=

 

Числовые характеристики дискретной случайной величины.

Основными из них являются: математическое ожидание, дисперсия, средне-квадратическое отклонение, моменты различных порядков, мода и медиана.

Математическое  ожидание – пусть Х это дискретная случайная величина заданная законом  распределения.

х	Х1	Х2	…	Хn
P	P1	P2	…	pn

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений  на их вероятности.

 

Свойство математического ожидания :

1 математическое  ожидание постоянной величины  равно самой постоянной М(С)=С, С константа

2 постоянный  множитель можно выносить за  знак математического ожидания  М(СХ)=СМ(Х)

3 математическое  ожидание суммы двух случайных  величин равна сумме их математических ожиданий. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

4  математическое  ожидание произведения  двух случайных  величин равно  произведению  их математических ожиданий. М(ХУ)=М(Х)*М(У)

 

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

С помощью  этих характеристик можно судить о рассеянии случайной величины  относительно математического ожидания. В качестве меры рассеяния берут  математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического  ожидания которое называется дисперсией случайной величины х.

Теорема вычисления дисперсии.

Дисперсия равна  разности между математическим ожиданием  квадрата случайной величины и квадрата ее математического ожидания т.е. D(x)=M(x²)-M²(x)

 

Свойства  дисперсии:

1)Дисперсия  постоянной величины=0

2)Постоянные  множитель случайной величины  можно выносить за знак дисперсии  предворительно возведя его в квадрат

3)Дисперсия  суммы и разности 2х случайных  величин =сумме дисперсии этих величин

4)Дисперсия  произведения 2х случайных величин  определяется по формуле D(XY)=D(X)D(Y)+M²(X)D(Y)+M²(Y)D(X)

 

Модой  дискретной случайной величины называются ее значение  имеющее наибольшую вероятность.

 

Медианой случайной величины называется такое ее значение для которого справедливо равенство. Р(Х<Me)=Р(X>Me).

Моменты различных порядков.

Начальным моментом q-ого порядка случайной величины называют математическое ожидание величины из x^q  начальный момент Vq=**pi   пользуясь этими моментами формулу для вычисления дисперсии можно записать так D(x)=V2-

Центральным моментом порядка  q случайной величины называют математическое ожидание величины ^q обозначается центральный момент _q=M^q

Начальный момент первого порядка  представляет собой математическое ожидание V1=M(X)

Центральный момент второго порядка  это дисперсия M₂=D(x)

Начальный и центральный моменты  связаны следующим образом M2=V2-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Система 2х случайных величин.

Одномерными  называются случайные величины значения которых определялись одним числом.

Двумерную случайную величину обозначают Х У.

Каждую из величин Х У называют составляющей или компонентой. Обе эти величины рассматриваемые одновременно образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему n случайных величин.

Двумерную случайную величину ХУ можно рассматривать  либо как  случайную точку M с координатами(XY) на плоскости либо как случайный вектор ОМ.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ  ДИСКРЕТНОЙ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ  ВЕЛИЧИНЫ.

Таким законом называют перечень возможных значений этой величины. Т.е. пару чисел (X_iY_i) и соответствующих им вероятностей (i=1,2,3…..n) (j=1,2,3…..m)

Так как события  (XY) образуют полную группу от сумма вероятностей  помещенных во всех клетках таблицы равна 1.

Зная закон распределения двумерной  дискретной  случайной величины можно найти законы распределения  каждой из составляющей.

Чтобы найти вероятность p(x=x_i) нужно проссумировать вероятности столбца x_i аналогично сложив вероятности строки y_j получим вероятность p(y=y_j)

Непрерывные случайные  величины.

Непрерывной случайной величиной  называют величину принимающую непрерывное множество значений из некоторого числового промежутка.

В случае непрерывной  случайной величины говорят не о  вероятности того, что случайная  величина Х примет значение х, а о вероятности того что при испытаниях случайная величина Х попадет в заданный интервал.

 С учетом этого распределение вероятностей непрерывной случайной  величины может быть описано двумя способами:

1 с помощью  плотности вероятности (только  для непрерывной случайной величины)

2 с помощью  функции распределенияF(x) (для непрерывной случайной величины и дискретной случайной величины).

 

Числовые характеристики непрерывной  случайной величины.

1)Математическое  ожидание 

2)Дисперсия 

Мода есть значение случайной величины Х при котором плотность вероятности f(x) принимает максимальное значение для непрерывной случайной величины.