Кривые второго порядка на плоскости

Федеральное государственное  бюджетное образовательное 
учреждение высшего профессионального образования

Брянский государственный университет  имени академика И.Г. Петровского

Социально-экономический институт

Факультет технологии и дизайна

 

Кафедра вычислительной техники и информационных технологий

 

 

 

 

Реферат

по высшей математике

на тему: Кривые второго порядка  на плоскости

 

 

                            Выполнил студент 4 курса_________    C.Ю.Демьянов

                        

                                          Групповой руководитель_________ В.В.Шлык

 

 

 

 

Брянск 2012

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     Содержание

Введение………………………………………………………………………….3

1.Кривые второго  порядка…………………………………………………….4

1.1 Эллипс……………………………………………………………………...6

1.2 Гипербола…………………………………………………………………..7

1.3 Парабола……………………………………………………........................9

2.Теоремы, связанные  с кривыми второго порядка…………………………11

Литература……………………………………………………………………...12

Введение

Впервые кривые второго порядка изучались одним  из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.

Однако эти  научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим  траекториям, а пушечный снаряд летит  по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

1. Кривые  второго порядка

Кривой 2-го порядка  называется линия на плоскости, которая  в некоторой декартовой системе  координат определяется уравнением

ax2 + 2bxy + cy2 + 2dx + 2ey + f = 0

где a, b, c, d, e, f —  вещественные коэффициенты, причем a2 + b2 + c2 ≠ 0 .

Вид кривой зависит  от четырёх инвариантов:

инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:

инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены  при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению  кривой:

Так, например, невырожденная  кривая  оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли  положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

Или

λ2 − Iλ + D = 0.

Корни этого уравнения  являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие  этого, всегда вещественны:

Кривые второго  порядка классифицируются на невырожденные  кривые и вырожденные.

Доказано, что  кривая 2–го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.

Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для  каждого уравнения) существует такая  система координат, в которой  уравнение кривой имеет вид:

1.1 Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Отрезки, соединяющие точку эллипса с фокусами, называются фокальными радиусами точки.

Если эллипс описывается каноническим уравнением

где a > 0 , b > 0, a > b > 0 — большая и малая  полуоси эллипса, то фокусы эллипса  расположены симметрично на оси  абсцисс и имеют координаты (−c, 0) и ( c, 0), где

Величина e = c/a называется эксцентриситетом эллипса.

По определению  эллипса r1 + r2 = 2a, r1 и r2 − фокальные  радиусы, их длины вычисляются по формулам

Если фокусы эллипса совпадают, то эллипс является окружностью.

1.2 Гипербола

Гиперболой называется кривая второго порядка, которая  в некоторой декартовой системе  координат описывается уравнением

где a > 0, b > 0 —  параметры гиперболы.

Это уравнение  называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой  гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе оси координат являются осями симметрии гиперболы, а  начало координат — ее центром  симметрии.

Точки пересечения  гиперболы с осью OX ( ± a, 0) называются вершинами гиперболы.

С осью OY гипербола не пересекается.

Отрезки a и b называются полуосями гиперболы.

Рис.1

Прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0 — асимптоты гиперболы, при удалении точки гиперблы в бесконечность, соответствующая ветвь гиперболы приближается к одной из асимптот.

Уравнение описывает  гиперболу, вершины которой лежат  на оси OY в точках (0, ± b).

Рис.2

Такая гипербола  называется сопряженной к гиперболе  её асимптоты — те прямые ay − bx = 0 и ay + bx = 0. Говорят о паре сопряжённых  гипербол.

1.3 Парабола

Параболой называется кривая второго порядка, которая  в некоторой декартовой системе  координат описывается уравнением

y2 = 2 px

где p > 0 — параметр параболы.

Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической.

В канонической системе ось абсцисс является осью симметрии параболы, а начало координат — её вершиной.

Рис.3

Уравнения y2 = −2 px, x2 = 2 py, и x2 = −2 py, p > 0, в той же самой  канонической системе координат  также описывают параболы:

2. Теоремы,  связанные с кривыми второго  порядка

Теоремма Паскамля — теорема проективной геометрии, которая гласит, что:

Если шестиугольник  вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трёх пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Теорема Паскаля двойственна к теореме Брианшона.

Теорема Брианшона  является классической теоремой проективной  геометрии. Она сформулируется следующим образом:

Если шестиугольник  описан около конического сечения, то три диагонали, соединяющие противоположные  вершины этого шестиугольника, проходят через одну точку.

В частности, в  вырожденном случае:

Если стороны  шестиугольника проходят поочерёдно через две данные точки, то три диагонали, соединяющие его противоположные вершины, проходят через одну точку.

Теорема Брианшона  двойственна к теореме Паскаля, а её вырожденный случай двойственен  к теореме Паппа.

Литература

1. Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64-69.
2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.