Лекции по "Дискретной математике"

Курс лекций состоит из 38 тем.

Глава I. Функции алгебры логики
§1. Функции алгебры логики. Равенство функций. Тождества для элементарных функций 3
§2. Теорема о разложении функции алгебры логики по переменным. Теорема о совершенной
дизъюнктивной нормальной форме
5
§3. Полные системы. Примеры полных систем 6
§4. Теорема Жегалкина о представимости функции алгебры логики полиномом 6
§5. Понятие замкнутого класса. Замкнутость классов T0, T1 и L 8
§6. Двойственность. Класс самодвойственных функций, его замкнутость 9
§7. Класс монотонных функций, его замкнутость 10
§8. Лемма о несамодвойственной функции 10
§9. Лемма о немонотонной функции 11
§10. Лемма о нелинейной функции 11
§11. Теорема Поста о полноте системы функций алгебры логики 12
§12. Теорема о максимальном числе функций в базисе алгебры логики 12
§13. Теорема о предполных классах 13
§14. k-значные функции. Теорема о существовании конечной полной системы в множестве
k-значных функций
13
Глава II. Основы теории графов
§15. Основные понятия теории графов. Изоморфизм графов. Связность 15
§16. Деревья. Свойства деревьев 16
§17. Корневые деревья. Верхняя оценка их числа 17
§18. Геометрическая реализация графов.
Теорема о реализации графов в трёхмерном пространстве
18
§19. Планарные (плоские) графы. Формула Эйлера 19
§20. Доказательство непланарности графов K5 и K3,3. Теорема Понтрягина-Куратовского 20
§21. Теорема о раскраске планарных графов в пять цветов 21
Глава III. Основы теории управляющих систем
§22. Схемы из функциональных элементов. Реализация функций алгебры логики схемами 23
§23. Сумматор. Верхняя оценка сложности сумматора. Вычитатель 25
§24. Метод Карацубы построения схемы для умножения, верхняя оценка её сложности 26
§25. Дешифратор. Асимптотика сложности дешифратора. Верхняя оценка сложности
реализации произвольной функции алгебры логики
28
§26. Мультиплексор. Верхняя оценка сложности мультиплексора. Метод Шеннона 29
§27. Шифратор. Верхняя оценка сложности шифратора 31
Глава IV. Основы теории кодирования
§28. Алфавитное кодирование.
Теорема Маркова о взаимной однозначности алфавитного кодирования
32
§29. Неравенство Макмиллана 33
§30. Существование префиксного кода с заданными длинами кодовых слов 33
§31. Оптимальные коды, их свойства 34
§32. Теорема редукции 35
§33. Коды с исправлением r ошибок. Оценка функции Mr (n). 36
§34. Коды Хэмминга. Оценка функции M1 (n) 37
Глава V. Основы теории конечных автоматов
§35. Понятие ограниченно детерминированных (автоматных) функций, их представление
диаграммой Мура. Единичная задержка
39
§36. Схемы из функциональных элементов и элементов задержки. Автоматность
осуществляемых ими отображений
40
§37. Моделирование автоматной функции схемой из функциональных элементов и элементов
задержки
41
§38. Теорема Мура. Теорема об отличимости состояний двух автоматов 42